2023-2024学年上海市长宁区延安中学高三（上）开学数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年上海市长宁区延安中学高三（上）开学数学试卷（9月份）
一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若，为实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
3. 函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是( )
A. B.
C. D.
4. 已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”以下结论中正确的个数是( )
若，则为“回旋数列”；
设为等比数列，且公比为有理数，则为“回旋数列”；
设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则；
若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 集合，则中元素的个数为______ ．
6. 已知随机变量，若，则实数的值为______ ．
7. 若，则 ______ ．
8. 若，则 ______ ．
9. 已知直线：与直线：垂直，则实数的值为______ ．
10. 已知复数，其中，，则复数是纯虚数的概率为______ ．
11. 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为，则展开式中的常数项为______ ．
12. 第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行，甲、乙等名志愿者将分别安排到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每个场地至少安排一名志愿者，且每名志愿者只能去一个场地服务，则甲、乙两名志愿者在同一个场地服务的概率为______ ．
13. 在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为______．
14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为______ ．
15. 设数列满足，，若存在常数，使得对于任意的，恒有，则的取值范围是______．
16. 若，，则 ______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列、满足，，，，且，．
求证：是等比数列；
若是递增数列，求实数的取值范围．
18. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，．
求证：平行四边形为矩形；
若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．
19. 本小题分
近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式现将一周网上买菜次数超过次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计
年龄不超过岁的市民
年龄超过岁的市民
合计
是否有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？
社区的市民张无忌周一、二均在网上买菜，且周一从，两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择入平台买菜的概率；如果周一选择平台买菜，那么周二选择入平台买菜的概率为，求张无忌周二选择平台买菜的概率；
用频率估计概率，现从社区市民中随机抽取名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为事件“”的概率为，求使取得最大值的的值．
参考公式：，其中．
20. 本小题分
已知，分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，两点，面积的最大值为．
求椭圆的方程；
若直线与交于点，直线与交于点．
求直线的方程；
记，的面积分别为，，求的最大值．
21. 本小题分
设是由满足下列条件的函数构成的集合：“方程有实数根；函数的导数满足”．
Ⅰ判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；
Ⅱ集合中的元素具有下面的性质：若的定义域为，则对于任意，都存在，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根；
Ⅲ设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的、，当，且时，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当时，则或，当时，，， 无意义，故充分性不成立，
当时，则，则，则必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
根据充分条件、必要条件的定义，即可可解．
本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：为对数函数，不为奇函数，故A错误；
为奇函数，在内为增函数，故B错误；
为奇函数，且，可得为增函数，故C正确；
为奇函数，在，内为增函数，故D错误．
故选：．
由常见函数的奇偶性和单调性可得结论．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查推理能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题知，
，，均在上，
，
，
，
故有：，，
两等式联立，
解得，
，
，
，
，
综上选项B正确．
故选：．
根据，在上，可得出，，再联立，得到的值，根据缩小的取值范围，进而代入求值即可．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：对于：若，
可得，
由，
可得，
取即可，
此时为“回旋数列”，故正确；
对于：已知为等比数列，且公比为有理数，
当时，，，
由，
可得，
所以当时，明显不成立，
故不是“回旋数列”，故错误；
对于：因为是等差数列，
所以，，
因为数列是“回旋数列”，
所以，
整理得，
因为为非负整数，
所以要保证恒为整数，
故为所有非负整数的公约数，且，所以，故正确；
对于：由可得当时，为“回旋数列”，
可得，，
显然不存在，使得，故错误．
综上得结论正确的有．
故选：．
由题意，利用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，结合所给“回旋数列”的定义，对每项进行分析验证，进而可解．
本题考查等差数列和等比数列性质的应用，考查了逻辑推理和分析问题解决问题的能力．
5.【答案】
【解析】解：，．
又，
，所以中元素的个数为．
故答案为：．
解不等式求出，得到答案．
本题考查集合的含义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为随机变量，若，
则与关于对称，
即，
则．
故答案为：．
根据正态分布对称性可解．
本题考查正态分布对称性，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
直接利用两角和的正弦公式求解．
本题主要考查了两角和的正弦公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由已知得，，
又，．
故答案为：．
根据指数和对数的互化公式建立方程，解方程即可．
本题考查指数和对数的互化公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】或
【解析】解：由于，所以，
即：，解得或．
故答案为：或．
根据直线垂直列方程，由此求得的值．
本题考查两条直线垂直的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：在中，，，
复数为纯虚数，
，，
复数是纯虚数的概率为：，
故答案为：．
由纯虚数得出，的取值，即可求出复数是纯虚数的概率．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为，，
则展开式中的通项公式为，
令，求得，可得常数项为，
故答案为：．
由题意利用二项式系数的性质、二项展开式的通项公式，求得展开式的常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】，解：根据题意，先将四人分为，，三组共有种分法，
再将三组分到三个场地共有种分法，
则四名志愿者去三个场地共有种情况，
又甲、乙两名志愿者在同一个场地服务共有种情况，
则甲、乙两名志愿者在同一个场地服务的概率为．
故答案为：．
根据题意先将四人分为，，三组，再计算出甲乙在同一个场地的情况，利用古典概型可解．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为为的中点，是线段上的动点，
，
由，，三点共线可得，，，
则，
已经修改，谢谢当且仅当时取等号．
故答案为：．
由已知结合向量共线定理可求得，然后利用乘法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了向量共线定理及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：法一如图，设，，，
设，则，
又，则，可得，
又，且，
则，化简得．
又点在上，
则，整理可得，
代，可得，即，
解得或舍去，
故．
法二由，得，
设，由对称性可得，
则，
设，则，
所以，解得，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，则．
故答案为：．
法一设，，，根据题意可得点的坐标，进一步得到，再由，可得结合点在双曲线上，可得解；
法二易知，设，，解三角形可知，进而得解．
本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列递推式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
由题意，存在常数，使得对于任意的，恒有，可得，得，即可得出结果．
【解答】
解：由题意，存在常数，使得对于任意的，恒有，
所以，
，
得，
又
所以；
即，
由，可得：，
又
所以的取值范围是．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：由，两边取以 为底的对数，得，
由，令，则，
所以，即，
所以，设，则，
所以在上单调递增，
由以及，则，
由即，则．
故答案为：．
由，两边取以为底的对数，得，由，令，则，从而可得，则，从而得出答案．
本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是中档题．
17.【答案】证明：由题可知：，，
故可得，又，，
，所以是首项为，公比为的等比数列．
解：方法一：
是递增数列，
对任意恒成立，
，，
则对任意恒成立，
即对任意恒成立，
由知，
对任意恒成立，
因为当时取得最大值，且最大值为，
所以，即实数的取值范围为．
方法二：
得，
即，又，
故数列为首项，公差的等差数列，
所以，
又由知，所以，
因为是递增数列，所以对任意恒成立．
所以，
所以，所以，
因为当时取得最大值，且最大值为，
所以，即实数的取值范围为．
【解析】根据已知条件，求得与的关系，即可证明；
方法一：由的单调性可判断，结合已知条件，将问题转化为对任意恒成立，由中所求，即可求得参数范围；
方法二：对已知条件中的两个递推公式作差，求得，结合中所求，即可求得；再根据其单调性，即可求得参数范围．
本题主要考查数列递推式，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：证明：取中点，并连接，由为正三角形，可知，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
又，，平面，，
平面，又平面，，
平行四边形为矩形．
如图，以为原点，为轴，为轴，过点所在直线与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，
则，，，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，则，
设平面的法向量，
则，取，则，
由，解得，
则平面的法向量，，
点到平面的距离为．
【解析】取中点，连接，由正三角形、面面垂直的性质易得面，再由线面垂直的性质及判定证，即可得结论；
构建空间直角坐标系，设并求面、面的法向量，结合面面角的余弦值求参数，应用向量法求点面距．
本题考查了利用空间向量求点到平面的距离，考查了转化思想，属中档题．
19.【答案】解：假设：社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关，
由题意可得，，
则假设不成立，
所以有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关．
记事件：张无忌周一选择平台买菜；事件：张无忌周二选择平台买菜，
则，，，
由全概率公式可得，
因此，张无忌周二选择平台买菜的概率为．
由题意可知，抽取的名市民，喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布，
且喜欢上网买菜的频率为，则，
且，，，，，
设
，，，，，
若，即，即，解得，
若，即，即，解得或，所以当时，最大，故的值为．
【解析】根据题意，计算，即可得到结果；
根据题意，由全概率公式，代入计算，即可得到结果；
根据题意，由二项分布的概率计算公式得到的表达式，然后计算，即可得到结果．
本题考查离散型随机变量的分布列，考查独立性检验，考查条件概率，是中档题．
20.【答案】解：由题意可得，且，
解得，，
所以椭圆的方程为．
设，，则直线的方程为，
因为直线与直线垂直，
所以直线的方程为，
又因为，
所以，
所以，
所以直线的方程为．
设直线：，
联立，得，
所以，
同理，可得，
联立解得，
同理，可得，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为．
【解析】由题意可知，解得，，即可得出答案．
设，，写出直线的方程为，直线的方程为，又，再计算，即可得出答案．
设直线：，联立椭圆的方程，解得，，解得点坐标，点坐标，则，由基本不等式，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
21.【答案】解：因为，
又因为当时，，
所以方程有实数根．
所以函数是的集合中的元素．分
假设方程存在两个实数根，，
则，不妨设，根据题意存在数
使得等式成立．
因为，，且，
所以，
与已知矛盾，
所以方程只有一个实数根；分
不妨设，因为，
所以为增函数，
所以，
又因为，
所以函数为减函数，
所以，
所以，
即，
所以分
【解析】判定函数是否满足：“方程有实数根；函数的导数满足”
证明只有一个的问题，可利用反正法进行证明，假设方程存在两个实数根，，然后寻找矛盾，从而肯定结论．
构造，研究函数的单调性，从而得到，再利用绝对值不等式即可证得．
本题考查了导数的运算，反证法，以及不等式的证明，是一道函数综合问题，有一定难度，可作为考试的压轴题．
第1页，共1页