2023-2024学年河南省新乡市封丘重点中学八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省新乡市封丘重点中学八年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 如果关于的方程的解，那么的值是( )
A. B. C. D.
3. 若成立，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
4. 将方程去分母得到，错在( )
A. 分母的最小公倍数找错
B. 去分母时，漏乘了分母为的项
C. 去分母时，分子部分没有加括号
D. 去分母时，各项所乘的数为各分母的最小公倍数
5. 在中，已知，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，、相交于点，则为( )
A.
B.
C.
D.
7. 的平方根是( )
A. B. C. D.
8. 下列各数中，无理数有个．( )
A. B. C. D.
9. 不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，等腰三角形底边的长为，面积为，腰的垂直平分线交于点，交于点，若为边上的中点，为线段上一点，则的周长最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 用不等式表示“是负数”______．
12. 若，则______．
13. 如图，五边形的一个内角，则等于______．
14. 计算： ______ ．
15. 将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为度，平行四边形中较大角为度，则与的关系式是______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
解方程：
；
．
17. 本小题分
解不等式组，在数轴上表示解集并写出其整数解．
18. 本小题分
用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如：．
求的值；
若，求的值．
19. 本小题分
如图所示，在直角坐标系中，，，．
作出关于轴的对称图形；
写出的顶点坐标；
求出的面积．
20. 本小题分
为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，天心区某学校八年级一班班主任计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生在某百货店购买甲种品牌奖品件乙种品牌奖品件共用元，已知乙种品牌奖品的销售单价是甲种品牌奖品销售单价的倍．
求甲、乙两种品牌奖品的销售单价各是多少元？
若该学校八年级二班班主任在该百货店共需购买甲、乙两种品牌的奖品共件，且总购买金额不超过元，求甲种品牌奖品的数量至少是多少件？
21. 本小题分
如图，平分，，．
求的度数；
若：：；求的度数．
22. 本小题分
回答下列各题．
观察下列算式，并完成填空：
；
；
；
；
______ 是正整数
如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖从里向外第一层包括块正方形和块正三角形地板砖；第二层包括块正方形和块正三角形地板砖；以此递推．
第层中分别含有______ 块正方形和______ 块正三角形地板砖．
第层中含有______ 块正三角形地板砖用含的代数式表示．
【应用】该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有块正六边形、块正方形和正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，最多能铺多少层？请说明理由．
23. 本小题分
如图，是的外角，与的角平分线交于点．
若，，则 ______ ， ______ ；
探索与的数量关系，并说明理由；
若，，求的度数；
如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
一个图形绕着某固定点旋转度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
2.【答案】
【解析】解：把代入方程，
得：
解得：．
故选：．
方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．
已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”．
3.【答案】
【解析】解：、由，无法比较，故此选项错误；
B、，，故此选项错误；
C、，，故此选项错误；
D、，，故此选项正确．
故选：．
根据不等式的基本性质分别判断得出即可．
本题主要考查了不等式的基本性质．“”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“”存在与否，以防掉进“”的陷阱．
不等式的基本性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】
【解析】解：，
去分母，得，
去括号，得，
选项A，，D正确．
故选：．
根据去分母法解一元一次方程进行判断即可．
本题考查解一元一次方程，解题关键是掌握解一元一次方程的步骤．
5.【答案】
【解析】解：，，
，即，
故选：．
根据三角形的三边关系解答即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，
又是等边三角形，
，，
，
，，
，
又，
．
故选：．
根据正方形的性质及等边三角形的性质求出，，再求．
本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出．
7.【答案】
【解析】解：，
的平方根是．
故选：．
先化简，然后再根据平方根的定义求解即可．
本题考查了平方根的定义以及算术平方根，先把正确化简是解题的关键，本题比较容易出错．
8.【答案】
【解析】解：，
这一组数中无理数有：，，，，共个．
故选：．
直接根据无理数的概念解答即可．
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：移项得，，
系数化为得，．
在数轴上表示为：
故选：．
先根据不等式的基本性质求出其解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆圈表示．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：如图，连接，，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
，
又，
当、、三点共线时，取得最小值，即取得最小值，为的长，
又的长为定值，
的周长最短．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：根据题意可得：．
故答案为：．
利用负数即小于零，即可得出不等式．
本题考查由实际问题抽象一元一次不等式的知识，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
12.【答案】
【解析】解：由题意，得，
解得：．
因此．
先根据非负数的性质列出方程组，求出、的值，然后代入中求解即可．
初中阶段有三种类型的非负数：绝对值；偶次方；二次根式算术平方根当它们相加和为时，必须满足其中的每一项都等于根据这个结论可以求解这类题目．
13.【答案】
【解析】解：，
的外角为，
，
故答案为：．
根据，所以的外角为，用五边形的外角和减去即可解答．
本题考查了多边形的内角与外角，关键是得出的外角度数及外角和为．
14.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：根据平面镶嵌的性质得出：
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质得出，，进而根据，得出，之间的关系．
此题主要考查了菱形的性质以及平行四边形的性质和平面镶嵌的性质，得出是解决问题的关键．
16.【答案】解：去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：；
去分母得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：．
【解析】根据题意先去括号和移项，进而进行合并同类项和系数化为即可求解；
根据题意先去分母、去括号和移项，进而进行合并同类项和系数化为即可求解．
本题考查解一元一次方程，属于基础题，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤．
17.【答案】解：，
由得，
由得，
不等式的解集为，
在数轴上表示：
故整数解为．
【解析】首先求出不等式组的解集，再找出其的整数即可，
此题主要考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小找不到．
18.【答案】解：根据题中的新定义，得
；
由题意，得
，
整理，得，
解得．
【解析】此题考查了解一元一次方程，新定义以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
原式利用题中的新定义运算规则代入数值，再根据有理数的混合运算法则计算即可得到结果；
已知等式利用题中的新定义运算规则得到关于的一元一次方程，再解这个方程即可求出的值．
19.【答案】解：如图，即为所求；
由图可知，，，；
．
【解析】本题考查的是作图轴对称变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
分别作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可得到结果；
根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可得到结果；
利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可得到结果．
20.【答案】解：设甲种品牌奖品的销售单价是元，乙种品牌奖品的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种品牌奖品的销售单价是元，乙种品牌奖品的销售单价是元；
设购买件甲种品牌奖品，则购买件乙种品牌奖品，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：甲种品牌奖品的数量至少是件．
【解析】设甲种品牌奖品的销售单价是元，乙种品牌奖品的销售单价是元，根据“购买甲种品牌奖品件乙种品牌奖品件共用元，且乙种品牌奖品的销售单价是甲种品牌奖品销售单价的倍”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买件甲种品牌奖品，则购买件乙种品牌奖品，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】解：，
，
平分，
．
．
，
．
设，则，，
，
．
，
．
解得．
．
【解析】利用外角性质及，可得，又由角平分线的定义可得：．
设，则，，则，在三角形中再由三角形内角和为建立方程求解即可求解此题．
本题考查了三角形内角和定理、外角性质、角平分线的定义，解题关键是根据几何性质找到等量关系建立方程求解．
22.【答案】
【解析】解：观察算式规律，，
故答案为：；
第一层包括块正方形和块正三角形地板砖，
第二层包括块正方形和块正三角形地板砖，
第三层包括块正方形和块正三角形地板砖．
故答案为：，；
第一层块正三角形地板砖，
第二层块正三角形地板砖，
第三层块正三角形地板砖，
第层块正三角形地板砖．
故答案为：；
铺设这样的图案，最多能铺层．
理由如下：
层，
块正方形地板砖可以铺设这样的图案层；
铺设层需要正三角形地板砖的数量为：，
，，，
块正三角形地板砖最多可以铺设这样的图案层，
铺设这样的图案．最多能铺层．
观察算式找出规律即可；
观察图形数出正方形和正三角形块数；
根据前三层正方形和正三角形块数找出规律；
分别找出所给正方形和正三角形块数各能铺设地面多少层，进而确定答案．
本题考查了图形的变化规律，正确找出其变化规律是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：，，
，
与的角平分线交于点，
，，
，
故答案为：、；
平分，
，
平分，
，
如图，与交于点，
，
，
，
是的外角，
，
，
；
如图，与交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
如图，连接，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
沿折叠，
，，
，，
，
故答案为：．
由三角形内角和定理可求，求出，和，再由三角形内角和定理即可求出结论；
由题中角平分线可得，进而得出，即可得出结论；
与交于点，由，证得，由，证得，故，进而证得，即可证得结论；
连接，先求出，再证明即可解决问题．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识．
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