2022-2023学年福建省泉州市石狮市永宁中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州市石狮市永宁中学高二（下）期末
数学试卷
一、选择题（本大题共11小题，共55分）
1. 下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 若随机变量，且，则的值是( )
A. B. C. D.
3. 的展开式中，常数项是( )
A. B. C. D.
4. 有名学生报名参加项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为( )
A. B. C. D.
5. 已知函数的导函数为，且满足为自然对数的底数，则等于．( )
A. B. C. D.
6. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高单位：服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是( )
A. 该地水稻的平均株高为
B. 该地水稻株高的方差为
C. 随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率大
D. 随机测量一株水稻，其株高在和在单位：的概率一样大
7. 甲、乙两个袋子中各装有个大小相同的小球，其中甲袋中有个红球，个白球和个黑球，乙袋中有个红球，个白球和个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球若用事件、和分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件表示从乙袋中取出的球是红球，则( )
A. B. C. D.
8. 函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论正确的有( )
A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增
C. 在处取得极大值 D. 在处取得极小值
9. 已知，则( )
A. 展开式中所有项的系数和为
B. 展开式中二项系数最大项为第项
C.
D.
10. 已知离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. D.
11. 下列命题中，正确的有( )
A. 服从，若，，则
B. 若已知二项式的第三项和第八项的二项式系数相等．若展开式的常数项为，则
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法有种
二、非选择题（共105分）
12. 某学校安排名高三教师去个学校进行交流学习，一所名，一所名，一所名，则不同的安排方式共有______ 种
13. 两个线性相关变量与的统计数据如表：
其回归直线方程是，则相应于点的残差为______ ．
14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______ ．
15. 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员，，进行围棋比赛，甲对，乙对，丙对各一盘，已知甲胜，乙胜，丙胜的概率分别为，，，假设各盘比赛结果相互独立．
求红队至少两名队员获胜的概率为______ ；
用表示红队队员获胜的总盘数，求的期望．
16. 已知函数，在时有极大值；
Ⅰ求，的值；
Ⅱ求函数在上的最值．
17. 甲、乙去某公司应聘面试该公司的面试方案为：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；
从面试发挥的稳定性角度分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
18. 某人工智能公司想要了解其开发的语言模型准确率是否与使用的训练数据集大小有关联，该公司随机选取了大型数据集和小型数据集各个，并记录了使用这些数据集训练的模型在测试数据集上的准确率准确率不低于则认为达标，根据小型数据集的准确率数据绘制成如图所示的频率分布直方图各组区间分别为，，，，．
求的值，并完成下面的列联表；
大型数据集 小型数据集 合计
达标
不达标
合计
试根据小概率值的独立性检验，能否认为语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小有关联？
附：其中
19. 在，，三个地区爆发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为：：，现从这三个地区中任意选取一个人．
求这个人患流感的概率；
如果此人患流感，求此人选自地区的概率．
20. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：千元对年销售量单位：和年利润单位：千元的影响．对近年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，
得到下面的散点图及一些统计量的值．


其中，
Ⅰ根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由
Ⅱ根据Ⅰ的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
Ⅲ已知这种产品的年利润与、的关系为根据Ⅱ的结果回答下列问题：
年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
21. 已知函数，其中．
当时，求在点处的切线方程；
讨论的单调性；
设，求的最小值，并求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于，，故A错误，
对，，故B错误，
对于，，故C正确，
对于，，故D错误．
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：随机变量，且，
，解得，
．
故选：．
先结合二项分布的期望公式，求出，再结合二项分布的概率公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的期望与概率公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
第项为：，，
的第项为：，，
展开式中的常数项．
故选：．
由二项展开式的通项公式计算可得结果．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：有名学生报名参加项体育比赛，每人限报一项，
根据分步乘法计数原理可得，共有种．
故选：．
根据分步乘法计数原理可解．
本题考查分步乘法计数原理，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，，
其导数，
令，可得，
变形可得，
故选：．
根据题意，由函数的解析式对求导可得，将代入计算可得，变形可得答案．
本题考查导数的计算，注意为常数，要正确求出函数的导数．
6.【答案】
【解析】解：由正态分布密度曲线函数为，
得，．
该地水稻的平均株高为，故A正确；
该地水稻株高的标准差，方差为，故B错误；
，
，
随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率大，故C正确；
，
．
随机测量一株水稻，其株高在和在单位：的概率不一样大，
故D错误．
故选：．
由已知可得，由此判断A正确，B错误；然后再由、、原则求解概率判断与．
本题考查正态分布密度曲线函数，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知，．
故选：．
根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由导函数的图象可知，在上，，单调递减，在上，，单调递增，
所以在处取得极小值，无极大值，
故AD正确，BC错误．
故选：．
结合导函数的图象，求出函数的单调区间，从而判断各个选项．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查导数与单调性的关系，考查数形结合思想与逻辑推理能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：选项A：令，则展开式的各项系数和为，故A正确，
选项B：因为，所以展开式中二项式系数最大项为第项与第项，故B错误，
选项C：令，则，令，则，
所以，故C正确，
选项D：已知关系式两边同时取导，则，
令，则，故D正确，
故选：．
选项A：令，由此即可求解；选项B：根据的值以及二项式系数的性质即可求解；选项C：分别令，，建立方程即可求解；选项D：先对已知关系式求导，然后令，即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由，解得，
所以，所以选项正确；
，
所以，所以选项错误；
，
所以，所以选项正确；
，选项错误．
故选：．
先求得，然后根据概率、期望、方差的知识求得正确答案．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：选项，依题意，解得，所以选项错误．
选项，由于二项式的第三项和第八项的二项式系数相等，
所以，所以，
二项式，
展开式的通项公式是，令，解得，
所以，所以选项正确．
选项，，所以选项正确．
选项，记另一个男生为乙，
若站法如下：
女 甲 女 女 乙
女 甲 乙 女 女
方法有种．
若站法如下：
甲
方法有种．若站法如下：
女 女 乙 甲 女
乙 女 女 甲 女
方法有种．
综上所述，方法数共有种，所以选项正确．
故选：．
根据二项分布、二项式定理、正态分布、排列组合等知识确定正确答案．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，正态分布的概率计算，排列数的计算，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由半均分问题可知，不同的安排方式共有种．
故答案为：．
根据题意由半均分问题解决即可．
本题考查排列组合的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题意，，，
回归直线方程是，
，
，
，
时，，
相应于点的残差为，
故答案为：．
求出样本中心点，代入回归直线方程，求出，通过时，求出预报值，则可得相应于点的残差．
本题考查回归直线方程的应用，在回归分析中，注意残差是测定值与按回归方程预测的值之差，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：在上单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立；
又当时，，
，
解得：，
实数的取值范围为．
故答案为：．
由单调性可知在上恒成立，采用分离变量法可得，由二次函数的最值可求得的范围．
本题考查了利用导数解答恒成立问题，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设甲胜的事件为，乙胜的事件为，丙胜的事件为，
则分别表示甲不胜、乙不胜、丙不胜的事件，
因为，，，
由对立事件的概率公式知，，，
红队至少两人获胜的事件有：，，，，
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
．
依题意可知，，，，
，
，
，
，
故的分布列为：
故E．
由题意知红队至少有两名队员获胜包括四种情况，一是只有甲输，二是只有乙输，三是只有丙输，四是三个人都赢，这四种情况是互斥的，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率得到结果；
由题意知的可能取值是，，，，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，变量等于使得概率可以用减去其他的概率得到，写出分布列，算出期望．
本题考查互斥事件的概率，考查相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
16.【答案】解：Ⅰ函数，可得，
由题意可知．
Ⅱ由Ⅰ知，，
令得或，时，；
时，或．
所以函数在和上单调递减，在上单调递增．
因为，，，，
最大值，最小值．
【解析】Ⅰ求出函数的导数，利用已知条件列出方程组，即可求，的值；
Ⅱ求出函数的导数，判断函数的单调性求解极值以及函数的端点值，即可求函数在上的最值．
本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
17.【答案】解：设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，
由题意可得的可能取值为：，，，
所以，，，
所以的分布列为：
由题意可得，
所以，，
，，
所以的分布列为：
，．
，
，
因为，所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．
【解析】根据题意得服从超几何分布，服从二项分布，分别求解概率及分布列，利用期望公式求解即可；
比较期望和方差即可．
本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，是中档题．
18.【答案】解：由，解得，
准确率不低于的小型数据集有个，
由此可得列联表如下：
大型数据集 小型数据集 合计
达标
不达标
合计
零假设为：语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小无关联，
根据列联表中的数据，得到，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小有关联．
【解析】由频率之和可得，进而可得列联表；
计算卡方即可与临界值比较求解．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
19.【答案】解：设这个人患流感为事件，
则．
设此人选自地区为事件，
则，
此人选自地区的概率为．
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
利用条件事件的概率公式直接求解．
本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式，条件事件的概率公式等基础知识，是中档题．
20.【答案】解：Ⅰ由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型．分
Ⅱ令，先建立关于的线性回归方程．
由于，，
所以关于的线性回归方程为，
因此关于的回归方程为分
Ⅲ由Ⅱ知，当时，年销售量的预报值，
年利润的预报值分
根据Ⅱ的结果知，年利润的预报值，
当时，年利润的预报值最大．
故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大．分
【解析】Ⅰ根据散点图，即可判断出，
Ⅱ先建立中间量，建立关于的线性回归方程，根据公式求出，问题得以解决；
Ⅲ年宣传费时，代入到回归方程，计算即可，
求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．
本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．
21.【答案】解：显然，的定义域为，
时，，，
故，，故切线方程为．
，显然是增函数，
当时，，此时是增函数；
当时，由得，
故当时，，在上单调递减；当时，，此时在上单调递增；
综上可知，时，是增函数；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
，，显然为增函数，
令得，当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，故，
令，则可化为，，
令得，当时，，此时单调递增，时，，此时单调递减，
故．
【解析】求切点处的函数值、导数值，然后利用点斜式写出切线方程；
求出导数的零点，通过讨论导数零点与定义域的关系，确定导数的符号，从而确定原函数的单调性；
讨论的导数的零点与定义域的关系，找到原函数的极小值点，进而求出，再利用导数研究的最大值．
本题考查导数的综合应用以及学生的逻辑推理能力，属于中档题．
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