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【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第四章：一次函数
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．依依放学后以一定速度匀速步行回家，他在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，然后依依提高了速度继续匀速步行回家，下列图象能表示依依放学回家的行程中，所剩路程与依依步行时间之间的关系的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B．
C．（、是常数） D．
3．在一次函数的图象上的一个点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C． D．
4．已知水池的容量为 V m 3 ，每小时灌水量为 50 m 3 ，灌满水所需时间为 t (h)，那么 V 与 t 之间的函数关系式是（ ）
A．V ＝50 t B．V ＝50－ t C．v= D．V ＝50+ t
5．对于直线，下列说法不正确的是（ ）
A．随的增大而减小 B．直线与轴交于正半轴
C．直线经过第二、三、四象限 D．直线向下平移个单位后经过原点
6．正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量间有下表的关系．下列说法不正确的是（ ）
0 1 2 3 4
15 17 19 21 23
A．因变量y是自变量x的一次函数
B．当弹簧长度为时，所挂物体的质量为
C．随着所挂物体重量的增加，弹簧长度逐渐变长
D．所挂物体的重量每增加，弹簧长度增加
9．甲、乙两车从A城出发沿相同的路前往B城．在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示．则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙的平均速度为， B．甲、乙相遇时的时刻为
C．乙到达B城时，甲离B城 D．甲、乙相遇时，甲行驶了
10．如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴的正半轴上，点直线以每秒3个单位的速度向下平移，经过多少秒该直线可将的面积平分（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．圆锥的高是，圆锥的底面半径由变化到时，圆锥的体积由 变化到 ．
12．若一次函数经过坐标原点，则 ．
13．在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，则点在第 象限．
14．如图，甲、乙两辆摩托车从相距的A，B两地同时相向而行，分别表示甲、乙两辆摩托车离A地的距离与行驶时问之间的函数关系．下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①乙摩托车行驶的速度是；
②当时，甲车的行驶路程超过；
③当时，甲摩托车离A地的距离小于乙摩托车离A地的距离；
④甲、乙两车相距不超过时，．
15．如图，图象描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的关系，下列说法正确的 ．（填序号）①第3分时，汽车的速度是40千米/时；②从第3分到第6分，汽车行驶了120千米；③第12分时，汽车的速度是0千米/时；④从第9分到12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时．
三、解答题：（共55分）
16．（6分）已知一个长方形的长为x，宽为y，周长为．
(1)求出y关于x的函数表达式（不用写出自变量x的取值范围）；
(2)当时，求该长方形的面积．
17．（6分）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，以为边在轴右侧作等边三角形，将点向左平移，使其对应点恰好落在直线上，求点的坐标．
18．（9分）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，该表是测得的弹簧长度与所挂物体的重量的几组对应值．
所挂物体重量
弹簧长度
(1)该表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)请你写出弹簧长度与所挂物体重量之间的关系式．
(3)在弹簧的允许范围内，若所挂物体重量为，请求出此时弹簧的长度．
19．（9分）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小红家到学校的路程是 米，小红在商店停留了 分钟；
(2)在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快，最快的速度是多少米/分？
(3)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？
20．（8分）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的折线和线段表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
(1)填空：折线表示赛跑过程中 的路程与时间的关系，线段 表示赛跑过程中 的路程与时间的关系．赛跑的全程是 米．
(2)兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
(3)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？
(4)兔子醒来，以 48 千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
21．（8分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点A，B的坐标．
(2)若点C在x轴上，且，求点C的坐标．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线都经过轴上的点，分别交轴于，两点，已知，直线的解析式为．
(1)求直线的解析式；
(2)在线段上存在一点，点到直线的距离为，求点的坐标；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
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【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第四章：一次函数
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．依依放学后以一定速度匀速步行回家，他在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，然后依依提高了速度继续匀速步行回家，下列图象能表示依依放学回家的行程中，所剩路程与依依步行时间之间的关系的是（ ）
A． B． C． D．
解：由题意可得，
依依放学后以一定速度匀速步行回家这一过程中，所剩路程随着时间的增加而减小；
依依在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，这一过程中，所剩路程随着时间的增加不变；
然后依依提高了速度继续匀速步行回家，所剩路程随着时间的增加而减小，且减小的速度比遇到了同学前的速度快．
故选：C．
2．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B．
C．（、是常数） D．
解A、 不是一次函数，不符合题意；
B、 是一次函数，符合题意；
C、（、是常数），当时，不是一次函数，不符合题意；
D、不是一次函数，不符合题意；
故选B．
3．在一次函数的图象上的一个点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C． D．
解：当时，，
故A不符合题意，C不符合题意；
当时，，
故B不符合题意；
当时，，
故D符合题意，
故选：D．
4．已知水池的容量为 V m 3 ，每小时灌水量为 50 m 3 ，灌满水所需时间为 t (h)，那么 V 与 t 之间的函数关系式是（ ）
A．V ＝50 t B．V ＝50－ t C．v= D．V ＝50+ t
解：∵体积=流速×时间，
∴V与t之间的函数关系式为：V=50t.
故选A.
5．对于直线，下列说法不正确的是（ ）
A．随的增大而减小 B．直线与轴交于正半轴
C．直线经过第二、三、四象限 D．直线向下平移个单位后经过原点
解：在直线中，，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小，故A正确，不合题意；C不正确，符合题意；当时，，
直线与轴的交点为，故B正确，不合题意；
直线向下平移1个单位后得到，
当时，，
直线向下平移1个单位后经过原点，故D正确，不合题意．
故选：C．
6．正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
解：正比例函数的函数值随的增大而增大，
，
，
一次函数的图象经过一、二、三象限．
故选：A．
7．已知点，都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
解：∵，，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选C．
8．物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量间有下表的关系．下列说法不正确的是（ ）
0 1 2 3 4
15 17 19 21 23
A．因变量y是自变量x的一次函数
B．当弹簧长度为时，所挂物体的质量为
C．随着所挂物体重量的增加，弹簧长度逐渐变长
D．所挂物体的重量每增加，弹簧长度增加
解：由表格数据可知，其中，a为弹簧的最大限度，
因此因变量y是自变量x的一次函数，故A选项说法正确；
当时，，解得，即所挂物体的质量为，故B选项说法不正确；
由表格数据可知，随着所挂物体重量的增加，弹簧长度逐渐变长，故C选项说法正确；
由表格数据可知，所挂物体的重量每增加，弹簧长度增加，故D选项说法正确；
故选B．
9．甲、乙两车从A城出发沿相同的路前往B城．在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示．则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙的平均速度为， B．甲、乙相遇时的时刻为
C．乙到达B城时，甲离B城 D．甲、乙相遇时，甲行驶了
解：A、由图可得，甲的速度为：，乙的速度为：，故选项A错误，不符合题意；
B、设甲走m小时，两车相遇，则，解得，所以甲、乙相遇时的时刻为，故选项B错误，不符合题意；
C、乙到达B城时时间是，甲到达B城时时间是，乙车比甲车早到1小时，乙到达B城时，甲离B城，故选项C错误，不符合题意；
D、甲、乙相遇时，甲行驶了，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
10．如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴的正半轴上，点直线以每秒3个单位的速度向下平移，经过多少秒该直线可将的面积平分（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解连接 、，交于点 ，当 经过 点时，该直线可将 的面积平分
∵四边形是平行四边形
设的解析式为
平行于
∵过
∴的解析式为
∴直线要向下平移 6 个单位
∴时间为 (秒)
故选B
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．圆锥的高是，圆锥的底面半径由变化到时，圆锥的体积由 变化到 ．
解：依题意，
当时，；
当时，，
故答案为：，．
12．若一次函数经过坐标原点，则 ．
解：根据一次函数图象过原点，把代入解析式，
得，整理得，解得，
∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
13．在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，则点在第 象限．
解：∵正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，
∴，
∴点在第二象限．
故答案为：二．
14．如图，甲、乙两辆摩托车从相距的A，B两地同时相向而行，分别表示甲、乙两辆摩托车离A地的距离与行驶时问之间的函数关系．下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①乙摩托车行驶的速度是；
②当时，甲车的行驶路程超过；
③当时，甲摩托车离A地的距离小于乙摩托车离A地的距离；
④甲、乙两车相距不超过时，．
解由图可得，甲摩托车行驶的速度是,
乙摩托车行驶的速度是，故①正确；
当时，甲车的行驶路程超过，故②正确；
当时，甲摩托车离A地的距离，乙摩托车离A地的距离，即甲摩托车离A地的距离等于乙摩托车离A地的距离；
由图可得，当时，甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离；故③错误；
设小时时甲、乙两车相距为，则，解得或，
故甲、乙两车相距不超过时，，故④正确；
综上，结论正确的是①②④；
故答案为：①②④．
15．如图，图象描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的关系，下列说法正确的 ．（填序号）①第3分时，汽车的速度是40千米/时；②从第3分到第6分，汽车行驶了120千米；③第12分时，汽车的速度是0千米/时；④从第9分到12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时．
解：横轴表示时间，纵轴表示速度．
当第3分的时候，对应的速度是40千米时，故①对；
第12分的时候，对应的速度是0千米时，故③对；
从第3分到第6分，汽车的速度保持不变，是40千米时，行驶的路程为千米，故②错；
从第9分到第12分，汽车对应的速度分别是60千米时，0千米时，所以汽车的速度从60千米时减少到0千米时，故④对．
综上可得：正确的是①③④．
故答案为：①③④．
三、解答题：（共55分）
16．（6分）已知一个长方形的长为x，宽为y，周长为．
(1)求出y关于x的函数表达式（不用写出自变量x的取值范围）；
(2)当时，求该长方形的面积．
（1）解：∵长方形的周长为40，
∴，
∴；
（2）解：当时，，
∴长方形的面积为．
17．（6分）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，以为边在轴右侧作等边三角形，将点向左平移，使其对应点恰好落在直线上，求点的坐标．
解直线与轴交于点，
时，，
点的坐标为，
以为边在轴右侧作等边三角形，
在线段的垂直平分线上，
点纵坐标为，将代入，得，解得．
点的坐标为．
18．（9分）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，该表是测得的弹簧长度与所挂物体的重量的几组对应值．
所挂物体重量
弹簧长度
(1)该表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)请你写出弹簧长度与所挂物体重量之间的关系式．
(3)在弹簧的允许范围内，若所挂物体重量为，请求出此时弹簧的长度．
（1）解：表中反映了所挂物体质量与弹簧长度之间的关系，其中所挂物体重量是自变量，弹簧长度是因变量；
（2）解：设函数关系式为，
当时，；
当时，，
，
解得：，
函数关系式为：；
（3）解：当时，，
即此时弹簧的长度为．
19．（9分）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小红家到学校的路程是 米，小红在商店停留了 分钟；
(2)在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快，最快的速度是多少米/分？
(3)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？
（1）解：根据图象舅舅家纵坐标为1500，小红家的纵坐标为0，
故小红家到舅舅家的路程是1500米；
根据题意，小红在商店停留的时间为从8分到12分，
故小红在商店停留了4分钟．
故答案为：1500，4；
（2）根据图象，时，直线最陡，
故小红在分钟最快，速度为（米分）．
（3）由图可得：小红共行驶了米，共用了14分钟．
答：小红共行驶了2700米，共用了14分钟．
20．（8分）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的折线和线段表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
(1)填空：折线表示赛跑过程中 的路程与时间的关系，线段 表示赛跑过程中 的路程与时间的关系．赛跑的全程是 米．
(2)兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
(3)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？
(4)兔子醒来，以 48 千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
解（1）从图象可知：折线表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系，线段表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系、赛跑的全程是1500米．
故答案为：兔子，乌龟，1500；
（2）由图象可知，兔子在起初每分钟跑（米）；
乌龟每分钟爬（米）；
（3）∵（分钟），
∴乌龟用了14分钟追上了正在睡觉的兔子；
（4）48千米/时米/分，
兔子全程共用30.5分钟，其中，开始跑了1分钟，
后来又跑了（分钟），
∵（分钟），
∴兔子中间停下睡觉用了28.5分钟．
21．（8分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点A，B的坐标．
(2)若点C在x轴上，且，求点C的坐标．
（1）解：当时，，
点B的坐标为：，
当时，，
点A的坐标为：．
（2）由（1）得：，，
则：，
即：，
点C的坐标为：或．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线都经过轴上的点，分别交轴于，两点，已知，直线的解析式为．
(1)求直线的解析式；
(2)在线段上存在一点，点到直线的距离为，求点的坐标；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线交轴于点，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
（2）∵直线交轴于点，
∴当时，，即点，
∴，
∴，
设，
∵，点到直线的距离为，
即：，
解得：，，
∴点，
（3）由(1)(2)可知：，，，
如图，设，
①当为对角线时，，，
解得：，，
∴点，
①当为对角线时，，，
解得：，，
∴点，
②当为对角线时， ，，
解得：，，
∴点，
③当为对角线时，，，
解得：，，
∴点，
综上可知：
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