2023-2024学年福建省莆田市城厢区哲理中学九年级（上）返校考数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省莆田市城厢区哲理中学九年级（上）返校考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，此点在边上，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
3. 抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
4. 将二次函数的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的函数图象的解析式为( )
A. B.
C. D.
5. 二次函数的图象经过( )
A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限
6. 广东春季是流感的高发时期，某校月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共人患流感，假设每轮传染中平均每人传染人，则可列方程( )
A. B.
C. D.
7. 如图，与关于点成中心对称，下列结论中不成立的是( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数，，则两个函数在同一坐标系中的图象可能为( )
A. B.
C. D.
9. 已知二次函数，当和时，函数值相等，则的值为( )
A. B. C. D.
10. 如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 一元二次方程的解是_____．
12. 在平面直角坐标系中，点关于坐标原点中心对称的点的坐标是______．
13. 如图，二次函数与一次函数为的图象相交于，两点，则不等式的解为______ ．
14. 二次函数的图象与轴有______个交点．
15. 抛物线经过点，对称轴是直线，则____．
16. 已知，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，，且抛物线与线段有两个不相同的交点，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解方程：．
18. 本小题分
如图，中，将逆时针旋转后得到，点落在边上，，求的度数．
19. 本小题分
如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，求抛物线的解析式．
20. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，．
将向右平移个单位，作出平移后的；
作出关于点成中心对称的图形，并写出对应点的坐标．
21. 本小题分
已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表：
二次函数图象的开口方向______ ，的值______ ；
点、在函数图象上， ______ 填、、；
当时，的取值范围是______ ；
关于的一元二次方程的解为______ ．
22. 本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：不论为何值，方程总有实数根；
若该方程有两根为，，且，求的值．
23. 本小题分
如图，利用一面墙墙的长度不超过，用长的篱笆围一个矩形场地，若设矩形场地面积为，的长度为．
求出与之间的解析式，其中的取值范围是什么？
当和分别为多少米时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为直线过点，且平行于轴，与抛物线交于、两点在的右侧将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．
当时，求点的坐标；
连接、、，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式；
在的条件下，若的面积为，、两点分别在边、上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由．
25. 本小题分
如图，等边与等腰三角形有公共顶点，其中，，连接，为的中点，连接、
为了研究线段与的数量关系，将图中的绕点旋转一个适当的角度，使与重合，如图，请直接写出与的数量关系；
如图，中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
如图，若，求的面积
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
2.【答案】
【解析】解：绕点逆时针旋转一定的角度得到，点在边上，
，
．
故选：．
先根据旋转的性质得到，然后计算即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
3.【答案】
【解析】解：因为抛物线，
所以抛物线的顶点坐标是．
故选：．
根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数的图象先向右平移个单位所得函数的解析式为：；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数的图象先向下平移个单位所得函数的解析式为：．
故选：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：二次函数中，
开口向上，
函数的图象的顶点坐标为，
二次函数的图象经过第一、二象限，
故选：．
根据抛物线的开口方向和图象与轴的交点坐标判断图象所处的位置即可．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够确定开口方向及顶点坐标，难度不大．
6.【答案】
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，依题意得，
即，
故选：．
患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：即可．
本题考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查成中心对称两个图形的性质：对应点的连线被对称中心平分；成中心对称图形的两个图形是全等形．根据中心对称的性质即可判断．
【解答】
解：对应点的连线被对称中心平分，，B正确；
成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确，故D符合题意．
故选D．
8.【答案】
【解析】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，抛物线与轴交于负半轴，故选项不符合题意；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，抛物线与轴交于正半轴，故本选项不符合题意；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，抛物线与轴交于负半轴，故本选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象开口向上，抛物线与轴交于正半轴，故本选项不符合题意；
故选：．
可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，进而判断选项的正误．
考查一次函数及二次函数的图象与性质．熟练运用函数图象与系数的关系是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：当和时，的值相等，
，
解得：．
，，
，
即，
故选：．
根据题意可得出，即可得出答案．
本题考查了二次函数图象上点的特征，解题关键是得出与的关系式．
10.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，
由旋转可得，≌，
，，
又，
为的中点，
垂直平分，
，
设，则，，
，
，
中，，即，
解得，
的长为，
故选：．
连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
11.【答案】，
【解析】解：或，
所以，．
故答案为，．
利用因式分解的方法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
12.【答案】
【解析】解：根据关于原点对称的点的坐标的特征，得点关于坐标原点中心对称的点的坐标是．
故答案为：．
根据关于原点对称的点的坐标的特征解决此题．
本题主要考查关于原点对称的点的坐标的特征，熟练掌握关于原点对称的点的坐标的特征是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由图象可知，与图象的交点的横坐标为和，
当时，的图象在的图象的下方，
不等式的解为．
故答案为：．
由图象可知，与图象的交点的横坐标为和，当时，的图象在的图象的下方，即可得答案．
本题考查二次函数与不等式组，能够利用函数图象判断两个函数的大小关系是解题的关键．
14.【答案】两
【解析】解：，
所以抛物线与轴有两个交点．
故答案为两．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；决定抛物线与轴的交点个数．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线与轴的另一交点为是解题的关键．根据二次函数的对称性求出抛物线与轴的另一交点为，由此求出的值．
【解答】
解：抛物线经过点，对称轴是直线，
与轴的另一交点为，
．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：设直线的解析式为，
则，
，
的解析式为，
，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，
，
抛物线与线段有两个不相同的交点，
时，，且抛物线与直线有交点，且满足条件，
，
令，整理得：，
，
，
，
故答案为：．
用待定系数法求出的解析式，根据二次函数的性质得出时，，且，进一步利用求解即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是掌握二次函数的性质．
17.【答案】解：，
，
，即，
，
，．
【解析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题主要考查解一元二次方程配方法，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18.【答案】解：逆时针旋转后得到，点落在边上，
，，
，
，
，
，
，
即的度数为．
【解析】先根据旋转的性质得到，，再利用互余计算出，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
19.【答案】解：因为抛物线的对称轴是直线，且点在抛物线上，
所以，解得．
所以抛物线的解析式为．
【解析】根据抛物线与轴的交点坐标及对称轴即可解决问题．
本题考查用待定系数法求二次函数解析式，根据题意列出关于，的方程组是解题的关键．
20.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求．
，，．
【解析】根据平移的性质即可将向右平移个单位，可得平移后的；
根据旋转的性质即可作出关于点成中心对称的图形．
本题考查了作图旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质．
21.【答案】向上 或
【解析】解：由表格可见，函数的对称轴为，对称轴右侧，随的增大而增大，故抛物线开口向上，
顶点坐标为，根据函数的对称性；
故答案为：向上；；
从、的横坐标看，点离函数的对称轴近，故；
故答案为：；
从表格看，当时，的取值范围是：，
故答案为：；
从表格看，关于的一元二次方程的解为：或，
故答案为：或．
根据表格数据确定函数的对称轴，根据函数图象对称性即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
22.【答案】证明：，，，
，
，即，
不论为何值，方程总有实数根．
解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，即，
，
整理得：，
解得：，，
的值为或．
【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出无论为何值，方程总有实数根；
利用根与系数的关系可得出，，结合，可得出关于的一元二次方程，结合即可求出的值．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；根据根与系数的关系及，找出关于的一元二次方程．
23.【答案】解：四边形是矩形，的长度为，
．
矩形除边外的三边总长为，
，且，
，且，
，
与之间的函数关系式为；
由得，且，
，
当时，随的增大而减少，
当时，取最大值，最大值，
此时，，
当，时，矩形的面积最大，最大值为．
【解析】因为，所以，由长方形的面积列式即可；
将中的二次函数进行配方可化为顶点式．利用二次函数的性质求解即可．
本题考查了二次函数的应用中求最值的问题，解题关键是根据二次函数的性质求函数的最值．
24.【答案】解：，
抛物线的顶点坐标，
，点和点关于直线对称，
点的坐标为；
抛物线的顶点与的顶点关于直线对称，
，抛物线：，
当时，，
当时，如图，过作轴于，
，
，
，
，
，
，
，
直线轴，
，
，，
，
，
，
点在的图象上，
，
或，
当时，得，，此时，点和点重合，舍去，当时，符合题意；
将代入：得：，
当，如图，过作交的延长线于，
同理，，
，
，
，
，
，
当在的图象上，
，
解得或，
，
，此时，，符合题意；
将代入：得，：，
易知，当，此种情况不存在；
综上所述，所对应的函数表达式为或；
如图，由知，当时，，
此时，的面积为，不合题意舍去，
当时，，此时，的面积为，符合题意，
由题意得，，取的中点，
在中可求得，在中可求得，
当，，三点共线时，取最小值，最小值为．
【解析】本题考查二次函数的对称的相关知识，直角三角形的三个角为直角的情况分析，不同情况下的最值问题．
本题考查二次函数的对称的相关知识，直角三角形的三个角为直角的情况分析，不同情况下的最值问题．解题的关键是理解对称的关键，直角三角形的不同情况分析，综合应用．
25.【答案】解：如图中，
由题意：在中，，，
．
结论成立．
理由：如图中，延长到，使得，连接，．
，，
，，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，
．
如图中，延长交于，由得到，
，
，
，
如图中，作于，于．
在等腰中，，，
，
，
，，
在中，．
，，，
在中，．
【解析】利用直角三角形度角的性质即可解决问题．
结论成立．如图中，延长到，使得，连接，利用三角形的中位线定理证明，再证明即可解决问题．
如图中，延长交于，由得到，首先证明，解直角三角形求出即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
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