2023-2024学年安徽省阜阳市重点中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省阜阳市重点中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2. 若直线：与：平行，则，间的距离是( )
A. B. C. D.
3. 圆在点处的切线方程是( )
A. B.
C. D.
4. 如图，直线，，的斜率分别为，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于( )
A. B. C. 或 D. 或
6. 已知圆：，直线：被圆截得的弦长为( )
A. B. C. D.
7. 已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8. 已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若两直线：与：互相平行，则( )
A.
B.
C. 与之间的距离为
D. 与、距离相等的点的轨迹方程为
10. 下列四个命题中真命题有( )
A. 直线在轴上的截距为
B. 经过定点的直线都可以用方程表示
C. 直线必过定点
D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是
11. 已知直线：与圆：，则下列说法正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 圆的圆心坐标为
C. 存在实数，使得直线与圆相切
D. 若，直线被圆截得的弦长为
12. 已知过点的直线与圆：交于，两点，为坐标原点，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 点到直线的距离的最大值为 D. 的面积为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 与圆同圆心且过点的圆的方程是______ ．
14. 若直线与垂直，则 ______ ．
15. 点是圆的一条弦的中点，则这条弦所在直线的方程为______ ．
16. 若三条直线，与能围成一个直角三角形，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知的三个顶点分别为，，．
求边上的高所在直线的方程；
求边上的中线所在直线的方程．
18. 本小题分
已知直线：和直线：．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
19. 本小题分
已知圆方程：，圆：相交点、．
求经过点、的直线方程．
求三角形的面积．
20. 本小题分
已知圆：和直线：．
求圆：关于直线：对称的圆的标准方程；
圆有一动点，直线上有一动点，求的最小值．
21. 本小题分
已知直线：．
若直线不经过第四象限，求的取值范围；
若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为为坐标原点，求的最小值和此时直线的方程．
22. 本小题分
在平面内，，，为动点，若．
求点的轨迹方程；
已知直线过点，求曲线截直线所得的弦长的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设直线的倾斜角，可得
，
．
故选：．
先求出直线的斜率，然后结合倾斜角与斜率关系即可求解．
本题考查了斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题设，则，可得或，
时，：，：，满足题设；
时，：，：，显然重合，不满足；
所以，此时：，：，它们距离为．
故选：．
根据直线平行的判定列方程求得，再应用平行线的距离公式求距离即可．
本题主要考查平行线的距离公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：圆的标准方程为，
圆心，
直线和圆相切于点，
的斜率，
则切线斜率，
故切线方程为，
即，
故选：．
根据直线和圆相切得到切线斜率即可得到结论．
本题主要考查切线方程的求解，根据直线和圆相切得到切线斜率是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：直线，，的斜率分别为，，，
由图可知，的倾斜角大于的倾斜角大于的倾斜角，且，，
则，
故选：．
由直线的倾斜角与斜率的关系结合图形得答案．
本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查数形结合思想，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：圆整理得：，
圆心，半径，
圆的圆心，半径，
由于两圆半径相同，故若圆与圆有且仅有一个公共点，则两圆外切，
所以，整理得，解得或．
故选：．
根据两圆半径大小关系结合圆与圆位置关系判断，即可列方程求解实数的值．
本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得，圆心为，半径，由于弦心距，
故直线被截得的弦长为．
故选：．
由题意可得，圆心为，半径，求出弦心距，再利用弦长公式求得直线被截得的弦长．
本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键．
根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．
【解答】
解：如图所示：
点，，过点的直线与线段有公共点，
直线的斜率或，
的斜率为，的斜率为，
直线的斜率或，
故选D．
8.【答案】
【解析】解：圆的圆心，半径，直线的方程为：，
于是点到直线：的距离，而点在圆上，
因此点到直线距离的最大值为，又，
所以面积的最大值为．
故选：．
根据给定条件，求出直线的方程，再求出点到直线距离的最大值作答．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：两直线：与：互相平行，
，即，
或，
检验，当时，两直线：与：平行，
当时，两直线：与：重合，
，A正确，B错误，
与的距离为，C正确，
设与，距离相等的点为，则，
整理得，，
与，距离相等的点的轨迹方程为，D正确，
故选：．
利用两条直线平行的充要条件判断，利用两平行直线间的距离公式判断．
本题考查了两条直线平行的充要条件，两平行直线间的距离公式，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项，直线在轴上的截距为，错；
对于选项，过点且垂直于轴的直线方程为，不能用方程表示，错；
对于选项，将直线方程变形为，
由可得，故直线过定点，对；
对于选项，若直线与直线平行，则，解得，
直线方程可化为，
故两平行直线间的距离为，对．
故选：．
利用截距的定义可判断选项；取点且垂直于轴的直线，可判断选项；求出直线所过定点的坐标，可判断选项；利用两直线平行求出的值，结合平行线间的距离公式可判断选项．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：：变形为，
故恒过定点，A正确；
：变形为，圆心坐标为，B正确；
令圆心到直线：的距离，
整理得：，
由可得，方程无解，
故不存在实数，使得直线与圆相切，C错误；
若，直线方程为：，圆心在直线：上，
故直线被圆截得的弦长为直径，D正确．
故选：．
选项，将直线方程变形后得到，求出恒过的定点；
选项，将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标；
选项，令圆心到直线的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式判断出结论；
选项，当时，求出圆心在直线上，故直线被圆截得的弦长为直径，D正确．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，圆：的圆心坐标为，半径为，
又，点在圆内部，
因为过点的直线与圆：交于，两点，
所以的最大值为，所以A正确；
因为，
当直线与垂直时，此时弦取得最小值，
最小值为，所以B错误；
当直线与垂直时，点到直线的距离有最大值，
且最大值为，所以C错误；
由，可得，即，
所以的面积为，所以D正确．
故选：．
求得圆的圆心坐标为，半径为，结合圆的性质和圆的弦长公式，三角形面积公式，即可分别求解．
本题考查直线与圆的位置关系，圆的弦长公式，点到线的距离，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：圆的圆心坐标为，
所以圆的半径为：，
故圆的方程为．
故答案为：．
直接利用两点间的距离公式的应用求出圆的半径，进一步求出圆的方程．
本题考查的知识要点：圆的方程的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：直线与直线互相垂直，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
本题考查两条直线垂直的性质的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：圆的方程可化为，圆心坐标为，半径长．
设这条弦所在直线为，则，
因为，所以直线的斜率，
所以所求直线为，即．
故答案为：．
先求出圆的圆心，半径，设这条弦所在直线为，则，求出直线的斜率，从而可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
16.【答案】或
【解析】解：直线和的斜率分别为和，
两条直线不垂直，
若三条直线围成一个直角三角形，
则或，
当时，直线与垂直，且不经过直线与的交点，成立，
当时，直线与垂直，且不经过直线与的交点，成立，
故答案为：或．
三条直线中任意两条不平行，且不交于同一点，可围成三角形，若其中两条相互垂直，可围成直角三角形．
本题考查直线与直线的位置关系，考查直线的方程，属于基础题．
17.【答案】解：由题意得，且，
所以，
则边上的高所在直线的方程为，化简得；
由题知的中点，所以，
则边上的中线所在直线的方程为，化简得．
【解析】由两点式斜率公式求出斜率，利用垂直关系得的斜率，代入点斜式即可求解；
求出点的坐标为，由两点式斜率公式求出的斜率，代入点斜式即可求解．
本题主要考查了直线的一般方程，属于基础题．
18.【答案】解：若，则
，解得或；
若，则
，解得或．
时，：，：，满足，
时，：，：，此时与重合，
所以．
【解析】根据两直线垂直的公式，即可求解；
根据两直线平行，，求解，再代回直线验证．
本题考查直线平行与垂直的计算，属于基础题．
19.【答案】解：把与圆：相减得，
即过的直线方程为；
因为到直线：的距离，
圆：的半径，
故，
所以三角形的面积．
【解析】直接把两圆方程相减即可求解经过，的直线方程；
结合直线与圆相交的性质，先求出，然后求出到的距离，即可求解．
本题主要考查了两相交圆公共弦的求解，直线与圆相交性质的应用，属于基础题．
20.【答案】解：圆：整理得：，圆心，半径，
设圆心关于直线：对称点为，
所以，解得，
则圆关于直线：对称的圆的标准方程为．
圆心到直线：的距离，
在圆上，直线上有一动点，根据圆的性质可得．
【解析】设圆心关于直线对称点为，根据对称求解，，即可得对称圆心，从而求得圆的标准方程；
利用圆的几何性质即可判断的最小值．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
21.【答案】解：直线：可化为，
要使直线不经过第四象限，则，
解得，
的取值范围为；
由题意可得，中取得，
取得，
，
当且仅当时，即时取“”，
此时的最小值为，直线的方程为．
【解析】根据题意可得，由此求得的范围．
由题意可得，利用基本不等式求得它的最小值，可得此时直线的方程．
本题主要考查确定直线的位置的要素，基本不等式的应用，属于中档题．
22.【答案】解：设，，，
所以，
所以，
即，
所以点的轨迹方程为．
由可知点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
若曲线截直线所得的弦长最小，则圆心到直线的距离最大，
又圆心到直线的距离最大值为，
所以由弦长公式可得弦长的最小值为．
【解析】设，由向量数量积的坐标表示可得，化简，即可得出答案．
由可知点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，若曲线截直线所得的弦长最小，则圆心到直线的距离最大，再结合弦长公式，即可得出答案．
本题考查轨迹方程，直线与圆的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
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