2023-2024学年甘肃省武威市凉州区高一（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年甘肃省武威市凉州区高一（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 二次根式成立的条件是( )
A. B. C. D. 是任意实数
2. 若，则的值是( )
A. B. C. D.
3. 不等式的解集为( )
A. B. 或
C. D. 或
4. 关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 且
5. 下列四个函数图象中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是( )
A. B.
C. D.
6. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象的公共点的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 若一个所有棱长相等的三棱柱，它的主视图和俯视图分别是正方形和正三角形，则左视图是( )
A. 菱形 B. 正方形 C. 矩形 D. 正三角形
8. 若，是方程的两个根，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 函数，和的图象如图所示，有下列四个说法：
如果，那么；
如果，那么；
如果，那么；
如果时，那么．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
10. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是( )
A. B. C. D.
11. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的格点上，那么的值为( )
A.
B.
C.
D.
12. 将函数向左、向下分别平移个、个单位长度，所得图象为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是______．
14. 已知关于的不等式组的解集为，则的值为______ ．
15. 设，是方程的两实根，，是关于的方程的两实根，则______，______．
16. 边长为的正八边形面积为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
将下列角度与弧度进行互化：
18. 本小题分
化简：；
化简：；
先化简，再求值：，其中．
19. 本小题分
为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“书画类、文艺类、社会实践类、体育类”现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
本次被抽查的学生共有______ 名，扇形统计图中“书画类”所占扇形的圆心角的度数为______ 度；
请你将条形统计图补全；
若该校七年级共有名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“社会实践类”的学生共有多少名？
本次调查中抽中了七班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
20. 本小题分
已知、是一元二次方程的两个实数根．
是否存在实数，成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
求使的值为整数的实数的整数值．
21. 本小题分
已知当时，关于的函数的最大值为，求实数的值．
22. 本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，连接，点是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作交轴于点，交于点．
求，，三点的坐标．
试探究在点运动的过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时有最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
故．
故选：．
由已知结合二次根式的性质即可求解．
本题主要考查了二次根式的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查根式的运算性质和绝对值的定义，属于基础题．
根据根式的运算性质和绝对值的定义，可得答案．
【解答】
解：若，则，，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，，
，
解方程，得，，
不等式的解集为或．
故选：．
利用一元二次不等式的性质、解法直接求解．
本题考查一元二次不等式的解集的求法，考查一元二次不等式的性质、解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
所以的取值范围是．
故选：．
根据关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，利用判别式和根与系数的关系求解即可．
本题考查了一元二次方程有两个不相等的正实数根应用问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：当时，函数值随自变量的增大而减小的是应是上的减函数，
对于，在上是增函数；对于，在上是增函数；
对于，在上不单调，先增后减；对于，在上是减函数；
故选：．
当时，函数值随自变量的增大而减小的是应是上的减函数，逐个观察图象，得出结论即可．
本题考查了函数的单调性，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：联立方程组，得，
整理得：，
由且得，
故函数与的图象的公共点的个数是个．
故选：．
联立方程组，结合韦达定理判断即可．
本题考查了函数的零点和方程根的关系，考查转化思想，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为正视图和左视图等高，俯视图的宽等于左视图正三角形的高，
而主视图和俯视图分别是正方形和正三角形，
所以左视图的长和宽不相等，
所以左视图是矩形．
故选：．
根据正俯等宽，正左等高，俯左等宽即可得到答案．
本题考查简单几何体的三视图，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：方程的二次项系数，一次项系数，常数项，
根据韦达定理，得，，
故选：．
根据韦达定理求得，，然后由变形为含有和的式子，并代入求值即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
9.【答案】
【解析】解：易知函数，和的图象交点坐标为，
函数与的图象还有一个交点，
当三个函数的图象依，，次序呈上下关系时，，故正确，
当三个函数的图象依，，次序呈上下关系时，或，故错误，
由于三个函数的图象没有出现，，次序的上下关系，故错误，
当三个函数的图象依，，次序呈上下关系时，，故正确，
所以正确的有，
故选：．
先求出三个函数图象的交点坐标，再结合图象判断即可．
本题主要考查了幂函数的图象，考查了数形结合思想，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
．
方程有两个实数根，
，
，
．
故选：．
根据韦达定理可得，，，利用二次函数的性质求最小值．
本题考查二次函数性质的应用，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：如图在中，，
所以，所以．
故选：．
结合网格图形将放到直角三角形，利用锐角三角函数计算可得．
本题考查了三角形中的几何计算，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：向左、向下分别平移个、个单位长度，
所得图象解析式为．
将的轴下方的图象关于轴对称，再向下平移一个单位即可．
故选：．
可根据变换规律得到解析式，再确定图象．
本题考查图象的变换规律，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：函数在上具有单调性，
则函数的对称轴为
且满足或，
解得或，
实数的取值范围是．
故答案为：．
根据二次函数的图象与性质，求出的对称轴，列不等式求的取值范围．
本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，得：，由，得：，
，，解得：，，
则．
故答案为：．
先分别解不等式，再由不等式组的解集为，转化成关于，的方程组来解即可．
本题考查的是解一元一次不等式组和解二元一次方程组，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：，是方程的两实根，，
又，是关于的方程的两实根，，，
，，
即，，
解得：，．
故答案为：；．
由，是方程的两实根，，，又，是关于的方程的两实根，，，再解关于，的方程即可得出答案．
本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键要熟记，是方程的两实根，，．
16.【答案】
【解析】解：连接顶点和正八边形的中心，得到个全等的等腰三角形，如下图：
，，，
设，由余弦定理得，
，
，
正八边形的面积为：．
故答案为：．
可连接顶点和正八边形的中心，得到八个全等的等腰三角形，根据余弦定理和三角形的面积公式得出一个等腰三角形的面积，从而得出正八边形的面积．
本题考查了正八边形的定义，余弦定理和三角形的面积公式，考查了计算能力，是基础题．
17.【答案】解：；
；
；
；
．
【解析】利用角度制与弧度制的转化公式对各个小题逐一求解即可．
本题考查了角度制与弧度制的互化，解题的关键是掌握角度制与弧度制的互化公式，属于基础题．
18.【答案】解：原式；
原式；
原式
当时，
原式
．
【解析】根据已知条件，结合幂的四则运算法则，即可求解；
根据已知条件，结合幂的四则运算法则，即可求解；
先对原式化简，再将代入，即可求解．
本题主要考查幂的四则运算法则，属于基础题．
19.【答案】
【解析】解：本次被抽查的学生共有：名，
扇形统计图中“书画类”所占扇形的圆心角的度数为；
类人数是：名，补全条形统计图如图所示：
名，
即估计该校学生选择“社会实践类”的学生共有名；
所有可能的情况如下表所示：





由表格可得：共有种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有种，
所以王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率为．
结合条形统计图和扇形图求解；
求出类人数，补全形统计图即可；
利用样本估计总体即可；
利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了统计图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
20.【答案】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，，
由根与系数的关系可得：，，
，
解得，而，
不存在实数使得成立．
由根与系数的关系可得：，
的值为整数，而为整数，
只能取、、，
又，
整数的值为或或．
【解析】令判别式得出的范围，根据根与系数的关系列方程得出，即可得出结论；
根据根与系数的关系化简，根据整数的性质得出的值．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．
21.【答案】解：当时，，不符合题意，
当时，函数，对称轴，
当时，，，或舍去，
当时，，，或舍去，
综上所述，的值为或．
【解析】根据二次函数的性质列式求解即可．
本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，属基础题．
22.【答案】解：当时，，，
当时，由，
解得，，，；
点的坐标为或．
由，易得直线的解析式为，
设点的坐标为，
当时，，解得，舍去，
此时点的坐标为；
当时，，解得，舍去，
此时点的坐标为；
当时，，解得舍去．
综上所述，满足条件的点的坐标为或；
过点作于点，如图，
则轴．由，得为等腰直角三角形，
，为等腰直角三角形，
，，，
，∽，
，即，，
，．
设，则，
，
，
当时，有最大值．
【解析】直接根据解析式确定即可；分三种情况列等量关系即可得；根据三角形相似确定与的关系，利用二次函数求最值即可．
本题考查二次函数的性质，考查三角形相似，属于中档题．
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