2023-2024学年湖南省长沙重点学校八年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙重点学校八年级（上）入学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数中，是无理数的是( )
A. B. C. D.
2. 下列各式是二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
3. 如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具，木条，，在同一平面内，经测量，要使木条，，要使木条与平行，则的度数应为( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列调查中适合全面调查的是( )
A. 对一批浏阳烟花的质量的调查 B. 对湘江流域中的生物多样性情况的调查
C. 对全国中学生的睡眠情况的调查 D. 对宇宙空间站的零部件的检查
5. 若，则点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 如图，与相交于点，，要使≌，则需添加的一个条件可以是( )
A.
B.
C.
D.
7. 不等式的正整数解的个数是( )
A. B. C. D.
8. 某校劳动课学习制作娃娃和沙包，已知每米布可做娃娃个或沙包个现有米布料，完成后打算将个娃娃和个沙包配成一套礼物布料没有剩余，礼物也恰好成套设做娃娃用了米布，做沙包用了米布，则( )
A. B.
C. D.
9. 如果三角形的两边长分别为和，那么这个三角形的周长可能是( )
A. B. C. D.
10. 如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论：，，，，正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若，则 ______ ．
12. 若点在轴上，则点的坐标为______ ．
13. 若方程组的解满足，则的值是______ ．
14. 若一个边形的每个内角都为，那么边数为______ ．
15. 月日为世界读书日，为了解八年级学生的阅读时间，从中抽取名学生进行调查，则该调查中的样本容量是______ ．
16. 如图，在中，交于点，平分交于点，的面积为，的面积为，，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：；
解不等式组：．
18. 本小题分
已知代数式，当和时，它的值都为，当时，它的值为，
求，，的值；
当时，求代数式的值．
19. 本小题分
如图，点、、、在同一条直线上，与相交于点，，，．
求证：；
若，，求的度数．
20. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，．
点的坐标为______ ，点的坐标为______ ，点的坐标为______ ；
画出平移后的三角形；
计算求解的面积．
21. 本小题分
某校组织了一次“疫情防控知识”专题网上学习，并进行了一次全校名学生都参加的网上测试．阅卷后，教务处随机抽取份答卷进行分析统计，绘制了频数分布表和频数分布直方图不完整，请结合图表信息回答下列问题：
分数段分 频数人
合计
______，频数分布直方图的组距是______；
补全频数分布直方图；
全校学生参加网上测试，成绩在范围内的学生约有多少人？
22. 本小题分
为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买，两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元．
每个型垃圾箱和型垃圾箱分别是多少元？
若该小区物业计划用低于元的资金购买，两种型号的垃圾箱共个，且至少购买个型垃圾箱，请问有几种购买方案？
23. 本小题分
如图，，，，，，垂足分别是，，求证：
≌；
．
24. 本小题分
若一个不等式组有解且解集为，则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解即中点值满足不等式组，则称不等式组对于不等式组中点包含．
已知关于的不等式组：，以及不等式：，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程；
已知关于的不等式组：和不等式组：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围．
关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为，求的取值范围．
25. 本小题分
已知，在中，，，，三点都在直线上，且，
如图，若，则与的数量关系为______，与的数量关系为______；
如图，判断并说明线段，与的数量关系；
如图，若只保持，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，是整数，它是有理数，则不符合题意；
是分数，它是有理数，则不符合题意；
，是整数，它是有理数，则不符合题意；
是无限不循环小数，它是无理数，则符合题意；
故选：．
整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数，熟练掌握相关定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、是二元一次方程，故此选项符合题意；
B、不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
C、不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
D、不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
故选：．
根据二元一次方程的定义逐项判断即可得出答案．
本题主要考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且未知数的次数都是的整式方程是二元一次方程，正确理解二元一次方程的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：如图，，
，
要使与平行，则，
．
故选：．
先求出的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答．
本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：对一批浏阳烟花的质量的调查，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B.对湘江流域中的生物多样性情况的调查，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
C.对全国中学生的睡眠情况的调查，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D.对宇宙空间站的零部件的检查，适合全面调查，故本选项符合题意．
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5.【答案】
【解析】解：，，
点在第三象限．
故选：．
根据第三象限内点的坐标特点解答即可．
本题考查的是点的坐标，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：已知，对顶角相等，
A、当时，无法证明≌，不符合题意；
B、当时，可以证明≌，符合题意；
C、当时，无法证明≌，不符合题意；
D、，两个条件无法证明≌，不符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定方法，进行判断即可．
本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
的正整数解为：，，，，共个；
故选：．
解不等式求出的范围，从而可求出的正整数解．
本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，能根据不等式的基本性质求出不等式的解集是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据“每米布可做娃娃个或沙包个．现有米布料，完成后打算将个娃娃和个沙包配成一套礼物”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：设三角形的第三边长是，周长是，
，
，
，
，
故选：．
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可解决问题．
本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线的定义．依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，，据此即可解答．
【解答】解：为外角的平分线，平分，
，，
又是的外角，
，
，故正确；
，分别平分，，
，，
，故、错误；
平分，平分，
，，
，
是的外角，
，故正确；
故选C．
11.【答案】
【解析】解：，为实数，且，
，，
，，
．
故答案为：．
首先根据题意，可得：，，据此分别求出、的值，然后把、的值代入计算即可．
此题考查了实数的运算、绝对值与算术平方根非负性的应用，解题关键是利用非负性求出、的值．
12.【答案】
【解析】解：点在轴上，
，
．
故答案为：．
根据轴上点的坐标特点解答即可．
本题考查的是点的坐标，熟知轴上点的横坐标等于是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
得：，
又，
，
解得：，
的值是．
故答案为：．
利用方程方程，可得出，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，通过解二元一次方程组及，找出关于的一元一次方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：一个边形的每个内角都为，
它的每个外角，
多边形边数．
故答案为：．
先依据多边形的内角的度数求得外角的度数，再根据多边外角和进行求解即可．
本题考查多边形内角与外角，解题关键是熟知多边形无论边数是几，其外角和永远为．
15.【答案】
【解析】解：为了解八年级学生的阅读时间，从中抽取名学生进行调查，这次调查中样本容量为．
故答案为：．
根据样本容量的定义解答即可．
此题主要考查了样本容量，关键是掌握样本容量只是个数字，没有单位．
16.【答案】
【解析】解：，
，
的面积为，，
，
过作于，
平分交于点，
，
的面积为，
，
，
故答案为：．
根据垂直的定义得到，根据三角形的面积求得，过作于，根据角平分线的性质得到，于是得到结论．
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：原式；
，
由得到，，
由得到，，
．

【解析】根据乘方的定义，三次根式的性质，绝对值的性质化简即可；
求出各个不等式的解集，可得结论．
本题考查解一元一次不等式组，实数的运算等知识，解题的关键是掌握解不等式组的方法，属于中考常考题型．
18.【答案】解：代数式，当和时，它的值都为，当时，它的值为，
，
解得
所以，，的值分别是、、；
由，得
把代入上式，得
上式，
所以当时，代数式的值是．
【解析】根据已知条件，列出方程组来求解；
利用的结果，再把代入代数式求值．
解答本题的关键是根据题中的叙述，挖掘出隐藏在其中的已知条件：
，然后根据该方程组的解来求代数式的值．
19.【答案】证明：，，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
；
解：，
，
，
．
，
，
，
．
【解析】根据平行线的性质及线段的和差得出，，，利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解；
根据平行线的性质及三角形内角和定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明≌是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：如图所示，，，，
故答案为：，，；
如图所示，三角形即为所求；
三角形的面积．
根据所作图形写出点的坐标即可；
根据点，经平移后对应点为，找出对应点顺次连接即可；
根据割补法求解即可．
本题考查了平移变换的性质，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：，
频率分布表的组距是，
故答案为：，；
如图，即为补充完整的频数分布直方图；
，
人，
成绩在范围内的学生约有人．
根据表格数据即可求出，，及组距；
结合所得数据即可将频数分布直方图补充完整；
总人数乘以成绩在范围内的学生所占百分比之和即可．
本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频率分布表，解决本题的关键是掌握频数分布直方图．
22.【答案】解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元．
依题意，得：，
解得：．
答：每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元；
设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱．
依题意，得：，
解得：．
又为整数，可以为，，
有种购买方案．
【解析】设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据“购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买型垃圾箱个，则购买型垃圾箱个，依题意列出不等式组，求出的范围，可得出答案．
本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找准数量关系，正确列出二元一次方程组与不等式组．
23.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
≌，
，
于点，于点，
，
．
【解析】先由，证明，再根据直角三角形全等的判定定理“”证明≌，
证明，即可由证明．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、垂直的定义等知识与方法，证明≌是解题的关键．
24.【答案】解：不等式对于不等式组中点包含，判断过程如下：
解不等式组：，得，
的中点值为，
在范围内，
不等式对于不等式组中点包含；
对于不等式组中点包含，
不等式组和不等式组有解，
解不等式组：，得，
不等式组：，得，
，
解得：，
当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为，
的中点值为，
对于不等式组中点包含，
，
解得：，
又，
．
解不等式组得，，解不等式组得，，
的中点值为，
不等式组对于不等式组中点包含，
，
解得：，
所有符合要求的整数之和为，
整数可取、、，或整数可取、、、、、，
或．
【解析】先求不等式组的解集，然后求得的中点值，最后判断；
先求不等式组的解集和不等式组的解集，然后后求得的中点值，最后根据定义求得的取值范围；
先求不等式组和的解集，再求得中点值，然后根据定义得到和不等式，最后通过的条件求出的取值范围．
本题以新定义为背景，考查了两数的中间值、解一元一次不等式组、不等式的解，解题的关键是学会解一元一次不等式组．
25.【答案】解： ；
，
，
，
，
，，
在和中
≌，
，，
；
存在，当≌时，
，，
，此时；
当≌时，
，，
，，
综上：，或，．
【解析】解：，
，
，
，，
在和中
≌，
，，
故答案为：，；
见答案；
见答案．
利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明≌，得，；
由同理可得≌，得，，可得答案；
分≌或≌两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
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