2023-2024学年江苏省苏州市常熟市高一（上）开学数学试卷（暑期调查）（9月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省苏州市常熟市高一（上）开学数学试卷（暑期调查）（9月份）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 若有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则在，，，中最大的是( )
A. B. C. D.
3. 不论，为何实数，的值( )
A. 总是正数 B. 可以是负数 C. 可以是零 D. 一切实数
4. 分式的值为，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
5. 不等式的解集为( )
A. B.
C. 或 D. 或
6. 下列四个不等式中解为一切实数的是( )
A. B.
C. D.
7. 满足的的个数为( )
A. B. C. D. 多于个
8. 若一元二次不等式有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. 且 B. C. 且 D.
9. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，已知直线交轴于点，交轴于点，过、两点的抛物线交轴于另一点若该抛物线的对称轴上存在点满足是等腰三角形，则点的坐标不可能是( )
A. B. C. D.
11. 已知关于的不等式的解也是不等式的解，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 以上都不正确
12. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：，，，其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 因式分解： ______ ．
14. 关于的分式不等式的解为______ ．
15. 已知二次函数，的最小值是，最大值是，则实数的取值范围是______ ．
16. 已知关于的方程的两根分别是，，则的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
先化简再求值：，其中，．
18. 本小题分
当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
19. 本小题分
解关于的不等式：其中．
20. 本小题分
求函数，的最小值．
求函数，的最大值．
21. 本小题分
已知，是关于的一元二次方程的两个实数根．
若，均为正根，求实数的取值范围；
是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点．
求该抛物线的解析式；
设中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
如图，在中抛物线的第二象限部分是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合因式分解定理，即可求解．
本题主要考查因式分解定理，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据有理数，在数轴上对应点位置，得，，，
所以，，，，
且，所以，
故是最大的．
故选：．
根据数轴上表示的点所在位置即可求解．
本题主要考查简单的合情推理，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
当且仅当，时，该式子的结果是．
故选：．
采用配方法，即可得解．
本题考查指数幂的运算，熟练掌握配方法是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意知，，
所以，解得，
所以．
故选：．
由题意可得，解之即可．
本题考查分式方程的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由原式得且，解得，
即不等式的解集为．
故选：．
把分式不等式转化为整式不等式，即可解得．
本题考查分式不等式的解法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：对于，，所以对任意恒成立，故A正确；
对于，，所以当时，故B错误；
对于，开口向下，不等式的解集不可能为，故C错误；
对于，，不等式无解，故D错误．
故选：．
利用一元二次不等式的解法求解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：时，方程可化为：，解得：，符合题意；
时，方程可化为，方程无解；
时，方程可化为，解得：，符合题意；
故满足的的个数为个．
故选：．
通过讨论的范围，求出方程的解的个数即可．
本题考查了求方程的解的个数，考查分类讨论思想，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可得，
解得且．
故选：．
由题意可得，从而求出的取值范围．
本题主要考查了一元二次方程根的个数问题，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：中，由直线过的点的坐标可得：，与二次函数开口向下矛盾，所以不正确；
中，由直线过的点的坐标可得：，，可得，与二次函数开口向上，对称轴吻合，所以B正确；
中，由直线过的点的坐标可得：，，可得，与二次函数开口向下，对称轴矛盾，所以不正确；
中，由直线过的点的坐标可得：，与二次函数开口向上矛盾，所以不正确．
故选：．
分别由直线过的点坐标判断出，的符合，是否与相应图中的二次函数吻合，判断所给命题的真假．
本题考查二次函数的开口方向与对称轴的求法，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：在抛物线的对称轴上存在点，使是等腰三角形，如图所示，分四种情况考虑：
当时，在中，，，根据勾股定理得：，此时；
由对称性可得；当时，可得，此时；
当时，为线段垂直平分线与对称轴的交点，
，，直线斜率为，中点坐标为，
线段垂直平分线方程为令，得到，此时，
综上，的坐标为或或或．
故选：．
画出图形，结合已知条件，求解的坐标，即可得到选项．
本题考查二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定二次函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，线段垂直平分线定理，勾股定理，以及对称的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，可得，
依题意，，
则不等式的解为，
则，解得，
故．
故选：．
依题意，，分别解两个不等式的解，再根据题意可得，由此得出答案．
本题考查不等式的求解，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：二次函数的图象经过点，可得，，
对称轴，
中，当时，，即，所以正确；
中，，，整理可得：，所以正确；
中，由函数经过，即，而，
再由，可得，所以正确；
中，抛物线的对称轴，所以由图知，顶点的纵坐标，
即，，所以，所以不正确．
故选：．
由二次函数过点，可得，，之间的关系，再由图象及函数与轴的交点的范围，分别判断所给命题的真假．
本题考查二次函数的性质的应用及与轴交点的范围，判断参数的范围，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据已知条件，结合因式分解定理，即可求解．
本题主要考查因式分解定理，属于基础题．
14.【答案】且
【解析】解：由，得，
即，
解得且，
故答案为：且．
由分式不等式的解法求解即可．
本题考查不等式的解法，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：二次函数开口向上，对称轴，且时，；
时，，与关于对称轴对称，所以时，，
又因为的最小值是，最大值是，所以．
故答案为：．
由二次函数的解析式，可得对称轴方程及顶点坐标，再由的最小值是，最大值是，可得的范围．
本题考查二次函数的性质的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：关于的方程的两根分别是，，
，，
，
又，
，
而二次函数在上单调递减，
当时，取得最小值．
故答案为：．
由韦达定理可得，，进而得到，再结合，以及二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了韦达定理的应用，考查了二次函数的性质，属于基础题．
17.【答案】解：原式，
当，时，
原式．
【解析】通分，结合平方差、完全平方公式进行化简运算，再代入求值，即可．
本题考查指数幂的运算，熟练掌握平方差、完全平方公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：当时，，
此时．
当时，，
此时．
当时，，
此时．
综上，当时，函数值最小，最小值为．
【解析】对分类讨论去绝对值，求出的最小值即可．
本题主要考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：不等式可化为，
当时，不等式化为，
解得，
当时，不等式化为，
由于，
解得或，
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或．
【解析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法求解．
本题主要考查了含参数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．
20.【答案】解：函数．
当时，函数单调递减，所以，；
当时，函数在先增后减，则，．
所以；
函数，对称轴，
因为的中点，
当时，即时，则时，有，
当时，即时，则时，有．
所以．
【解析】由函数的解析式可知它的对称轴方程，分的范围，由二次函数的单调性，可得函数的最小值的表达式；
利用区间的中点与对称轴的大小，讨论函数的最大值．
本题考查函数的最值的求法，属于基础题．
21.【答案】解：因为，是一元二次方程的两个正实根，
，且，，，
解得，
即实数的取值范围为；
由题意，且，
解得，
因为，，
所以
，
若，即，
且，
解得，符合题意．
【解析】根据已知结合韦达定理可得，且，，解出即可；
整理得到关于的方程，结合的取值范围即可判断．
本题主要考查了韦达定理的应用，属于基础题．
22.【答案】解：函数过，得，解得，，
则抛物线的解析式：；
由题知、两点关于抛物线的对称轴对称，
所以直线与的交点即为点，此时周长最小，
对于，令，则，
故点，而，
所以，
则的解析式是．
当时，．
所以点的坐标是；
过点作轴的平行线交于点，
设点，则与的交点，
所以，到的距离与到的距离之和等于到轴的距离，
所以．
因为，所以的面积最大值是．
【解析】由函数过，点，代入函数的解析式，可得，的值，进而求出函数的解析式；
由可得，关于对称轴对称，由题意可得点的坐标；
设的坐标，过作平行与的直线交直线于，则的面积等于两个三角形的面积之和，求出的表达式，代入三角形的面积公式，由二次函数的性质可得面积的最大值．
本题考查二次函数的性质的应用及三角形面积的求法，属于基础题．
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