2.1简谐运动 讲义
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2.1 简谐振动
一、考点梳理
考点一、弹簧振子
1．弹簧振子的运动是最典型的机械振动
振动特征：①有一个“中心位置”，即平衡位置；②运动具有往复性．如图所示．
2.弹簧振子的理想化条件
（1）质量：弹簧的质量比小球(振子)的质量小得多，可以认为质量集中在小球(振子)上．
（2）体积：小球(振子)体积很小，可当成质点处理．
（3）阻力：忽略一切摩擦及阻力作用．
（4）弹性限度：小球(振子)的振动范围在弹簧的弹性限度内．
【典例1】(多选)如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，关于振子的运动，下列说法正确的是( )
A．振子从A点运动到C点时位移大小为，方向向右
B．振子从C点运动到A点时位移大小为，方向向右
C．振子从A点运动到C点的过程中，速度在增大，加速度在减小
D．振子从A点运动到O点的过程中，速度先增大后减小，加速度先减小后增大
【答案】AC
【解析】振子从A点运动到C点时的位移是以O点为起点，C点为终点，故大小为，方向向右，A正确；振子从C点运动到A点时位移是以O点为起点，A点为终点，故大小为，方向向右，B错误；振子的合外力为弹簧的弹力，振子从A点运动到C点的过程和从A点运动到O点的过程中，弹力都在减小，故加速度都在减小，速度方向与加速度方向相同，故速度在增大，C正确，D错误．
【典例2】(多选)如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法中正确的是( )
A．若位移为负值，则加速度一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零，位移最大
C．振子每次通过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同
D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同
【答案】AD
【解析】振子受的力指向平衡位置，振子的位移为负值时，振子的加速度为正值，故A正确；当振子通过平衡位置时，位移为零，速度最大，故B错误；当振子每次通过平衡位置时，速度大小相同，方向不一定相同，但位移相同，故C错误；当振子每次通过同一位置时，位移相同，速度大小一样，但方向可能相同，也可能不同，D正确．
练习1、(多选)如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统．用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是( )
A．钢球的最低处为平衡位置
B．钢球原来静止时的位置为平衡位置
C．钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为3 cm
D．钢球振动到距原静止位置上方2 cm处时位移为2 cm
【答案】BC
【解析】振子的平衡位置为振子静止时的位置，故A错，B对；振动中的位移为从平衡位置指向某时刻振子所在位置的有向线段，据题意可判断C对，D错．
练习2、如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么下列说法正确的是( )
A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同
B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同
C．振子在M、N两点加速度大小相等
D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
【答案】C
【解析】因位移、速度、加速度和弹簧弹力都是矢量，它们要相同必须满足大小相等、方向相同．M、N两点关于O点对称，弹簧弹力、位移和加速度应大小相等、方向相反，故A、B选项错误，C选项正确．振子由M→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动，振子由O→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误．
练习3、(多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是( )
A．在小球运动的最低点
B．在弹簧处于原长时的位置
C．在小球速度最大时的位置
D．在小球原来静止时的位置
【解析】CD 平衡位置是振动系统不振动时，小球(振子)处于平衡状态时所处的位置，可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等，即mg＝kx，也即小球原来静止的位置，故选项D正确，A、B错误；当小球处于平衡位置时，其加速度为零，速度最大，选项C正确．
考点二、弹簧振子的位移—时间图像
1．建立坐标系
如图甲所示，以小球的平衡位置为坐标原点，规定小球在平衡位置右侧时的位移为正，在左侧时的位移为负．
甲 乙
2．绘制图像
（1）用频闪仪来显示小球在不同时刻的位置，由于拍摄时底片匀速移动，会在底片上留下小球和弹簧的一系列的像，得到如图乙所示图像．
（2）若用横轴表示振子运动的时间t，纵轴表示振子在振动过程中离开平衡位置的位移x，则振子振动的x t图像如图所示，是一条正弦(或余弦)曲线．
3．图像的物理意义
反映了振动物体相对平衡位置的位移随时间按正(余)弦规律变化．
【典例1】如图甲所示为一弹簧振子的振动图象，规定向右的方向为正方向，试根据图象分析以下问题：
甲 乙
(1)如图乙所示，振子振动的起始位置是________，从起始位置开始，振子向________(填“右”或“左”)运动．
(2)在图乙中，找出图甲中的O、A、B、C、D各点对应振动过程中的哪个位置？即O对应________，A对应______，B对应________，C对应________，D对应________．
(3)在t＝2 s时，振子的速度方向与t＝0时振子的速度的方向________；1～2 s内振子的速度大小的变化情况是________．
(4)振子在前4 s内的位移等于________．
【答案】(1)E 右 (2)E G E F E (3)相反 逐渐增大 (4)0
【解析】(1)由题图x－t图象知，在t＝0时，振子在平衡位置，故起始位置为E；从t＝0时，振子向正的最大位移处运动，即向右运动．(2)由x－t图象知：O点、B点、D点对应振动过程中的E点，A点在正的最大位移处，对应G点；C点在负的最大位移处，对应F点．(3)t＝2 s时，图线斜率为负，即速度方向为负方向；t＝0时，图线斜率为正，即速度方向为正方向，故两时刻速度方向相反，1～2 s内振子的速度逐渐增大．(4)4 s末振子回到平衡位置，故振子在前4 s内的位移为零．
【典例2】(多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x－t图象如图乙所示．则下列说法中正确的是( )
A．t2时刻振子在A点
B．t2时刻振子在B点
C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大
D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小
【答案】AC
【解析】振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正方向，所以振子在A点有正向最大位移，在B点有负向最大位移，则t2时刻振子在A点，t4时刻振子在B点，故选项A正确，B错误；振子的位移是以平衡位置为参考点的，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故选项C正确，D错误．
练习1、(多选)如图所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q，位移在增大
B．由P→Q，速度在增大
C．由M→N，位移先减小后增大
D．由M→N，位移始终减小
【答案】AC
【解析】由P→Q，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A正确，B错误；由M→N，质点先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因而位移先减小后增大，选项C正确，D错误．
练习2、如图所示，某质点做简谐运动的图象上有a、b、c、d、e、f六个点，其中：
(1)与a位移相同的点有哪些？
(2)与a速度相同的点有哪些？
(3)质点离平衡位置的最大距离为多大？
【答案】(1)b、e、f (2)d、e (3)2 cm
【解析】(1)位移是矢量，位移相同意味着位移的大小和方向都要相同，可知与a位移相同的点有b、e、f.
(2)速度也是矢量，速度相同则要求速度的大小和方向都要相同，可知与a速度相同的点有d、e.
(3)质点离平衡位置的最大距离即质点最大位移的大小．由题图知最大距离为2 cm.
练习3、如图所示是某质点做简谐运动的振动图象，根据图象中的信息，回答下列问题：
(1)质点离平衡位置的最大距离有多大？
(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？
(3)质点在第2 s末的位移是多少？
【答案】(1)10 cm (2)1.5 s时质点向平衡位置运动，2.5 s时质点背离平衡位置运动 (3)0
【解析】(1)由题图知：质点离平衡位置的最大距离为10 cm；
(2)在1.5 s以后的一小段时间内质点位移减小，因此是向平衡位置运动，在2.5 s以后的一小段时间内质点位移增大，因此是背离平衡位置运动；
(3)质点第2 s末在平衡位置，因此位移为零
练习4、如图甲所示，弹簧振子运动的最左端M和最右端N距离平衡位置的距离均为L，规定水平向右为正方向，振子的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．图中x0的大小等于L B．0～时间内振子由M向O运动
C.～时间内振子由M向O运动 D．0～时间内与～T时间内振子运动方向相反
【答案】A
【解析】由下表分析可知，答案为A.
选项 分析 判断
A 结合甲、乙两图可以知道时刻振子的位移为正值且最大，振子位于N点，x0的大小等于L. √
B 0～时间内位移为正值，且逐渐增大，振子由O向N运动. ×
C ～时间内位移为正值，且逐渐减小，振子由N向O运动. ×
D 0～时间内振子先沿正方向运动到正的最大位移处，再沿负方向运动到位移为零处，～T时间内振子先沿负方向运动到负的最大位移处，再沿正方向运动到位移为零处. ×
练习5、(多选)如图所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法正确的是( )
A．该图像的坐标原点是建在弹簧振子小球的平衡位置
B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动
D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同
【答案】ACD
【解析】A从图像中能看出坐标原点在平衡位置，选项A正确；横轴虽然是由底片匀速运动得到的位移，但已经转化为时间轴，小球只在x轴上振动，选项B错误，选项C正确；因图像中相邻小球之间时间相同，密处说明位置变化慢，选项D正确．
考点三、简谐运动
1．简谐运动的概念
如果质点的位移与时间的关系遵循正弦函数的规律，即它的振动图像(x t图像)是一条正弦(或余弦)曲线，这样的振动叫作简谐运动．
2．简谐运动的特点
（1）简谐运动是最简单、最基本的振动．
（2）简谐运动的位移随时间按正弦(或余弦)规律变化，所以它不是匀变速运动，应为变力作用下的变加速运动．
（3）振动物体的位移，我们规定以平衡位置作为位移的起点．
3．简谐运动的图像
（1）简谐运动的图像表示做简谐运动的质点的位移随时间变化的规律．
（2）图像的特点：一条正弦(或余弦)曲线．
（3）从图像中可以直接得到任意时刻质点离开平衡位置的位移．
（4）从图像中可以判断各物理量(如速度、加速度、动能等)的变化情况．
4．简谐运动的位移、速度、加速度
（1）位移：从平衡位置指向振子所在位置的有向线段．
①大小：平衡位置到振子所在位置的距离．
②方向：从平衡位置指向振子所在位置．
③位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示．
（2）速度
①物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量．在所建立的坐标轴(也称“一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反．
②特点：如图所示为一简谐运动的模型，振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，则振子在O点速度最大，在A、B两点速度为零．
（3）加速度
①计算方式：a＝－，式中m表示振子的质量，k表示比例系数，x表示振子距平衡位置的位移．
②特点：加速度与位移呈线性关系，方向只在平衡位置发生改变．
【典例1】如图所示，一弹性小球被水平抛出，在两个竖直且互相平行的平面间运动，小球落在地面之前的运动( )
A．是机械振动，但不是简谐运动
B．是简谐运动，但不是机械振动
C．是简谐运动，同时也是机械振动
D．不是简谐运动，也不是机械振动
【答案】D
【解析】该题考查振动和简谐运动的特点．机械振动具有往复的特性，可以重复地进行，小球在运动过程中，没有重复运动的路径，因此不是机械振动，当然也肯定不是简谐运动．
【典例2】如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
【答案】A
【解析】简谐运动位移是以平衡位置为初始位置的，P→Q的过程位移在增大，速度在减小，故A项正确，B项错误；由M→N速度先增大后减小，故C项错误；M→N位移先减小后增大，故D项错误．
练习1、(多选)如图所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是( )
A．t＝0时刻振子的加速度最大
B．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
C．t2时刻振子的位移最大
D．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
【答案】ACD
【解析】从图像可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图像，A项正确；t1时刻以后振子的位移为负，因此该时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，B项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是在最大位移处，C项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，D项正确．
练习2、如图所示是某振子做简谐运动的图像，以下说法正确的是( )
A．因为振动图像可由实验直接得到，所以图像就是振子实际运动的轨迹
B．振动图像反映的是振子位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹
C．振子在B位置的位移就是曲线BC的长度
D．振子运动到B点时的速度方向即该点的切线方向
【答案】B
【解析】振动图像表示振子位移随时间的变化规律，并不是振子实际运动轨迹，B正确，A、C错误．B点切线的方向不表示振子运动到B点时的速度方向，D错误．
练习3、如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O是平衡位置，把向右的方向选为正方向，以某时刻作为计时零点(t＝0)，此时振子正向负方向运动，加速度为零．那么如图乙所示的四个振动图像能正确反映振动情况的是( )
【答案】D
【解析】计时零点，振子加速度为零，对应振子在平衡位置，B、C项错误；振子向负方向运动，负向位移应逐渐增大，A错误，D正确．
二、夯实小练
1、在弹簧振子做简谐运动的过程中，当振子从最大位移处向平衡位置运动时，下列说法中正确的是（ ）
A．加速度逐渐减小，速度也逐渐减小
B．是匀加速运动
C．加速度与速度的方向都与位移的方向相反
D．回复力逐渐增加，速度也逐渐增加
【答案】C
【解析】做简谐运动的物体，在由最大位移处向平衡位置运动过程中，位移减小，回复力F=-kx也减小（负号表示方向与位移方向相反），故加速度也减小（负号表示方向与位移方向相反），速度增大．振子做加速度减小的加速运动．故C正确，ABD错误.
2、水平方向的弹簧振子做简谐运动，某段时间内加速度增大，则该段时间内（ ）
A．速度增大，位移增大 B．速度减小，位移增大
C．速度增大，位移减小 D．速度减小，位移减小
【答案】B
【解析】水平方向的弹簧振子做简谐运动，在振动过程中，加速度数值越来越大，说明振子离开平衡位置，位移数值越来越大，速度越来越小，故B正确，ACD错误。
3、物体做下列运动时，加速度和速度方向的关系表述正确的是（ ）
A．简谐运动中加速度与速度始终同向
B．竖直上抛运动中加速度与速度始终同向
C．匀速圆周运动中加速度方向与速度方向始终垂直
D．自由落体运动中加速度与速度方向可以相同、也可以相反
【答案】C
【解析】A．简谐运动中，当振子做加速运动时，加速度和速度方向相同，当做减速运动时，加速度个速度方向相反。故A错误；
B．竖直上抛运动中，上升阶段，加速度与速度方向相反。故B错误；
C．匀速圆周运动中加速度方向与速度方向始终垂直，只改变物体的速度方向。故C正确；
D．自由落体运动中加速度与速度方向相同，均为竖直向下。故D错误。
4、如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v（v≠0）相同，那么，下列说法正确的是
A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同
B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同
C．振子在M、N两点加速度大小相等
D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
【答案】C
【解析】B．因M、N两点的速度大小相同，则M、N两点关于O点对称，故振子在M、N两点对平衡位置的位移大小相同，方向相反，选项B错误；
A．根据F=-kx可知，振子在M、N两点所受弹簧弹力大小相同，方向相反，选项A错误；
C．由牛顿第二定律可知振子在M、N两点加速度大小相等，选项C正确；
D．从M点到N点，由于弹力的大小不断变化，故振子先做变加速运动，后做变减速运动，选项D错误；
5、如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．t=0.8s，振子的速度方向向左
B．t=0.2s时，振子在O点右侧6cm处
C．t=0.4s和t=1.2s时，振子的加速度完全相同
D．t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子的速度逐渐减小
【答案】A
【解析】A．由图可知时，振子在平衡位置由正位移向负位移方向运动，即向左运动，速度方向向左，A正确；
B．振动周期，振幅，由图像函数
可知，当时，
振子在O点右侧处，B错误；
C．由图像可知和，振子分别在B、A两点，加速度大小相同，方向相反，C错误；
D．到的时间内，振子由最大位移处相平衡位置运动，振子速度越来越大，D错误；
6、一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法不正确的是( )
A．在10 s内质点经过的路程是20 cm
B．在5 s末，质点的速度为零
C．t＝1.5 s和t＝2.5 s两个时刻质点的位移和速度方向都相反
D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm
【答案】C
【解析】选由题图可知，10 s内质点经过的路程s＝20 cm，A正确，t＝5 s时，速度为零，B正确；t＝1.5 s和t＝2.5 s两个时刻的位移方向相反，但速度方向相同，C错误；由正弦函数的特点可知，t＝1.5 s和t＝4.5 s两个时刻的位移大小相等，都为 cm，D正确。
7、某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是( )
A．t＝1 s时，振子的速度为零
B．t＝2 s时，振子的速度为负，但不是最大值
C．t＝3 s时，振子的速度为负的最大值
D．t＝4 s时，振子的速度为正，但不是最大值
【答案】A
【解析】由题图可知，t＝1 s和t＝3 s时振子在最大位移处，速度为零；而t＝2 s和t＝4 s时振子在平衡位置，速度分别为负向最大、正向最大。
8、如图所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是（ ）
A．t＝0时刻振子的加速度最大
B．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
C．t2时刻振子的位移为正的最大
D．t3时刻振子正通过平衡位置向负方向运动
【答案】A
【解析】A．从图像可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，此时振子的加速度最大，故A正确；B．由图像知，t1时刻以后振子的位移为负，因此t1时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，故B错误；C．由图像知，t2时刻振子在负的最大位移处，即位移为负的最大，故C错误；D．由图像知，t3时刻以后，振子的位移为正，所以t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，故D错误。故选A。
9、（多选）一质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．质点的振动频率是4Hz
B．在10s内质点经过的路程是20cm
C．第4s质点的加速度为零，速度最大
D．在和两时刻，质点的位移大小相等、方向相同
【答案】BC
【解析】A、由图读出周期为T=4s，则频率为f==0.25Hz．故A错误；
B、质点做简谐运动，在一个周期内通过的路程是4个振幅，t=10s=2.5T，则在10s内质点经过的路程是S=2.5×4A=10×2cm=20cm。故B正确；
C、在第4s末，质点位于平衡位置处，速度最大，加速度为零。故C正确；
D、由图看出，在t=1s和t=3s两时刻质点位移大小相等、方向相反。故D错误。
10、光滑的水平面上叠放着质量分别为1kg和0.5kg的两木块M、N，木块M与一劲度系数为100N/m的水平轻弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。已知两木块间的动摩擦因数为0.3，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，要使这两个木块一起振动（不发生相对滑动），取重力加速度大小g=10m/s2 ， 弹簧始终在弹性限度内，则振动的最大振幅为（ ）
A.1.5cm B.3cm C.4.5cm D.9cm
【答案】 C
【解析】对整体最大振幅时有
隔离分析，当最大振幅时，两木块间的摩擦力达到最大静摩擦力，则有
联立解得A=4.5cm
11、如图，简谐运动的图象上有a、b、c、d、e、f六个点，其中：
(1)与a点位移相同的点有哪些？
(2)与a点速度相同的点有哪些？
(3)图象上从a点到c点，质点经过的路程为多少？
【答案】(1)b、e、f (2)d、e (3)4 cm
【解析】(1)分析图象可得a、b、e、f的位移均为1 cm.c、d点的位移都是－1 cm，故与a点位移相同的点有b、e、f三点．(3分)
(2)由(1)可知，图象上的a、b、e、f点对应质点运动到同一位置，图象上的c、d点对应质点运动到关于O点对称的另一位置，故以上6个点的速度大小相等．再结合图象可以判断a、b、c、d、e、f 6个点的运动方向分别为向上、向下、向下、向上、向上和向下．故与a点有相同速度的点为d点和e点．(3分)
(3)图象上从a点到b点，对应质点从正方向1 cm处先是来到2 cm处又返回到1 cm处，通过的路程为2 cm.从b点到c点，对应质点从正方向1 cm处经平衡位置运动到负方向1 cm处，通过的路程也为2 cm，故从a点到c点总共通过的路程为4 cm.
三、培优练习
1、如图所示，水平方向的弹簧振子振动过程中，振子先后经过a、b两点时的速度相同，且从a到b历时0.2s，从b再回到a的最短时间为0.4s，，c、d为振子最大位移处，则该振子的振动频率为（ ）
A．1Hz B．1.25Hz
C．2Hz D．2.5Hz
【答案】B
【解析】由题可知，a、b两点关于平衡位置对称，从a到b历时
从b再回到a的最短时间为0.4s，即从b到c所用时间为
所以弹簧振子振动的周期为
则振动频率为
故B正确，ACD错误。
2、（多选）一弹簧振子沿x轴振动，振幅为.振子的平衡位置位于x轴上的O点.图中的a、b、c、d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向.图中给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图像（ ）
A．若规定状态a时则图像为①
B．若规定状态b时则图像为②
C．若规定状态c时则图像为③
D．若规定状态d时则图像为④
【答案】AD
【解析】A.仔细观察图（a）可知，a状态振子的位移为，且正向正方向运动图（b）中时位移为的图线只有①②，①表示振子正向正方向运动，②表示振子正向负方向运动，故选项A正确；
B.b状态振子的位移为，且正向负方向运动，图（b）中没有相符图线，选项B错；
C.c状态振子的位移为，且正向负方向运动，图（b）中的③虽然时位移为，但振子正向正方向运动，选项C错；
D.d状态振子位于负最大位移处，即将向正方向运动，符合图线④，选项D正确；
3、装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图所示．将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图像可能正确的是( )
【答案】D
【解析】试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，开始时，试管由正向最大位移处开始运动。
4、(多选)劲度系数为20 N/m的水平弹簧振子，它的振动图像如图所示，则图像上的P点反映出此时刻( )
A．弹簧振子的运动方向沿x轴正方向
B．振子所受弹力为0.5 N，其方向沿x轴负方向
C．由t＝0到图像上P点所示时刻振子所经过的路程为37.5 cm
D．由t＝0到图像上P点所示时刻的这段时间内，振子运动的位移为2.5 cm
【答案】ABC
【解析】P点处斜率为正值，故运动方向沿x轴正方向，A正确；此时x＝2.5×10－2 m，由F＝kx有F＝0.5 N，方向指向平衡位置，即向负方向，B正确；由t＝0到图像上P点所示时刻振子所经过的路程为37.5 cm，而位移应为负方向2.5 cm，C正确，D错误．
5、（多选）如图甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图象.下列说法中正确的是( )
A.在t＝0.2 s时，弹簧振子的加速度为正向最大
B.在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子在同一位置
C.从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动
D.在t＝0.6 s时，弹簧振子有最小的弹性势能
【答案】BC
【解析】在t＝0.2 s时，弹簧振子的位移为正向最大值，a＝－，知弹簧振子的加速度为负向最大，A错误；在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的位移相同，说明弹簧振子在同一位置，B正确；从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子从平衡位置向最大位移处运动，位移逐渐增大，加速度逐渐增大，加速度方向与速度方向相反，弹簧振子做加速度增大的减速运动，C正确；在t＝0.6 s时，弹簧振子的位移为负向最大值，即弹簧的形变量最大，弹簧振子的弹性势能最大，D错误.
6、（多选）如图所示，物体 A置于物体 B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与 B相连，在弹性限度范围内，A和 B一起在光滑水平面上作往复运动（不计空气阻力），均保持相对静止． 则下列说法正确的是
A．A和 B均作简谐运动
B．作用在 A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C．B对 A的静摩擦力对 A做功，而 A对 B的静摩擦力对 B不做功
D．B对 A的静摩擦力始终对A做正功，而 A对 B的静摩擦力始终对 B做负功
【答案】AB
【解析】A和B一起在光滑水平面上做往复运动，回复力F=-kx，故都做简谐运动，故A正确；设弹簧的形变量为x，弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为M和m，根据牛顿第二定律得到整体的加速度为，对A：，可见，作用在A上的静摩擦力大小Ff与弹簧的形变量x成正比．故B正确；在简谐运动过程中，B对A的静摩擦力与位移方向相同或相反，B对A的静摩擦力对A做功，同理，A对B的静摩擦力对B也做功，故C错误；当AB离开平衡位置时，B对A的静摩擦力做负功，A对B的静摩擦力做正功，当AB衡位置时，B对A的静摩擦力做正功，A对B的静摩擦力做负功，故D错误。
7、（多选）如图，固定光滑斜面倾角为，一根劲度系数为k的弹簧，上端固定在斜面上，下端连接一质量为m的小物块，物块静止于O点。现将物块沿斜面向上推至弹簧压缩量为的A点无初速度释放，之后物块在AB之间往复运动。则（ ）
A．物块做简谐运动
B．物块在B点时，弹簧的弹性势能最大
C．物块速度的最大值为
D．物块由A向O运动过程中，物块重力势能与弹簧弹性势能之和先减小后增大
【答案】ABC
【解析】A．物体在O点平衡位置时，有
mgsinθ=kx0
当物块在O点以下x处时，设向下为正方向，则合力为
可知物块做简谐振动，选项A正确；
B．物块在B点时，弹簧的形变量最大，此时弹簧的弹性势能最大，选项B正确；
C．物体在O点的速度最大，A点与O点的弹簧形变量大小相等，弹性势能相等，故由A点运动到O点，由动能定理得
其中
解得最大速度
故C正确；
D．根据系统的机械能守恒知：物块的动能和重力势能与弹性势能之和保持不变，在物体A与弹簧构成的系统中，物体从A到O运动的过程中，动能一直变大，则物块重力势能与弹簧弹性势能之和一直减小，故D错误。
8、（多选）如图所示，物体A置于物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连，在弹性限度范围内，A和B一起在光滑水平面上做往复运动(不计空气阻力)。则下列说法正确的是( )
A．物体A和B一起做简谐运动
B．作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C．B对A的静摩擦力对A做功，而A对B的静摩擦力对B不做功
D．物体A和B组成的系统机械能守恒
【答案】AB
【解析】A和B一起在光滑水平面上做往复运动，对整体研究，整体在水平方向上只受弹簧的弹力，因为弹簧的弹力和位移成正比，所以回复力F＝－kx，而对A，在B给的静摩擦力作用下，做往返运动，设弹簧的形变量为x，弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为M和m，根据牛顿第二定律得到整体的加速度为a＝－，对A：f＝|Ma|＝，可见，作用在A上的静摩擦力大小f与弹簧的形变量x成正比，满足F＝－kx形式，故两者都做简谐运动，A、B正确；在简谐运动过程中，B对A的静摩擦力与位移方向相同或相反，B对A的静摩擦力对A做功，同理，A对B的静摩擦力对B也做功，C错误；由于A、B组成的系统中弹簧对系统做功，所以机械能不守恒，D错误。
9、劲度为k的轻弹簧上端固定一只质量为m的小球，向下压小球后释放，使小球开始作
简谐运动。该过程弹簧对水平面的最大压力是1.6mg。求：
（1）小球作简谐运动的振幅A是多大？
（2）当小球运动到最高点时，小球对弹簧的弹力大小和方向如何？
【答案】（1）；（2），方向向下
【解析】（1）小球做简谐运动的平衡位置处，设弹簧压缩量为，由回复力为零可得
选小球和弹簧整体为研究对象，由弹簧对水平面的最大压力是1.6mg，可知此时小球处于超重状态，设向上的加速度为a，在最低点由牛顿第二定律得
解得
设此时弹簧压缩量为，则有
由简谐运动情景可得
联立解得
（2）假设在最高点时小球对弹簧有压力，即小球受向上的支持力，由简谐运动的对称性可得在最高点，小球加速度仍为
且方向向下，取向下为正，对此时小球受力分析可得
联立可得
假设成立，小球对弹簧产生压力，大小为0.4mg，方向向下。
10、简谐运动是最简单、最基本的一种机械振动，其回复力和周期分别为 、 ，其中k为比例系数、m为振动物体质量。某同学用质量为m的密度计（比重计），先规范地测出了烧杯中水的密度ρ，如图所示；再将密度计下压一段较小的距离，然后由静止释放，密度计将会上下振动起来。若忽略水对密度计的阻力，已知密度计有刻度部分的横截面积S不变，烧杯的横截面积要比S大得多，重力加速度为g，求密度计振动的周期。
【答案】
【解析】测水的密度时，设密度计与液面交点为O，浸在水中的体积为V0 ， 根据平衡条件得
振动过程中任意时刻，O点偏离液面的位移为x，回复力的大小为
或
依题意，回复力大小为
即解得
所以密度计在做简谐运动，代入 得
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2.1 简谐振动
一、考点梳理
考点一、弹簧振子
1．弹簧振子的运动是最典型的机械振动
振动特征：①有一个“中心位置”，即平衡位置；②运动具有往复性．如图所示．
2.弹簧振子的理想化条件
（1）质量：弹簧的质量比小球(振子)的质量小得多，可以认为质量集中在小球(振子)上．
（2）体积：小球(振子)体积很小，可当成质点处理．
（3）阻力：忽略一切摩擦及阻力作用．
（4）弹性限度：小球(振子)的振动范围在弹簧的弹性限度内．
【典例1】(多选)如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，关于振子的运动，下列说法正确的是( )
A．振子从A点运动到C点时位移大小为，方向向右
B．振子从C点运动到A点时位移大小为，方向向右
C．振子从A点运动到C点的过程中，速度在增大，加速度在减小
D．振子从A点运动到O点的过程中，速度先增大后减小，加速度先减小后增大
【答案】AC
【解析】振子从A点运动到C点时的位移是以O点为起点，C点为终点，故大小为，方向向右，A正确；振子从C点运动到A点时位移是以O点为起点，A点为终点，故大小为，方向向右，B错误；振子的合外力为弹簧的弹力，振子从A点运动到C点的过程和从A点运动到O点的过程中，弹力都在减小，故加速度都在减小，速度方向与加速度方向相同，故速度在增大，C正确，D错误．
【典例2】(多选)如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法中正确的是( )
A．若位移为负值，则加速度一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零，位移最大
C．振子每次通过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同
D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同
【答案】AD
【解析】振子受的力指向平衡位置，振子的位移为负值时，振子的加速度为正值，故A正确；当振子通过平衡位置时，位移为零，速度最大，故B错误；当振子每次通过平衡位置时，速度大小相同，方向不一定相同，但位移相同，故C错误；当振子每次通过同一位置时，位移相同，速度大小一样，但方向可能相同，也可能不同，D正确．
练习1、(多选)如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统．用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是( )
A．钢球的最低处为平衡位置
B．钢球原来静止时的位置为平衡位置
C．钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为3 cm
D．钢球振动到距原静止位置上方2 cm处时位移为2 cm
【答案】BC
【解析】振子的平衡位置为振子静止时的位置，故A错，B对；振动中的位移为从平衡位置指向某时刻振子所在位置的有向线段，据题意可判断C对，D错．
练习2、如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么下列说法正确的是( )
A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同
B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同
C．振子在M、N两点加速度大小相等
D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
【答案】C
【解析】因位移、速度、加速度和弹簧弹力都是矢量，它们要相同必须满足大小相等、方向相同．M、N两点关于O点对称，弹簧弹力、位移和加速度应大小相等、方向相反，故A、B选项错误，C选项正确．振子由M→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动，振子由O→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误．
练习3、(多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是( )
A．在小球运动的最低点
B．在弹簧处于原长时的位置
C．在小球速度最大时的位置
D．在小球原来静止时的位置
【解析】CD 平衡位置是振动系统不振动时，小球(振子)处于平衡状态时所处的位置，可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等，即mg＝kx，也即小球原来静止的位置，故选项D正确，A、B错误；当小球处于平衡位置时，其加速度为零，速度最大，选项C正确．
考点二、弹簧振子的位移—时间图像
1．建立坐标系
如图甲所示，以小球的平衡位置为坐标原点，规定小球在平衡位置右侧时的位移为正，在左侧时的位移为负．
甲 乙
2．绘制图像
（1）用频闪仪来显示小球在不同时刻的位置，由于拍摄时底片匀速移动，会在底片上留下小球和弹簧的一系列的像，得到如图乙所示图像．
（2）若用横轴表示振子运动的时间t，纵轴表示振子在振动过程中离开平衡位置的位移x，则振子振动的x t图像如图所示，是一条正弦(或余弦)曲线．
3．图像的物理意义
反映了振动物体相对平衡位置的位移随时间按正(余)弦规律变化．
【典例1】如图甲所示为一弹簧振子的振动图象，规定向右的方向为正方向，试根据图象分析以下问题：
甲 乙
(1)如图乙所示，振子振动的起始位置是________，从起始位置开始，振子向________(填“右”或“左”)运动．
(2)在图乙中，找出图甲中的O、A、B、C、D各点对应振动过程中的哪个位置？即O对应________，A对应______，B对应________，C对应________，D对应________．
(3)在t＝2 s时，振子的速度方向与t＝0时振子的速度的方向________；1～2 s内振子的速度大小的变化情况是________．
(4)振子在前4 s内的位移等于________．
【答案】(1)E 右 (2)E G E F E (3)相反 逐渐增大 (4)0
【解析】(1)由题图x－t图象知，在t＝0时，振子在平衡位置，故起始位置为E；从t＝0时，振子向正的最大位移处运动，即向右运动．(2)由x－t图象知：O点、B点、D点对应振动过程中的E点，A点在正的最大位移处，对应G点；C点在负的最大位移处，对应F点．(3)t＝2 s时，图线斜率为负，即速度方向为负方向；t＝0时，图线斜率为正，即速度方向为正方向，故两时刻速度方向相反，1～2 s内振子的速度逐渐增大．(4)4 s末振子回到平衡位置，故振子在前4 s内的位移为零．
【典例2】(多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x－t图象如图乙所示．则下列说法中正确的是( )
A．t2时刻振子在A点
B．t2时刻振子在B点
C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大
D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小
【答案】AC
【解析】振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正方向，所以振子在A点有正向最大位移，在B点有负向最大位移，则t2时刻振子在A点，t4时刻振子在B点，故选项A正确，B错误；振子的位移是以平衡位置为参考点的，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故选项C正确，D错误．
练习1、(多选)如图所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q，位移在增大
B．由P→Q，速度在增大
C．由M→N，位移先减小后增大
D．由M→N，位移始终减小
【答案】AC
【解析】由P→Q，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A正确，B错误；由M→N，质点先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因而位移先减小后增大，选项C正确，D错误．
练习2、如图所示，某质点做简谐运动的图象上有a、b、c、d、e、f六个点，其中：
(1)与a位移相同的点有哪些？
(2)与a速度相同的点有哪些？
(3)质点离平衡位置的最大距离为多大？
【答案】(1)b、e、f (2)d、e (3)2 cm
【解析】(1)位移是矢量，位移相同意味着位移的大小和方向都要相同，可知与a位移相同的点有b、e、f.
(2)速度也是矢量，速度相同则要求速度的大小和方向都要相同，可知与a速度相同的点有d、e.
(3)质点离平衡位置的最大距离即质点最大位移的大小．由题图知最大距离为2 cm.
练习3、如图所示是某质点做简谐运动的振动图象，根据图象中的信息，回答下列问题：
(1)质点离平衡位置的最大距离有多大？
(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？
(3)质点在第2 s末的位移是多少？
【答案】(1)10 cm (2)1.5 s时质点向平衡位置运动，2.5 s时质点背离平衡位置运动 (3)0
【解析】(1)由题图知：质点离平衡位置的最大距离为10 cm；
(2)在1.5 s以后的一小段时间内质点位移减小，因此是向平衡位置运动，在2.5 s以后的一小段时间内质点位移增大，因此是背离平衡位置运动；
(3)质点第2 s末在平衡位置，因此位移为零
练习4、如图甲所示，弹簧振子运动的最左端M和最右端N距离平衡位置的距离均为L，规定水平向右为正方向，振子的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．图中x0的大小等于L B．0～时间内振子由M向O运动
C.～时间内振子由M向O运动 D．0～时间内与～T时间内振子运动方向相反
【答案】A
【解析】由下表分析可知，答案为A.
选项 分析 判断
A 结合甲、乙两图可以知道时刻振子的位移为正值且最大，振子位于N点，x0的大小等于L. √
B 0～时间内位移为正值，且逐渐增大，振子由O向N运动. ×
C ～时间内位移为正值，且逐渐减小，振子由N向O运动. ×
D 0～时间内振子先沿正方向运动到正的最大位移处，再沿负方向运动到位移为零处，～T时间内振子先沿负方向运动到负的最大位移处，再沿正方向运动到位移为零处. ×
练习5、(多选)如图所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法正确的是( )
A．该图像的坐标原点是建在弹簧振子小球的平衡位置
B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动
D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同
【答案】ACD
【解析】A从图像中能看出坐标原点在平衡位置，选项A正确；横轴虽然是由底片匀速运动得到的位移，但已经转化为时间轴，小球只在x轴上振动，选项B错误，选项C正确；因图像中相邻小球之间时间相同，密处说明位置变化慢，选项D正确．
考点三、简谐运动
1．简谐运动的概念
如果质点的位移与时间的关系遵循正弦函数的规律，即它的振动图像(x t图像)是一条正弦(或余弦)曲线，这样的振动叫作简谐运动．
2．简谐运动的特点
（1）简谐运动是最简单、最基本的振动．
（2）简谐运动的位移随时间按正弦(或余弦)规律变化，所以它不是匀变速运动，应为变力作用下的变加速运动．
（3）振动物体的位移，我们规定以平衡位置作为位移的起点．
3．简谐运动的图像
（1）简谐运动的图像表示做简谐运动的质点的位移随时间变化的规律．
（2）图像的特点：一条正弦(或余弦)曲线．
（3）从图像中可以直接得到任意时刻质点离开平衡位置的位移．
（4）从图像中可以判断各物理量(如速度、加速度、动能等)的变化情况．
4．简谐运动的位移、速度、加速度
（1）位移：从平衡位置指向振子所在位置的有向线段．
①大小：平衡位置到振子所在位置的距离．
②方向：从平衡位置指向振子所在位置．
③位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示．
（2）速度
①物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量．在所建立的坐标轴(也称“一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反．
②特点：如图所示为一简谐运动的模型，振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，则振子在O点速度最大，在A、B两点速度为零．
（3）加速度
①计算方式：a＝－，式中m表示振子的质量，k表示比例系数，x表示振子距平衡位置的位移．
②特点：加速度与位移呈线性关系，方向只在平衡位置发生改变．
【典例1】如图所示，一弹性小球被水平抛出，在两个竖直且互相平行的平面间运动，小球落在地面之前的运动( )
A．是机械振动，但不是简谐运动
B．是简谐运动，但不是机械振动
C．是简谐运动，同时也是机械振动
D．不是简谐运动，也不是机械振动
【答案】D
【解析】该题考查振动和简谐运动的特点．机械振动具有往复的特性，可以重复地进行，小球在运动过程中，没有重复运动的路径，因此不是机械振动，当然也肯定不是简谐运动．
【典例2】如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
【答案】A
【解析】简谐运动位移是以平衡位置为初始位置的，P→Q的过程位移在增大，速度在减小，故A项正确，B项错误；由M→N速度先增大后减小，故C项错误；M→N位移先减小后增大，故D项错误．
练习1、(多选)如图所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是( )
A．t＝0时刻振子的加速度最大
B．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
C．t2时刻振子的位移最大
D．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
【答案】ACD
【解析】从图像可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图像，A项正确；t1时刻以后振子的位移为负，因此该时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，B项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是在最大位移处，C项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，D项正确．
练习2、如图所示是某振子做简谐运动的图像，以下说法正确的是( )
A．因为振动图像可由实验直接得到，所以图像就是振子实际运动的轨迹
B．振动图像反映的是振子位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹
C．振子在B位置的位移就是曲线BC的长度
D．振子运动到B点时的速度方向即该点的切线方向
【答案】B
【解析】振动图像表示振子位移随时间的变化规律，并不是振子实际运动轨迹，B正确，A、C错误．B点切线的方向不表示振子运动到B点时的速度方向，D错误．
练习3、如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O是平衡位置，把向右的方向选为正方向，以某时刻作为计时零点(t＝0)，此时振子正向负方向运动，加速度为零．那么如图乙所示的四个振动图像能正确反映振动情况的是( )
【答案】D
【解析】计时零点，振子加速度为零，对应振子在平衡位置，B、C项错误；振子向负方向运动，负向位移应逐渐增大，A错误，D正确．
二、夯实小练
1、在弹簧振子做简谐运动的过程中，当振子从最大位移处向平衡位置运动时，下列说法中正确的是（ ）
A．加速度逐渐减小，速度也逐渐减小
B．是匀加速运动
C．加速度与速度的方向都与位移的方向相反
D．回复力逐渐增加，速度也逐渐增加
【答案】C
【解析】做简谐运动的物体，在由最大位移处向平衡位置运动过程中，位移减小，回复力F=-kx也减小（负号表示方向与位移方向相反），故加速度也减小（负号表示方向与位移方向相反），速度增大．振子做加速度减小的加速运动．故C正确，ABD错误.
2、水平方向的弹簧振子做简谐运动，某段时间内加速度增大，则该段时间内（ ）
A．速度增大，位移增大 B．速度减小，位移增大
C．速度增大，位移减小 D．速度减小，位移减小
【答案】B
【解析】水平方向的弹簧振子做简谐运动，在振动过程中，加速度数值越来越大，说明振子离开平衡位置，位移数值越来越大，速度越来越小，故B正确，ACD错误。
3、物体做下列运动时，加速度和速度方向的关系表述正确的是（ ）
A．简谐运动中加速度与速度始终同向
B．竖直上抛运动中加速度与速度始终同向
C．匀速圆周运动中加速度方向与速度方向始终垂直
D．自由落体运动中加速度与速度方向可以相同、也可以相反
【答案】C
【解析】A．简谐运动中，当振子做加速运动时，加速度和速度方向相同，当做减速运动时，加速度个速度方向相反。故A错误；
B．竖直上抛运动中，上升阶段，加速度与速度方向相反。故B错误；
C．匀速圆周运动中加速度方向与速度方向始终垂直，只改变物体的速度方向。故C正确；
D．自由落体运动中加速度与速度方向相同，均为竖直向下。故D错误。
4、如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v（v≠0）相同，那么，下列说法正确的是
A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同
B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同
C．振子在M、N两点加速度大小相等
D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
【答案】C
【解析】B．因M、N两点的速度大小相同，则M、N两点关于O点对称，故振子在M、N两点对平衡位置的位移大小相同，方向相反，选项B错误；
A．根据F=-kx可知，振子在M、N两点所受弹簧弹力大小相同，方向相反，选项A错误；
C．由牛顿第二定律可知振子在M、N两点加速度大小相等，选项C正确；
D．从M点到N点，由于弹力的大小不断变化，故振子先做变加速运动，后做变减速运动，选项D错误；
5、如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．t=0.8s，振子的速度方向向左
B．t=0.2s时，振子在O点右侧6cm处
C．t=0.4s和t=1.2s时，振子的加速度完全相同
D．t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子的速度逐渐减小
【答案】A
【解析】A．由图可知时，振子在平衡位置由正位移向负位移方向运动，即向左运动，速度方向向左，A正确；
B．振动周期，振幅，由图像函数
可知，当时，
振子在O点右侧处，B错误；
C．由图像可知和，振子分别在B、A两点，加速度大小相同，方向相反，C错误；
D．到的时间内，振子由最大位移处相平衡位置运动，振子速度越来越大，D错误；
6、一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法不正确的是( )
A．在10 s内质点经过的路程是20 cm
B．在5 s末，质点的速度为零
C．t＝1.5 s和t＝2.5 s两个时刻质点的位移和速度方向都相反
D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm
【答案】C
【解析】选由题图可知，10 s内质点经过的路程s＝20 cm，A正确，t＝5 s时，速度为零，B正确；t＝1.5 s和t＝2.5 s两个时刻的位移方向相反，但速度方向相同，C错误；由正弦函数的特点可知，t＝1.5 s和t＝4.5 s两个时刻的位移大小相等，都为 cm，D正确。
7、某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是( )
A．t＝1 s时，振子的速度为零
B．t＝2 s时，振子的速度为负，但不是最大值
C．t＝3 s时，振子的速度为负的最大值
D．t＝4 s时，振子的速度为正，但不是最大值
【答案】A
【解析】由题图可知，t＝1 s和t＝3 s时振子在最大位移处，速度为零；而t＝2 s和t＝4 s时振子在平衡位置，速度分别为负向最大、正向最大。
8、如图所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是（ ）
A．t＝0时刻振子的加速度最大
B．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
C．t2时刻振子的位移为正的最大
D．t3时刻振子正通过平衡位置向负方向运动
【答案】A
【解析】A．从图像可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，此时振子的加速度最大，故A正确；B．由图像知，t1时刻以后振子的位移为负，因此t1时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，故B错误；C．由图像知，t2时刻振子在负的最大位移处，即位移为负的最大，故C错误；D．由图像知，t3时刻以后，振子的位移为正，所以t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，故D错误。故选A。
9、（多选）一质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．质点的振动频率是4Hz
B．在10s内质点经过的路程是20cm
C．第4s质点的加速度为零，速度最大
D．在和两时刻，质点的位移大小相等、方向相同
【答案】BC
【解析】A、由图读出周期为T=4s，则频率为f==0.25Hz．故A错误；
B、质点做简谐运动，在一个周期内通过的路程是4个振幅，t=10s=2.5T，则在10s内质点经过的路程是S=2.5×4A=10×2cm=20cm。故B正确；
C、在第4s末，质点位于平衡位置处，速度最大，加速度为零。故C正确；
D、由图看出，在t=1s和t=3s两时刻质点位移大小相等、方向相反。故D错误。
10、光滑的水平面上叠放着质量分别为1kg和0.5kg的两木块M、N，木块M与一劲度系数为100N/m的水平轻弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。已知两木块间的动摩擦因数为0.3，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，要使这两个木块一起振动（不发生相对滑动），取重力加速度大小g=10m/s2 ， 弹簧始终在弹性限度内，则振动的最大振幅为（ ）
A.1.5cm B.3cm C.4.5cm D.9cm
【答案】 C
【解析】对整体最大振幅时有
隔离分析，当最大振幅时，两木块间的摩擦力达到最大静摩擦力，则有
联立解得A=4.5cm
11、如图，简谐运动的图象上有a、b、c、d、e、f六个点，其中：
(1)与a点位移相同的点有哪些？
(2)与a点速度相同的点有哪些？
(3)图象上从a点到c点，质点经过的路程为多少？
【答案】(1)b、e、f (2)d、e (3)4 cm
【解析】(1)分析图象可得a、b、e、f的位移均为1 cm.c、d点的位移都是－1 cm，故与a点位移相同的点有b、e、f三点．(3分)
(2)由(1)可知，图象上的a、b、e、f点对应质点运动到同一位置，图象上的c、d点对应质点运动到关于O点对称的另一位置，故以上6个点的速度大小相等．再结合图象可以判断a、b、c、d、e、f 6个点的运动方向分别为向上、向下、向下、向上、向上和向下．故与a点有相同速度的点为d点和e点．(3分)
(3)图象上从a点到b点，对应质点从正方向1 cm处先是来到2 cm处又返回到1 cm处，通过的路程为2 cm.从b点到c点，对应质点从正方向1 cm处经平衡位置运动到负方向1 cm处，通过的路程也为2 cm，故从a点到c点总共通过的路程为4 cm.
三、培优练习
1、如图所示，水平方向的弹簧振子振动过程中，振子先后经过a、b两点时的速度相同，且从a到b历时0.2s，从b再回到a的最短时间为0.4s，，c、d为振子最大位移处，则该振子的振动频率为（ ）
A．1Hz B．1.25Hz
C．2Hz D．2.5Hz
【答案】B
【解析】由题可知，a、b两点关于平衡位置对称，从a到b历时
从b再回到a的最短时间为0.4s，即从b到c所用时间为
所以弹簧振子振动的周期为
则振动频率为
故B正确，ACD错误。
2、（多选）一弹簧振子沿x轴振动，振幅为.振子的平衡位置位于x轴上的O点.图中的a、b、c、d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向.图中给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图像（ ）
A．若规定状态a时则图像为①
B．若规定状态b时则图像为②
C．若规定状态c时则图像为③
D．若规定状态d时则图像为④
【答案】AD
【解析】A.仔细观察图（a）可知，a状态振子的位移为，且正向正方向运动图（b）中时位移为的图线只有①②，①表示振子正向正方向运动，②表示振子正向负方向运动，故选项A正确；
B.b状态振子的位移为，且正向负方向运动，图（b）中没有相符图线，选项B错；
C.c状态振子的位移为，且正向负方向运动，图（b）中的③虽然时位移为，但振子正向正方向运动，选项C错；
D.d状态振子位于负最大位移处，即将向正方向运动，符合图线④，选项D正确；
3、装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图所示．将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图像可能正确的是( )
【答案】D
【解析】试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，开始时，试管由正向最大位移处开始运动。
4、(多选)劲度系数为20 N/m的水平弹簧振子，它的振动图像如图所示，则图像上的P点反映出此时刻( )
A．弹簧振子的运动方向沿x轴正方向
B．振子所受弹力为0.5 N，其方向沿x轴负方向
C．由t＝0到图像上P点所示时刻振子所经过的路程为37.5 cm
D．由t＝0到图像上P点所示时刻的这段时间内，振子运动的位移为2.5 cm
【答案】ABC
【解析】P点处斜率为正值，故运动方向沿x轴正方向，A正确；此时x＝2.5×10－2 m，由F＝kx有F＝0.5 N，方向指向平衡位置，即向负方向，B正确；由t＝0到图像上P点所示时刻振子所经过的路程为37.5 cm，而位移应为负方向2.5 cm，C正确，D错误．
5、（多选）如图甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图象.下列说法中正确的是( )
A.在t＝0.2 s时，弹簧振子的加速度为正向最大
B.在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子在同一位置
C.从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动
D.在t＝0.6 s时，弹簧振子有最小的弹性势能
【答案】BC
【解析】在t＝0.2 s时，弹簧振子的位移为正向最大值，a＝－，知弹簧振子的加速度为负向最大，A错误；在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的位移相同，说明弹簧振子在同一位置，B正确；从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子从平衡位置向最大位移处运动，位移逐渐增大，加速度逐渐增大，加速度方向与速度方向相反，弹簧振子做加速度增大的减速运动，C正确；在t＝0.6 s时，弹簧振子的位移为负向最大值，即弹簧的形变量最大，弹簧振子的弹性势能最大，D错误.
6、（多选）如图所示，物体 A置于物体 B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与 B相连，在弹性限度范围内，A和 B一起在光滑水平面上作往复运动（不计空气阻力），均保持相对静止． 则下列说法正确的是
A．A和 B均作简谐运动
B．作用在 A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C．B对 A的静摩擦力对 A做功，而 A对 B的静摩擦力对 B不做功
D．B对 A的静摩擦力始终对A做正功，而 A对 B的静摩擦力始终对 B做负功
【答案】AB
【解析】A和B一起在光滑水平面上做往复运动，回复力F=-kx，故都做简谐运动，故A正确；设弹簧的形变量为x，弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为M和m，根据牛顿第二定律得到整体的加速度为，对A：，可见，作用在A上的静摩擦力大小Ff与弹簧的形变量x成正比．故B正确；在简谐运动过程中，B对A的静摩擦力与位移方向相同或相反，B对A的静摩擦力对A做功，同理，A对B的静摩擦力对B也做功，故C错误；当AB离开平衡位置时，B对A的静摩擦力做负功，A对B的静摩擦力做正功，当AB衡位置时，B对A的静摩擦力做正功，A对B的静摩擦力做负功，故D错误。
7、（多选）如图，固定光滑斜面倾角为，一根劲度系数为k的弹簧，上端固定在斜面上，下端连接一质量为m的小物块，物块静止于O点。现将物块沿斜面向上推至弹簧压缩量为的A点无初速度释放，之后物块在AB之间往复运动。则（ ）
A．物块做简谐运动
B．物块在B点时，弹簧的弹性势能最大
C．物块速度的最大值为
D．物块由A向O运动过程中，物块重力势能与弹簧弹性势能之和先减小后增大
【答案】ABC
【解析】A．物体在O点平衡位置时，有
mgsinθ=kx0
当物块在O点以下x处时，设向下为正方向，则合力为
可知物块做简谐振动，选项A正确；
B．物块在B点时，弹簧的形变量最大，此时弹簧的弹性势能最大，选项B正确；
C．物体在O点的速度最大，A点与O点的弹簧形变量大小相等，弹性势能相等，故由A点运动到O点，由动能定理得
其中
解得最大速度
故C正确；
D．根据系统的机械能守恒知：物块的动能和重力势能与弹性势能之和保持不变，在物体A与弹簧构成的系统中，物体从A到O运动的过程中，动能一直变大，则物块重力势能与弹簧弹性势能之和一直减小，故D错误。
8、（多选）如图所示，物体A置于物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连，在弹性限度范围内，A和B一起在光滑水平面上做往复运动(不计空气阻力)。则下列说法正确的是( )
A．物体A和B一起做简谐运动
B．作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C．B对A的静摩擦力对A做功，而A对B的静摩擦力对B不做功
D．物体A和B组成的系统机械能守恒
【答案】AB
【解析】A和B一起在光滑水平面上做往复运动，对整体研究，整体在水平方向上只受弹簧的弹力，因为弹簧的弹力和位移成正比，所以回复力F＝－kx，而对A，在B给的静摩擦力作用下，做往返运动，设弹簧的形变量为x，弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为M和m，根据牛顿第二定律得到整体的加速度为a＝－，对A：f＝|Ma|＝，可见，作用在A上的静摩擦力大小f与弹簧的形变量x成正比，满足F＝－kx形式，故两者都做简谐运动，A、B正确；在简谐运动过程中，B对A的静摩擦力与位移方向相同或相反，B对A的静摩擦力对A做功，同理，A对B的静摩擦力对B也做功，C错误；由于A、B组成的系统中弹簧对系统做功，所以机械能不守恒，D错误。
9、劲度为k的轻弹簧上端固定一只质量为m的小球，向下压小球后释放，使小球开始作
简谐运动。该过程弹簧对水平面的最大压力是1.6mg。求：
（1）小球作简谐运动的振幅A是多大？
（2）当小球运动到最高点时，小球对弹簧的弹力大小和方向如何？
【答案】（1）；（2），方向向下
【解析】（1）小球做简谐运动的平衡位置处，设弹簧压缩量为，由回复力为零可得
选小球和弹簧整体为研究对象，由弹簧对水平面的最大压力是1.6mg，可知此时小球处于超重状态，设向上的加速度为a，在最低点由牛顿第二定律得
解得
设此时弹簧压缩量为，则有
由简谐运动情景可得
联立解得
（2）假设在最高点时小球对弹簧有压力，即小球受向上的支持力，由简谐运动的对称性可得在最高点，小球加速度仍为
且方向向下，取向下为正，对此时小球受力分析可得
联立可得
假设成立，小球对弹簧产生压力，大小为0.4mg，方向向下。
10、简谐运动是最简单、最基本的一种机械振动，其回复力和周期分别为 、 ，其中k为比例系数、m为振动物体质量。某同学用质量为m的密度计（比重计），先规范地测出了烧杯中水的密度ρ，如图所示；再将密度计下压一段较小的距离，然后由静止释放，密度计将会上下振动起来。若忽略水对密度计的阻力，已知密度计有刻度部分的横截面积S不变，烧杯的横截面积要比S大得多，重力加速度为g，求密度计振动的周期。
【答案】
【解析】测水的密度时，设密度计与液面交点为O，浸在水中的体积为V0 ， 根据平衡条件得
振动过程中任意时刻，O点偏离液面的位移为x，回复力的大小为
或
依题意，回复力大小为
即解得
所以密度计在做简谐运动，代入 得
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