2023-2024学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校八年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，是无理数的是( )
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标中，点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列不等式变形不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4. 下列每组数分别表示三条线段长度，将它们首尾顺次相接能构成三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
5. 若是关于、的方程的一个解，则常数为( )
A. B. C. D.
6. 今年某市有万名学生参加了关于“你喜爱的一项体育运动”的问卷调查，从中抽取名学生的调查结果进行统计分析，以下说法错误的是( )
A. 万名学生的问卷调查结果是总体 B. 名学生的问卷调查结果是样本
C. 每一名学生的问卷调查结果是个体 D. 名学生是样本容量
7. 中，如果，那么形状是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
8. 如图，已知，，下列条件中，无法判定≌的是( )
A. B. C. D.
9. 把一堆练习本分给学生，如果每名学生分本，那么多本；如果每名学生分本，那么最后名学生只有本设有名学生，本书，根据题意，可列方程组为( )
A. B.
C. D.
10. 不等式组的解集是，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 的平方根是______ ．
12. 比较大小：______
13. 点在轴上，则的值为______ ．
14. 六边形的内角和的度数是______．
15. 如图，已知中，、分别是、的平分线，、交于点，，则______．
16. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、位置，若，则______
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
19. 本小题分
为了加强语文课外阅读，某年级积极组织学生参加课外阅读读书分享会活动，从年级推荐的四种读物：水浒传、：骆驼祥子、：昆虫记、：朝花夕拾中选择一本读物每周一与班级同学分享读书体会．读书分享会活动组随机抽取本年级的部分学生，调查他们这四本读物中最喜爱一本读物，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：
求被调查的学生人数；
补全条形统计图；
已知该年级有名学生，估计全年级最喜爱水浒传的学生有多少人？
20. 本小题分
如图，点、、、在一条直线上，，，．
求证：≌；
若，求的大小．
21. 本小题分
端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，根据调查发现，若购买豆沙粽盒、肉粽盒，共需元；若购买豆沙棕盒、肉粽盒，共需元．
豆沙粽和肉粽的单价分别是多少元？
某商家准备购进这两种粽子共盒，若商家最多能够提供元，则最多购进多少盒肉粽？
22. 本小题分
已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”．
已知，，，则方程的解是不等式______ 填序号的“完美解”；
若是方程组与不等式的一组“完美解”，求的取值范围；
若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围．
23. 本小题分
已知，且满足，过作轴，垂足为．
求点坐标；
如图，分别以，为边作等边和，试判定线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
如图，过作轴，垂足为，点、分别为线段、上的两个动点不与端点重合，满足，设，，，试探究的值是否为定值？如果是，直接写出此定值；如果不是，请举例说明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】
解：、是分数，属于有理数；是无理数；是有限小数，属于有理数．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：点在第三象限．
故选：．
由于点的横坐标为负数，纵坐标为负数，根据各象限内点的坐标的符号特征即可求解．
本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号特征是解决问题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质的运用；用到的知识点为：不等式的两边加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个不为的正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个不为的负数，不等号的方向改变．
根据不等式的个性质找到变形正确的选项即可．
【解答】
解：、由，得，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、由，得，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、由，得，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、由，得，原变形不正确，故此选项符合题意；
故选：．
4.【答案】
【解析】解：、，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、，能组成三角形，故此选项符合题意．
故选：．
利用三角形的三边关系可得答案．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
5.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程成立的未知数的值．
将，代入方程中计算，即可求出的值．
【解答】解：将，代入方程得：，
解得：．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：万名学生的问卷调查结果是总体，说法正确，故本选项不合题意；
B.名学生的问卷调查结果是样本，说法正确，故本选项不合题意；
C.每一名学生的问卷调查结果是个体，说法正确，故本选项不合题意；
D.是样本容量，所以原说法错误，故本选项符合题意．
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
7.【答案】
【解析】据在中，，可求出的度数，进而得出结论．
解：在中，，，
，
，
是直角三角形．
故选：．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、添加，由“”可证≌，故选项A不合题意；
B、添加，由“”可证≌，故选项B不合题意；
C、添加，由“”可证≌，故选项C不合题意；
D、添加，不能证明≌，故选项D符合题意；
故选：．
由全等三角形的判定依次判断可求解．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：依题意，得：．
故选：．
根据“如果每名学生分本，那么多本；如果每名学生分本，那么最后名学生只有本”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：不等式组整理得：，
由解集为，得到的范围为，
故选：．
由已知不等式组的解集确定出的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
的平方根是，
故答案为：．
根据平方根的定义即可求解．
本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为．
此题考查实数的大小比较，关键是根据实数的估算和实数的大小比较解答．
根据实数的估算和实数的大小比较解答即可．
13.【答案】
【解析】解：点在轴上，
，
解得．
故答案为：．
根据轴上点的纵坐标为列方程求解即可．
本题考查了点的坐标，熟记轴上点的纵坐标为是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：六边形的内角和的度数是．
故答案为：．
根据多边形的内角和公式可得答案．
本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：，
，
、分别是、的平分线，
，，
，
，
故答案为：．
根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的外角的性质解答．
本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，
，
长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、位置，
．
．
故答案为．
先利用平行线的性质得，然后根据折叠的性质可计算出，然后利用平角定义计算的度数．
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
17.【答案】解：
．
【解析】依次求出的乘方，的算术平方根，的立方根和去绝对值，再根据实数的加减混合运算法则计算即可．
本题主要考查了实数的混合运算，正确求出的算术平方根，的立方根，是解答本题的关键．
18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：，
．
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出公共部分，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】解：被调查的学生人数为：人；
喜欢读物的学生数为：人，如图所示：
估计全年级最喜爱水浒传的学生有：人．
【解析】从两个统计图可得，“组”的有人，占调查人数的，可求出调查人数；
求出“组”人数，即可补全条形统计图：
用总人数乘以最喜爱水浒传的学生所占的百分比即可．
此题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
20.【答案】证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
，
．
【解析】根据平行线的性质得到，再利用线段的数量关系线段相等，进而得到≌；
利用全等三角形的性质得到，再利用平行线的性质即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：设豆沙粽和肉粽的单价分别是元和元，
根据题意，有：，
解得：，
即豆沙粽和肉粽的单价分别是元和元；
设购买肉粽盒，则购买豆沙粽盒，
根据题意，有：，
解得：，
即最多购买肉粽盒．
【解析】设豆沙粽和肉粽的单价分别是元和元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可作答；
设购买肉粽盒，则购买豆沙粽盒，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
本题主要考查了二元次一方程组以及一元一次不等式的应用，明确题意列出相应的二元次一方程组以及一元一次不等式，是解答本题的关键．
22.【答案】
【解析】解：，得：，
，则方程的解不是不等式的“完美解”；
，则方程的解不是不等式的“完美解”；
，则方程的解是不等式的“完美解”；
故答案为：；
，
将上述两个方程相加可得：，
即有，
是方程组与不等式的一组“完美解”，
，
解得：，
根据题意有：，
解得：，，
，
，
即的取值范围为：．
根据“完美解”的定义代入计算即可判断；
将上述两个方程相加可得：，再根据“完美解”得出关于的一元一次不等式，解不等式即可求解；
根据题意可得，即可得，，问题随之得解．
本题主要考查了一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，正确理解“完美解”的含义，是解答本题的关键．
23.【答案】解由题得，，
；
如图，连接，
由得，
为等腰直角三角形，
，
，为等边三角形，
，，
，
即，
在中，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
如图，在轴负半轴取点，使得，连接，
在和中，
，
≌，
，，
又，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【解析】根据非负数的性质可得、的值；
连接，由知，由，为等边三角形知、，继而由得，根据、知，，，证≌得，再根据知，从而得；
在轴负半轴取点，使得，连接，先证≌得、，结合知，从而得，，再证≌得，即，代入原式可得答案．
本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键
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