2023-2024学年广东省惠州市惠东荣超中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省惠州市惠东荣超中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，那么等于( )
A. B. C. D.
3. 某水果店老板为了了解葡萄的日销售情况，记录了过去天葡萄的日销售量单位：，结果如下：，，，，，，，，，一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的葡萄尽量新鲜，又能地满足顾客的需求在天中，大约有天可以满足顾客的需求，每天大约应进千克葡萄．( )
A. B. C. D.
4. 如图所示的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
5. 在中，若，则该三角形一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定
6. ，是两条不同直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面积，“势”是几何体的高详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等上述原理在中国被称为祖暅原理一个上底面边长为，下底面边长为高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )
A. B. C. D.
8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且若，外接圆的半径为，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 现有一组数据：，，，记其平均数为，中位数为，方差为，则( )
A.
B.
C. 新数据：，，，，的平均数为
D. 新数据：，，，，的方差为
10. 若向量，满足，，则( )
A. B. 与的夹角为
C. D. 在上的投影向量为
11. 函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是( )
A. 直线是函数图像的一条对称轴
B. 函数的图像关于点对称
C. 函数的单调递增区间为
D. 将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像
12. 在直三棱柱中，，，，点在棱上，，是的中点，则( )
A. 三棱柱的侧面积为
B. 三棱柱外接球的表面积为
C. 平面
D. 平面
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知复数满足，则 ______ ．
14. 陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址如图所示的是一个陀螺立体结构图已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积单位：是______ ．
15. 将曲线上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则的最小值为______ ．
16. 某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为______ 米
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
设向量．
若向量与向量平行，求的值；
若向量 与向量互相垂直，求的值．
18. 本小题分
如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，是的中心，底面，是的中点．
求证：平面；
若，求三棱锥的体积．
19. 本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
求函数的单调递增区间；
求在区间上的最大值和最小值．
20. 本小题分
我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样获得了某年户家庭的月均用水量单位：，将数据按照、、、、分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值精确到；
求全市家庭月均用水量的分位数的估计值精确到．
21. 本小题分
如图，三棱锥中，，．
求证：；
求二面角的余弦值．
22. 本小题分
的内角，，的对边分别为，，设．
求；
若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
所以 ．
故选：．
直接根据复数的除法运算以及复数模的定义即可得到答案．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，
由任意角的三角函数的定义可得，，
则．
故选：．
利用任意角的三角函数的定义求得，再由诱导公式得．
本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式的应用，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：将过去天葡萄的日销售量从小到大排列：，，，，，，，，，，
由题意可知即求这个数据的第百分位数，
因为，
故这个数据的第百分位数为，
即每天大约应进千克葡萄．
故选：．
将过去天葡萄的日销售量从小到大排列，求这个数据的第百分位数即可得答案．
本题考查百分位数的求解，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由于原几何图形的面积：直观图的面积：，
又正方形的边长为，
正方形的面积为，
原图形的面积．
故选：．
由已知中正方形的边长为，我们易得直观图的面积为，又由它是一个水平放置的平面图形的斜二测直观图，可以根据原几何图形的面积：直观图的面积：，快速的计算出答案．
本题考查的知识点是平面图形的直观图相关知识，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：中，，
由正弦定理得，
所以，
即，
所以，
所以该三角形为等腰三角形．
故选：．
由已知结合正弦定理，诱导公式及和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了正弦定理，诱导公式及和差角公式在三角形形状判断中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交或异面，A错误；
对于，可能在平面内，B错误；
对于，可能在平面内，C错误；
对于，垂直于同一直线的两个平面平行，D正确；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查空间直线、平面间的位置关系，注意线面平行、垂直的性质以及判断方法，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查棱台体积的求法，考查祖暅原理的应用，是基础题．
由已知求出正六棱台的上下底面面积，再由棱台体积公式求解．
【解答】
解：由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，
正六棱台的上下底面边长分别为和，
则，，
故．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由，得，
，，
外接圆的半径为，由正弦定理得，则，
，则，
，当且仅当时等号成立，
，即面积的最大值为．
故选：．
根据余弦定理求得，由正弦定理求得，结合三角形面积公式和基本不等式求出结果．
本题主要考查了余弦定理，基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项，因，
样本数据最中间的项为，由中位数的定义可知，，A正确；
对于，不妨令，，
则，B错误；
对于，数据，，，，的均值为：
，C正确；
对于，数据，，，，的均值为：
，
其方差为，D错误．
故选：．
利用中位数的定义可判断选项；举反例可判断选项；利用均值和方差公式可判断选项．
本题主要考查了平均数、中位数和方差的计算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项A，由，
可得，故A错误；
选项B，又，因为，
所以，即与的夹角为，故B正确；
选项C，又，所以，故C正确；
选项D，在上的投影向量为，故D正确．
故选：．
由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂直，求解投影向量即可得结论．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：由图象可知，，且，则函数的周期，
所以，
又，则，
而，
则，，
对于，由于，则直线不是函数图象的对称轴，选项A不正确；
对于，由，可得，则函数的图象关于点对称，选项B正确；
对于，由，可得，
则函数的单调递增区间为，选项C正确；
对于，，选项D正确．
故选：．
根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再逐项判断作答．
本题考查三角函数的图象及性质，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，因为在直三棱柱中，，
所以三棱柱的侧面积为，所以A错误；
对于，因为，所以，
所以为以为直角顶点的等腰直角三角形，
所以三棱柱的外接球半径，
所以外接球的表面积为，所以B正确；
对于，因为，平面，平面，
所以平面，所以C正确；
对于，由已知得，
又是的中点，所以，
因为侧棱平面，平面，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，，
所以，
则，所以，
因为，，平面，
所以平面，所以D正确．
故选：．
对于，直接求解侧面面积即可；对于，判断出为直角三角形，然后根据已知直接求解外接球的半径，从而可求出其表面积；对于，由棱柱的性质和线面平行的判定分析判断；对于，由题意可证得平面，由，再由勾股定理的逆定理可得，然后由线面垂直的判定定理可证得结论．
本题考查了几何体的侧面积计算以及外接球问题，考查了线面关系的判断与证明，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
由求根公式可得，，
所以．
故答案为：．
通过方程解出，再求出即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由于圆锥的高为，圆锥的底面直径为，
所以圆锥的母线长为，
故圆锥的表面积，
圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
故陀螺的表面积为．
故答案为：．
首先求出陀螺的各部分的表面积，进一步求出组合体的表面积．
本题考查的知识要点：组合体的表面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：将曲线上所有点向左平移个单位，可得，
因为与的图象相同，
所以，，
因为，所以的最小值为．
故答案为：．
先利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析，再由两函数图象相同列方程可求得结果．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意可知，在中，，可得，
利用正弦定理可得，即，
又在点处测得塔顶的仰角为，即，，
所以，
即塔高为米．
故答案为：．
在中利用正弦定理可得，再由可计算出米．
本题考查了正弦定理的实际应用，属于中档题．
17.【答案】解：，，，
向量与向量平行，
，解得．
若向量与向量互相垂直，

，
，．
【解析】本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．
由题意利用两个向量平行的性质，求得的值．
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得的值．
18.【答案】证明：连接，，分别是，的中点，，
又平面，平面，
平面．
解：取中点，连接，
是的中点，
为的中位线，则，且，
又平面，平面，
三棱锥的体积为．
【解析】连接，由三角形中位线定理可得，再由直线与平面的判定定理可判定平面；
取中点，连接，可得，且，易得平面，再由棱锥体积公式得解．
本题主要考查线面平行的证明，棱锥体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：，
函数的最小正周期；
令，，解得，，
故函数的单调递增区间为；
，
，
，，
在区间上的最大值为，最小值为．
【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简可得，由周期公式可得；
根据已知条件，结合正弦函数的单调性，即可求解；
由的范围逐步可得的范围，进而利用正弦函数的图象和性质可得最值．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，涉及函数的周期的求解，属于基础题．
20.【答案】解：由频率分布图可知，全市家庭月均用水量平均数的估计值为：
；
设全市家庭月均用水量的分位数的估计值为，
前两个矩形的面积之和为，且，则，
则，
解得，
即分位数的估计值为．
【解析】将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得乘积全部相加可得样本数据的平均数；
设全市家庭月均用水量的分位数的估计值为，分析可知，利用百分位数的定义可得出关于的等式，解之即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的计算，属于基础题．
21.【答案】解：取线段的中点，连结、，如图所示：
，，
，，
又，平面，平面，
平面，
平面，
；
由得是二面角的平面角，
又等边与等边的边长为，
则，
由余弦定理得，
故所求二面角的余弦值为．
【解析】利用线线垂直得到线面垂直，利用线面垂直性质即可证明结论；
利用二面角平面角定义得出二面角的平面角，求出对应长度，即可得出答案．
本题考查直线与平面垂直和二面角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：，
则，即，
则，
，
；
，，
，，
，
，，
，
，
，
面积的取值范围为．
【解析】根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解；
根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换公式，三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
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