2.2简谐运动的描述 讲义
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2.2 简谐运动的描述
一、考点梳理
考点一、描述简谐运动的物理量及其关系
1．振幅和位移的区别
(1)振幅等于最大位移的数值．
(2)对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的．
(3)位移是矢量，振幅是标量．
2．路程与振幅的关系
(1)振动物体在一个周期内的路程为四个振幅．
(2)振动物体在半个周期内的路程为两个振幅．
(3)振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅．
3．周期和频率由振动系统本身的性质决定，与振幅无关．
4．振动物体路程的计算方法
(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据：
①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅，则在n个周期内通过的路程必为n·4A.
②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅．
③振动物体在内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才等于振幅．
(2)计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程．
【典例1】如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，从A到B运动时间是2 s，则( )
A．从O→B→O振子做了一次全振动
B．振动周期为2 s，振幅是10 cm
C．从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cm
D．从O开始经过3 s，振子处在平衡位置
【答案】C
【解析】振子从O→B→O只完成半个全振动，A错误；从A→B振子也只是半个全振动，半个全振动是2 s，所以振动周期是4 s，B错误；6 s＝T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s，振子处在最大位移处A或B，D错误．
【典例2】一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图所示，由图可知( )
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B．质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D．t＝3 s时，质点的振幅为零
【答案】C
【解析】由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，所以A错误；质点在1 s即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，所以B错误；因为t＝0时质点在最大位移处，0～3 s为T，质点通过的路程为3A＝6 cm，所以C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，所以D错误．
【典例3】(多选)一个质点做简谐运动的图象如图所示，下列叙述中正确的是( )
A．质点的振动频率为4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程为20 cm
C．在5 s末，质点做简谐运动的相位为π
D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm
【答案】BD
【解析】由题图振动图象可直接得到周期T＝4 s，频率f＝＝0.25 Hz，故选项A错误；做简谐运动的质点一个周期内经过的路程是4A＝8 cm.10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，选项B正确；由图象知位移与时间的关系为x＝0.02sin (t) m．当t＝5 s时，其相位为×5＝π，故C错误；在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，x′＝2sin (×1.5) cm＝ cm，故D正确．
练习1、如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是( )
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．振子经过两次全振动通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
【答案】D
【解析】弹簧振子在B、C间振动，振子从B到C经历的时间为半个周期，周期为2 s，振幅为5 cm，故A、B错误；经过两次全振动所用的时间为2T，振子通过的路程是8A＝40 cm，故C错误；从B开始经过3 s，振子运动的时间是1.5个周期，振子通过的路程是1.5×4×5 cm＝30 cm，故D正确．
练习2、一质点做简谐运动的图象如图4所示，下列说法正确的是( )
A．质点的振动频率是4 Hz
B．在10 s内质点通过的路程是20 cm
C．第4 s末质点的速度是零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
【答案】B
【解析】根据振动图象可知，该简谐运动的周期T＝4 s，所以频率f＝＝0.25 Hz，A错误；10 s内质点通过的路程s＝×4A＝10A＝10×2 cm＝20 cm，B正确；第4 s末质点经过平衡位置，速度最大，C错误；在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相反，D错误．
考点二、简谐运动表达式的理解
2．从表达式x＝Asin (ωt＋φ)体会简谐运动的周期性．当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动．
3．从表达式x＝Asin (ωt＋φ)体会特殊点的值．当(ωt＋φ)等于2nπ＋时，sin (ωt＋φ)＝1，即x＝A；当(ωt＋φ)等于2nπ＋时，sin (ωt＋φ)＝－1，即x＝－A；当(ωt＋φ)等于nπ时，sin (ωt＋φ)＝0，即x＝0.
4.应用简谐运动的表达式解决相关问题，首先应明确振幅A、周期T、频率f的对应关系，其中T＝，f＝，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系.
【典例1】(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s.则( )
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为，则A滞后B
【答案】CD
【解析】由振动方程x＝0.1sin 2.5πt，可读出振幅为0.1 m，圆频率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝＝ s＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，振子的位移最大，速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即B超前A，或者说A滞后B，D正确．
【典例2】一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5sin(8πt＋π) cm的规律振动．
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相；
(2)另一简谐运动表达式为x2＝5sin(8πt＋π) cm，求它们的相位差．
【答案】(1) s 4 Hz 5 cm (2)π
【解析】(1)已知ω＝8π rad/s，由ω＝得T＝ s，
f＝＝4 Hz.由x1＝5 sin (8πt＋π) cm知A＝5 cm，φ1＝
(2)由Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1
得Δφ＝π－＝π.
【典例3】如图所示为A、B两个简谐运动的位移—时间图象．请根据图象回答：
(1)A的振幅是 cm，周期是 s；B的振幅是 cm，周期是 s.
(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；
(3)在t＝0.05 s时两质点的位移分别是多少？
【答案】(1)0.5 0.4 0.2 0.8
(2)xA＝0.5sin (5πt＋π) cm，xB＝0.2sin cm
(3)xA＝－ cm，xB＝0.2sinπ cm.
【解析】(1)由题图知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s.
(2)t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φA＝π，由TA＝0.4 s，得ωA＝＝5π rad/s.则A简谐运动的表达式为xA＝0.5sin (5πt＋π) cm.t＝0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φB＝，由TB＝0.8 s得ωB＝＝2.5π rad/s，则B简谐运动的表达式为xB＝0.2sin cm.
(3)将t＝0.05 s分别代入两个表达式中得：xA′＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm＝－0.5× cm＝
－ cm，xB′＝0.2sin cm＝0.2sin π cm.
练习1、某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 x＝Asin t，则质点( )
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B．第1 s末与第3 s末的速度相同
C．第3 s末与第5 s末的位移方向相同
D．第3 s末与第5 s末的速度方向相同
【答案】AD
【解析】根据x＝Asin t可求得该质点振动周期为T＝ 8 s，则该质点振动图象如图所示，图象的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确．
练习2、某个质点的简谐运动图象如图9所示．
(1)求振动的振幅和周期；
(2)写出简谐运动的表达式．
【答案】(1)10 cm 8 s (2)x＝10sin (t) cm
【解析】(1)由题图读出振幅A＝10 cm
简谐运动方程x＝Asin
代入数据得－10＝10sin
得T＝8 s.
(2)x＝Asin (t)＝10sin (t) cm.
考点三、简谐运动的周期性和对称性
简谐运动的周期性和对称性(如图所示)
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD.
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反．
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
【典例1】弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v，已知B、C之间的距离为25 cm.
(1)求弹簧振子的振幅A；
(2)求弹簧振子振动周期T和频率f.
【答案】(1)12.5 cm (2)1 s 1 Hz
【解析】(1)弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，所以振幅是B、C之间的距离的，所以A＝ cm＝12.5 cm.
(2)由简谐运动的对称性可知P到B的时间与B返回P的时间是相等的，所以tBP＝ s＝0.1 s
同时由简谐振动的对称性可知：tPO＝ s＝0.15 s
又由于tPO＋tBP＝
联立得：T＝1 s，所以f＝＝1 Hz.
【典例2】如图所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间tab＝1 s，过b点后再经t′＝1 s质点第一次反向通过b点．若在这两秒内质点所通过的路程是8 cm，试求该质点的振动周期和振幅．
【答案】4 s 4 cm
【解析】简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，因为通过a、b两点时的速度相同，所以a、b连线的中点O必是振动的平衡位置．根据简谐运动的对称性，可知质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同，即tba＝tab＝1 s，质点从a点经最左端位置d再返回a点所用的时间tada必与质点从b点经最右端位置c再返回b点所用的时间tbcb相等，即tada＝tbcb＝t′＝1 s.
综上所述，质点的振动周期为T＝tab＋tbcb＋tba＋tada＝4 s．由题图和简谐运动的对称性可知，质点在一个周期内通过的路程为s＝2＋2＋2＝2(＋2)＝2×8 cm＝16 cm.所以质点的振幅为A＝＝4 cm.
【典例3】一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M处，再经0.2 s第二次到达M点，则其振动频率为( )
A．0.4 Hz B．0.8 Hz
C．2.5 Hz D．1.25 Hz
【答案】D
【解析】由题意知，从M位置沿着原路返回到最大位移的时间也为0.3 s，故完成一个全振动的时间为：T＝0.3 s＋0.2 s＋0.3 s＝0.8 s，故频率为f＝＝1.25 Hz，D正确．
练习1、一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s(如图所示)．过B点后再经过t＝0.5 s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是( )
A．0.5 s B．1.0 s
C．2.0 s D．4.0 s
【答案】C
【解析】根据题意，由振动的对称性可知：AB的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，如图所示．质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB＝×0.5 s＝0.25 s．质点从B向右到达右方最远位置(设为D)的时间tBD＝×0.5 s＝0.25 s．所以，质点从O到D的时间：tOD＝T＝0.25 s＋0.25 s＝0.5 s．所以T＝2.0 s.
练习2、如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么，下列说法正确的是( )
A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同
B．振子在M、N两点相对平衡位置的位移相同
C．振子在M、N两点加速度大小相等
D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
【答案】C
【解析】因位移、速度、加速度和弹力都是矢量，它们要相同必须大小相等、方向相同．M、N两点关于O点对称，振子所受弹力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反，A、B选项错误．振子在M、N两点的加速度虽然方向相反、但大小相等，故C选项正确．振子由M→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动．振子由O→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误．
练习3、如图所示，在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20 cm，图示P位置是弹簧振子处于自然伸长的位置，若将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经0.5 s振子m第一次回到P位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是( )
A．该弹簧振子的振动频率为1 Hz
B．若向右拉动10 cm后由静止释放，经过1 s振子m第一次回到P位置
C．若向左推动8 cm后由静止释放，振子m两次经过P位置的时间间隔是2 s
D．在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要位移不超过20 cm，总是经0.5 s速度就降为0
【答案】D
【解析】由题意知，该弹簧振子振动周期为T＝0.5×4 s＝2 s，且以后不再变化，即弹簧振子固有周期为2 s，振动频率为0.5 Hz，所以B选项中应经过0.5 s第一次回到P位置，A、B选项错误；C选项中两次经过P位置的时间间隔为半个周期，是1 s，C选项错误，D选项正确．
练习4、一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则( )
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子振动的速度一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等
【答案】C
【解析】结合弹簧振子的运动示意图和振动图象进行分析；如图所示：
图中的a、b、c三点位移大小相等、方向相同，显然Δt不一定等于T的整数倍， A错误；图中的a、d两点的位移大小相等、方向相反，Δt<，B错误；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，速度也相等，C正确；相隔的两个时刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度并不相等，D错误．
二、夯实小练
1．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝3sin（t＋）cm，则（ ）
A．质点的振幅为3m
B．质点的振动周期为s
C．t＝0.75s时，质点到达距平衡位置最远处
D．质点前2s内的位移为－4.5cm
【答案】D
【解析】AB．从关系式可知A＝3cm，ω＝rad/s，故周期为
T＝＝3s
故A、B错误；
C．t＝0.75s时，质点的位移为
x＝3sin（×＋）cm＝0
质点在平衡位置处。故C错误；
D．在t＝0时刻质点的位移x＝3cm，2s时质点的位移
x′＝3sin（×2＋）cm＝－1.5cm
故前2s内质点的位移为－4.5cm。故D正确。
2．弹簧振子做简谐振动，若从平衡位置O开始计时，如图，经过0.2s（0.2s小于振子的四分之一振动周期）时，振子第一次经过P点，又经过了0.2s，振子第二次经过P点，则振子的振动周期为（ ）
A．0.4s B．0.8s C．1.0s D．1.2s
【答案】D
【解析】由题意可知，振子从O开始向右运动，设振子向右运动的最远点为Q，根据对称性可知振子从P向右运动到Q的时间为0.1s，则振子从O向右运动到Q的时间为0.3s，所以振子的周期为1.2s，故D正确。
3．如图所示，一个在光滑水平面内的弹簧振子的平衡位置为，第一次用力把弹簧拉伸到后释放让它振动，第二次把弹簧拉伸到后释放让它振动，，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为（ ）
A．1:1 1:1 B．1:1 1:2 C．1:4 1:4 D．1:2 1:2
【答案】B
【解析】弹簧两次到和的伸长量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1:2，而同一振动系统的周期由自身的性质决定，与振幅无关，故周期之比为1:1.
4．图为一质点做简谐运动的位移随时间变化的图像，由图可知，在t=4 s时刻，质点的 （ ）
A．速度为零，位移为正的最大值
B．速度为零，位移为负的最大值
C．加速度为正的最大值，位移为零
D．加速度为负的最大值，位移为零
【答案】A
【解析】在t=4 s时，质点的位移为正向最大，质点的速度为零，而加速度方向总是与位移方向相反，大小与位移大小成正比，则加速度为负向最大值。故A正确，BCD错误。
5．某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是（ ）
A．时，振子的速度为零
B．时，振子的速度为负，但不是最大值
C．时，振子的速度为负的最大值
D．时，振子的速度为正，但不是最大值
【答案】A
【解析】AC．由题图可知，和时振子在最大位移处，速度为零，故选项A正确，C错误；
BD．和时振子在平衡位置，速度分别为负向最大值和正向最大值，故BD错误。
6．一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．在10 s内质点经过的路程是20 cm
B．在5 s末，质点的速度为零
C．t=1.5 s和t=2.5 s两个时刻质点的位移和速度方向都相反
D．t=1.5 s和t=4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是cm
【答案】C
【解析】A．由题图可知1s的路程为2cm，则10s内质点经过的路程为20cm，A正确，不符合题意；
B．5s末，质点运动至最大位移处，速度为零，B正确，不符合题意；
C．t=1.5s和t=2.5s两个时刻的位移方向相反，但速度方向相同，C错误，符合题意；
D．题图对应的函数关系为
代入数据t=1.5s和t=4.5s可知，两个时刻的位移大小相等，都为cm，D正确，不符合题意。
7．如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是（ ）
A．钢球运动的最高处为平衡位置 B．钢球运动的最低处为平衡位置
C．钢球速度为零处为平衡位置 D．钢球原来静止时的位置为平衡位置
【答案】D
【解析】钢球在竖直方向做简谐运动，平衡位置为重力和弹簧弹力相等的位置，即钢球原来静止的位置为平衡位置，在平衡位置处速度最大，故ABC错误，D正确。
8．如图甲所示，水平光滑杆上有一弹簧振子，振子以点为平衡位置，在、两点之间做简谐运动，其振动图像如图乙所示。由振动图像可以得知（ ）
A．振子的振动周期等于
B．从到，振子正从点向点运动
C．在时刻，振子的位置在点
D．在时刻，振子的加速度为最大
【答案】B
【解析】A．根据振子的振动周期是振子完成一次全振动所用的时间，可知振子的振动周期等于，故A错误；
B．在时刻，正通过平衡位置，从到，振子的速度为正，说明振子正从点向点运动，故B正确；
C．从时刻，振子的位移为0，说明位于平衡位置点，故C错误；
D．在时刻，振子的位移为0，正通过平衡位置，振子的加速度为零，故D错误。
9．如图所示，小球m连着轻质弹簧，放在光滑水平面上，弹簧的另一端固定在墙上，O点为它的平衡位置，把m拉到A点，OA=1 cm，轻轻释放，经0.2 s运动到O点，如果把m拉到A′点，使OA′=2 cm，弹簧仍在弹性限度范围内，则释放后运动到O点所需要的时间为（ ）
A．0.2 s B．0.4 s C．0.3 s D．0.1 s
【答案】A
【解析】不论将m由A点还是A′点释放，到达O点的时间都为四分之一个周期，即均为0.2s，其周期与振幅大小无关，只由振动系统本身决定，故A正确，BCD错误。
10．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为（ ）
A．1∶1 1∶1 B．1∶1 1∶2
C．1∶4 1∶4 D．1∶2 1∶2
【答案】B
【解析】弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，而对同一振动系统，其周期与振幅无关，则周期之比为1∶1，振动周期由振动系统的性质决定，与振幅无关。
11．（多选）下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法中正确的是（ ）
A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率的乘积是一个常数
C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
【答案】BD
【解析】A．振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，A错误；
B．周期和频率互为倒数，即
T＝
故
T·f＝1
B正确；
CD．做简谐运动的物体的振动周期和频率只与振动系统本身有关，与振幅无关，C错误，D正确。
12．弹簧振子做机械振动，若从平衡位置O开始计时，经过0.3 s时，振子第一次经过P点，又经过了0.2 s，振子第二次经过P点，则到该振子第三次经过P点可能还需要多长时间（ ）
A．s B．1.0 s C．0.4 s D．1.4 s
【答案】AD
【解析】假设振子从平衡位置开始向右运动，当P点在右侧时，由题意可知
该振子第三次经过P点还需要的时间为
当P点在左侧时，由题意可知
可得
该振子第三次经过P点还需要的时间为
AD正确。
13．如图是某质点做简谐运动的振动图像。根据图像中的信息，判断下列说法正确的是（ ）
A．质点离开平衡位置的最大距离为10 cm
B．在1.5 s和2.5 s这两个时刻，质点的位移相同
C．在1.5 s和2.5 s这两个时刻，质点的速度相同
D．质点在0.5 s内通过的路程一定是10 cm
【答案】AC
【解析】A．由振动图像可知，质点离开平衡位置的最大距离为10 cm，故A正确；
B．在1.5 s和2.5 s这两个时刻，质点的位移等大反向，故B错误；
C．在1.5 s和2.5 s这两个时刻，图像的斜率相同，则质点的速度相同，故C正确；
D．，则质点在0.5 s内通过的路程一定不是一个最大位移大小10 cm，故D错误。
14．弹簧振子以O点为平衡位置，在水平方向上的A、B两点间做简谐运动，以下说法正确的是（ ）
A．振子在A、B两点时的速度为零位移不为零
B．振子在通过O点时速度的方向将发生改变
C．振子所受的弹力方向总跟速度方向相反
D．振子离开O点的运动总是减速运动，靠近O点的运动总是加速运动
【答案】AD
【解析】A．振子在A、B两点时的速度为零，但位移为最大，A正确；
B．振子经过O点时速度方向不变，B错误；
C．弹力的方向有时也与速度方向相同，C错误。
D．振子离开O点运动时，加速度方向与速度方向相反，是减速运动；靠近O点运动时，加速度方向与速度方向相同，是加速运动，D正确。
19．做简谐运动的物体，其位移随时间的变化规律为cm，则下列说法正确的是（ ）
A．它的振幅是4cm B．它的周期是0.02s
C．它的初相位是 D．它在周期内通过的路程可能是cm
【答案】BD
【解析】ABC．根据表达式可知物体的振幅为
周期为
初相位为
故AC错误，B正确；
D．根据三角函数知识可知当物体从相位为的时刻运动至相位为的时刻所经历的时间为，且此时间内物体运动的路程为
故D正确。
四、培优练习
1．弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s，第一次到达点M，再经过0.2 s，第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为（ ）
A．0.53 s B．1.4 s C．3 s D．2 s
【答案】A
【解析】如图甲所示：
设O为平衡位置，OB（OC）代表振幅，振子从O→C所需时间为。因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故
=0.3s+s=0.4s
解得
T=1.6s
如图乙所示：
若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M'与点M关于点O对称，则振子从点M'经过点B到点M'所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即0.2s。振子从点O到点M'、从点M'到点O及从点O到点M所需时间相等，为
s
故周期为
T=0.5s+s≈0.53s
2．下列有关简谐运动的说法中正确的是（ ）
A．振子振动过程中位移不变
B．经过一个周期振子完成一次全振动
C．一分钟内完成全振动的次数，叫简谐运动的频率
D．从某位置出发，到下次经过该位置就完成一次全振动
【答案】B
【解析】A．在弹簧振子的振动过程中，振子的位移随时间不断变化，A错误；
B．弹簧振子完成一次全振动的时间是一个周期，B正确；
C．每秒钟内完成全振动的次数叫简谐运动的频率，C错误；
D．从某位置出发，到下次经过该位置并且速度相同才能称为一次全振动，故从某位置出发，到下次经过该位置不一定是完成一次全振动，D错误。
3．弹簧振子做简谐运动时，从振子经过某一位置A开始计时，则（ ）
A．当振子再次与零时刻的速度相同时，经过的时间一定是半个周期
B．当振子的加速度再次与零时刻的加速度相同时，一定又到达位置A
C．当振子再次经过A时，经过的时间一定是半个周期
D．一定还有另一个位置跟位置A有相同的位移
【答案】B
【解析】A．当振子再次与零时刻的速度相同时，振子通过关于平衡位置对称点，经过的时间可能为半周期，也可能小于半个周期，故A错误；
B．弹簧振子做简谐振动，具有对称性，当振子的加速度再次与零时刻的加速度相同时，根据可知，位移相同，故一定又到达位置A。故B正确；
C．当振子再次经过A时，经过的时间可能为半周期，也可能小于、大于半个周期，故C错误；
D．简谐运动的位移是相对平衡位置而言的，故不同点一定是对应不同的位移，故D错误；
4．一弹簧振子的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin（2.5πt），位移x的单位为m，时间t的单位为s。则（ ）
A．弹簧振子的振幅为0.2m
B．弹簧振子的周期为1.25s
C．在t＝0.2s时，振子的运动速度为零
D．弹簧振子的振动初相位为2.5π
【答案】C
【解析】A．根据公式对应可得，，A错误；
B．根据公式可得
B错误；
C．在t = 0.2s时，x=0振子位于正向最大位移处，速度为零，C正确；
D．根据可得，弹簧振子的振动初相位为0，D错误；
5．一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则（ ）
A．弹簧振子的振幅为0.2m
B．弹簧振子的周期为1.25s
C．在t=0.2s时，振子的运动速度最大
D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x=0.2sin5πt，则B振动的频率比A高
【答案】D
【解析】A．质点做简谐运动，振动方程为
x=0.1sin2.5πt
可读出振幅
A=0.1m
故A错误；
B．由振动方程
x=0.1sin2.5πt
可知为，可求出周期
故B错误；
C．在t=0.2s时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故C错误；
D．由振动方程
x=0.2sin5πt
可知为,可求出周期
又
可求
故B振动的频率比A高，故D正确。
6．如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像。已知甲、乙两个振子质量相等，则（ ）
A．甲、乙两振子的振幅分别为2 cm、1 cm
B．甲、乙两个振子的相位差总为π
C．前2秒内甲、乙两振子的加速度均为正值
D．第2秒内甲、乙振子速度方向相同，都指向平衡位置
【答案】A
【解析】A．根据振动图像，甲振子的振幅为2 cm、乙振子的振幅为1 cm，A正确；
B．由于两个振子的周期和频率不同，其相位差亦会变化，B错误；
C．前2秒内，甲在平衡位置的上方，加速度指向平衡位置，方向为负方向；而乙在平衡位置的下方，加速度指向平衡位置，方向为正方向，C错误；
D．第2秒内甲从正向最大位移处向平衡位置运动，速度方向为负方向，指向平衡位置；乙向负向位移最大处运动，速度方向为负方向，但指向负向最大位移处，D错误。
7．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．t=0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
B．t=0.6 s和t=1.4 s时，振子的速度完全相同
C．t=0.8 s时，振子的速度方向向左
D．t=0.4 s到t=0.8 s的时间内，振子的位移和速度都逐渐减小
【答案】C
【解析】A．在0~0.4 s内，振子做变减速运动，不是匀速运动，所以t=0.2 s时，振子不在O点右侧6 cm处，故A错误；
B．由图像乙知t=0.6 s和t=1.4 s时，振子的速度大小相等，方向相反，故B错误；
C．t=0.8 s时，图像的斜率为负，说明振子的速度为负，即振子的速度方向向左，故C正确；
D．t=0.4 s到t=0.8 s的时间内，振子的位移减小，正向平衡位置靠近，速度逐渐增大，故D错误。
8．一个质点在平衡位置O点附近做机械振动。若从O点开始计时，经过4s质点第一次经过M点（如图所示）；再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点还需要的时间可能是（ ）
A． B．4s C． D．8s
【答案】C
【解析】若从O点向右运动，可推得从O点运动到最大位移处所用时间为5s，因此振动周期
第三次通过M还需要的时间
若从O点向左运动，可推得从O点运动到右侧最大位移处所用时间为5s，可知
可得振动周期
第三次通过M还需要的时间
9．如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是30cm，从A到B运动时间是4s，则（ ）
A．从振了做了一次全振动
B．振动周期为4s，振幅是15cm
C．从B开始经过6s，振子通过的路程是45cm
D．从O开始经过6s，振子处在平衡位置
【答案】C
【解析】A．从O→B→O振子通过的路程是两个振幅，不是一次全振动，A错误；
B．由题，AB间距离为30cm，A到B运动时间为4s，则振幅
周期为
B错误；
C．从B开始经过6s，振子振动了四分之三个周期，通过的路程是
C正确；
D．从O开始经过6s，振子振动了四分之三个周期，振子处在最大位移处，D错误。
10．一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s；质点通过B点后再经过1 s又第二次通过B点。在这2 s内质点通过的总路程为12 cm，则质点的振动周期和振幅分别是（ ）
A．3 s，6 cm B．4 s，6 cm C．4 s，9 cm D．2 s，8 cm
【答案】B
【解析】由题可知，A、B两点关于平衡位置对称，所以质点先后以相同的速度依次通过A、B两点，然后再次通过B点，所经历的时间为半个周期，经历的距离为两倍振幅，即周期为4s、振幅为6cm。
11.（多选）如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x=5sin（10πt+） cm。下列说法正确的是 （ ）
A．MN间距离为5 cm
B．振子的运动周期是0.2 s
C．t=0时，振子位于N点
D．t=0.05 s时，振子具有最大速度
【答案】BCD
【解析】A．MN间距离为
A错误；
B．由
可知
可知振子的运动周期是
B正确；
C．由
可知t=0时
即振子位于N点， C正确；
D．由
可知t=0.05 s时
此时振子在O点，振子速度最大，D正确。
12．（多选）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，则由图可知（ ）
A．t=0.2s时，振子的加速度方向向左
B．t=0.6s时，振子的速度方向向右
C．t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子的动能逐渐减小
D．t=0到t=2.4s的时间内，振子通过的路程是60cm
【答案】AD
【解析】A．由图乙可知，t=0.2s时，振子远离平衡位置向右运动，位移增大，根据
可知回复力方向向左，则加速度方向向左，故A正确；
B． t=0.6s时，振子衡位置向左运动，所以振子的速度向左，故B错误；
C． t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，振子的动能逐渐增大，故C错误；
D． t=0到t=2.4s的时间内，振子通过的路程为
故D正确。
13．（多选）现有一弹簧振子（弹簧质量不计），使其离开平衡位置2cm，在该处由静止释放。若t＝0.1s时，第一次回到平衡位置，运动过程中不计任何阻力，则下列说法中正确的是（ ）
A．振子的振动周期为0.4s
B．1s内振子通过的路程是20cm
C．t1＝0.05s时刻与t2＝0.15s时刻，振子速度相同，加速度相同
D．t1＝0.05s时刻与t2＝0.35s时刻，振子速度等大反向，弹簧长度相等
【答案】ABD
【解析】A．振子由最大位置第一次回到平衡位置，其对应了四分之一周期，故其周期为0.4s，故A正确；
B．振子的振幅为2cm，1s内经过2.5个周期，故其路程为
故B正确；
C ．t1＝0.05s与t2＝0.15s时刻差不是周期的整数倍，故其速度不会相等，故C错误；
D． t1＝0.05s时刻与t2＝0.35s时刻，相差，根据振动过程可知，振子恰好回到原位置，但t1＝0.05s是向平衡位置移动，t2＝0.35s是向最大位移处运动，则速度反向，位移相等，即弹簧长度相等，故D正确。
14．（多选）如图所示，小物块和轻弹簧组成弹簧振子系统，现使小物块沿竖直方向做简谐运动，小物块位移x=0.1sin（2.5πt）m。t=0时刻，一小球从距小物块h高处自由落下，t=0.6 s时，小球恰好与小物块处于同一高度。取竖直向上为正方向，重力加速度g=10 m/s2。则下列判断正确的是（ ）
A．h=1.7 m
B．小物块做简谐运动的周期为0.6s
C．0~0.6 s内，小物块运动的路程为0.3 m
D．t=0.4 s时，小物块与小球的运动方向相反
【答案】AC
【解析】A．当t=0.6 s时，小物块的位移
则对小球有
解得
h=1.7 m
A正确；
B．小物块做简谐运动的周期
B错误；
C．在0~0.6 s内，小物块运动的路程
s=3A=0.3 m
C正确；
D．当
此时小物块在平衡位置且向下振动，小物块与小球运动方向相同，D错误。
15．（多选）一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过2s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过1 s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点再需要的时间可能是（ ）
A． B． C．7 s D．9 s
【答案】BD
【解析】①若振子开始运动的方向先向左，再向M点运动，运动路线如图1所示
可得振动的周期为
振子第三次通过M点需要经过的时间为
②若振子开始运动的方向向右直接向M点运动，运动线路如图2所示
振动的周期为
振子第三次通过M点需要经过的时间为
16．一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图所示。
（1）求时质点的位移；
（2）在到的振动过程中，质点的位移、速度、动能如何变化？
（3）在到时间内，质点的路程、位移各多大？
【答案】（1）；（2）变大，变小，变小；（3），
【解析】（1）由题图可知，，振动方程为
带入数据得
（2）由题图可知在到的振动过程中，质点的位移变大，速度变小，动能变小。
（3）在到时间内经历个周期，质点的路程为
质点的位移为。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2.2 简谐运动的描述
一、考点梳理
考点一、描述简谐运动的物理量及其关系
1．振幅和位移的区别
(1)振幅等于最大位移的数值．
(2)对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的．
(3)位移是矢量，振幅是标量．
2．路程与振幅的关系
(1)振动物体在一个周期内的路程为四个振幅．
(2)振动物体在半个周期内的路程为两个振幅．
(3)振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅．
3．周期和频率由振动系统本身的性质决定，与振幅无关．
4．振动物体路程的计算方法
(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据：
①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅，则在n个周期内通过的路程必为n·4A.
②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅．
③振动物体在内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才等于振幅．
(2)计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程．
【典例1】如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，从A到B运动时间是2 s，则( )
A．从O→B→O振子做了一次全振动
B．振动周期为2 s，振幅是10 cm
C．从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cm
D．从O开始经过3 s，振子处在平衡位置
【答案】C
【解析】振子从O→B→O只完成半个全振动，A错误；从A→B振子也只是半个全振动，半个全振动是2 s，所以振动周期是4 s，B错误；6 s＝T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s，振子处在最大位移处A或B，D错误．
【典例2】一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图所示，由图可知( )
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B．质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D．t＝3 s时，质点的振幅为零
【答案】C
【解析】由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，所以A错误；质点在1 s即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，所以B错误；因为t＝0时质点在最大位移处，0～3 s为T，质点通过的路程为3A＝6 cm，所以C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，所以D错误．
【典例3】(多选)一个质点做简谐运动的图象如图所示，下列叙述中正确的是( )
A．质点的振动频率为4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程为20 cm
C．在5 s末，质点做简谐运动的相位为π
D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm
【答案】BD
【解析】由题图振动图象可直接得到周期T＝4 s，频率f＝＝0.25 Hz，故选项A错误；做简谐运动的质点一个周期内经过的路程是4A＝8 cm.10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，选项B正确；由图象知位移与时间的关系为x＝0.02sin (t) m．当t＝5 s时，其相位为×5＝π，故C错误；在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，x′＝2sin (×1.5) cm＝ cm，故D正确．
练习1、如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是( )
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．振子经过两次全振动通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
【答案】D
【解析】弹簧振子在B、C间振动，振子从B到C经历的时间为半个周期，周期为2 s，振幅为5 cm，故A、B错误；经过两次全振动所用的时间为2T，振子通过的路程是8A＝40 cm，故C错误；从B开始经过3 s，振子运动的时间是1.5个周期，振子通过的路程是1.5×4×5 cm＝30 cm，故D正确．
练习2、一质点做简谐运动的图象如图4所示，下列说法正确的是( )
A．质点的振动频率是4 Hz
B．在10 s内质点通过的路程是20 cm
C．第4 s末质点的速度是零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
【答案】B
【解析】根据振动图象可知，该简谐运动的周期T＝4 s，所以频率f＝＝0.25 Hz，A错误；10 s内质点通过的路程s＝×4A＝10A＝10×2 cm＝20 cm，B正确；第4 s末质点经过平衡位置，速度最大，C错误；在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相反，D错误．
考点二、简谐运动表达式的理解
2．从表达式x＝Asin (ωt＋φ)体会简谐运动的周期性．当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动．
3．从表达式x＝Asin (ωt＋φ)体会特殊点的值．当(ωt＋φ)等于2nπ＋时，sin (ωt＋φ)＝1，即x＝A；当(ωt＋φ)等于2nπ＋时，sin (ωt＋φ)＝－1，即x＝－A；当(ωt＋φ)等于nπ时，sin (ωt＋φ)＝0，即x＝0.
4.应用简谐运动的表达式解决相关问题，首先应明确振幅A、周期T、频率f的对应关系，其中T＝，f＝，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系.
【典例1】(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s.则( )
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为，则A滞后B
【答案】CD
【解析】由振动方程x＝0.1sin 2.5πt，可读出振幅为0.1 m，圆频率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝＝ s＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，振子的位移最大，速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即B超前A，或者说A滞后B，D正确．
【典例2】一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5sin(8πt＋π) cm的规律振动．
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相；
(2)另一简谐运动表达式为x2＝5sin(8πt＋π) cm，求它们的相位差．
【答案】(1) s 4 Hz 5 cm (2)π
【解析】(1)已知ω＝8π rad/s，由ω＝得T＝ s，
f＝＝4 Hz.由x1＝5 sin (8πt＋π) cm知A＝5 cm，φ1＝
(2)由Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1
得Δφ＝π－＝π.
【典例3】如图所示为A、B两个简谐运动的位移—时间图象．请根据图象回答：
(1)A的振幅是 cm，周期是 s；B的振幅是 cm，周期是 s.
(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；
(3)在t＝0.05 s时两质点的位移分别是多少？
【答案】(1)0.5 0.4 0.2 0.8
(2)xA＝0.5sin (5πt＋π) cm，xB＝0.2sin cm
(3)xA＝－ cm，xB＝0.2sinπ cm.
【解析】(1)由题图知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s.
(2)t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φA＝π，由TA＝0.4 s，得ωA＝＝5π rad/s.则A简谐运动的表达式为xA＝0.5sin (5πt＋π) cm.t＝0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φB＝，由TB＝0.8 s得ωB＝＝2.5π rad/s，则B简谐运动的表达式为xB＝0.2sin cm.
(3)将t＝0.05 s分别代入两个表达式中得：xA′＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm＝－0.5× cm＝
－ cm，xB′＝0.2sin cm＝0.2sin π cm.
练习1、某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 x＝Asin t，则质点( )
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B．第1 s末与第3 s末的速度相同
C．第3 s末与第5 s末的位移方向相同
D．第3 s末与第5 s末的速度方向相同
【答案】AD
【解析】根据x＝Asin t可求得该质点振动周期为T＝ 8 s，则该质点振动图象如图所示，图象的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确．
练习2、某个质点的简谐运动图象如图9所示．
(1)求振动的振幅和周期；
(2)写出简谐运动的表达式．
【答案】(1)10 cm 8 s (2)x＝10sin (t) cm
【解析】(1)由题图读出振幅A＝10 cm
简谐运动方程x＝Asin
代入数据得－10＝10sin
得T＝8 s.
(2)x＝Asin (t)＝10sin (t) cm.
考点三、简谐运动的周期性和对称性
简谐运动的周期性和对称性(如图所示)
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD.
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反．
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
【典例1】弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v，已知B、C之间的距离为25 cm.
(1)求弹簧振子的振幅A；
(2)求弹簧振子振动周期T和频率f.
【答案】(1)12.5 cm (2)1 s 1 Hz
【解析】(1)弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，所以振幅是B、C之间的距离的，所以A＝ cm＝12.5 cm.
(2)由简谐运动的对称性可知P到B的时间与B返回P的时间是相等的，所以tBP＝ s＝0.1 s
同时由简谐振动的对称性可知：tPO＝ s＝0.15 s
又由于tPO＋tBP＝
联立得：T＝1 s，所以f＝＝1 Hz.
【典例2】如图所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间tab＝1 s，过b点后再经t′＝1 s质点第一次反向通过b点．若在这两秒内质点所通过的路程是8 cm，试求该质点的振动周期和振幅．
【答案】4 s 4 cm
【解析】简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，因为通过a、b两点时的速度相同，所以a、b连线的中点O必是振动的平衡位置．根据简谐运动的对称性，可知质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同，即tba＝tab＝1 s，质点从a点经最左端位置d再返回a点所用的时间tada必与质点从b点经最右端位置c再返回b点所用的时间tbcb相等，即tada＝tbcb＝t′＝1 s.
综上所述，质点的振动周期为T＝tab＋tbcb＋tba＋tada＝4 s．由题图和简谐运动的对称性可知，质点在一个周期内通过的路程为s＝2＋2＋2＝2(＋2)＝2×8 cm＝16 cm.所以质点的振幅为A＝＝4 cm.
【典例3】一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M处，再经0.2 s第二次到达M点，则其振动频率为( )
A．0.4 Hz B．0.8 Hz
C．2.5 Hz D．1.25 Hz
【答案】D
【解析】由题意知，从M位置沿着原路返回到最大位移的时间也为0.3 s，故完成一个全振动的时间为：T＝0.3 s＋0.2 s＋0.3 s＝0.8 s，故频率为f＝＝1.25 Hz，D正确．
练习1、一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s(如图所示)．过B点后再经过t＝0.5 s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是( )
A．0.5 s B．1.0 s
C．2.0 s D．4.0 s
【答案】C
【解析】根据题意，由振动的对称性可知：AB的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，如图所示．质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB＝×0.5 s＝0.25 s．质点从B向右到达右方最远位置(设为D)的时间tBD＝×0.5 s＝0.25 s．所以，质点从O到D的时间：tOD＝T＝0.25 s＋0.25 s＝0.5 s．所以T＝2.0 s.
练习2、如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么，下列说法正确的是( )
A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同
B．振子在M、N两点相对平衡位置的位移相同
C．振子在M、N两点加速度大小相等
D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
【答案】C
【解析】因位移、速度、加速度和弹力都是矢量，它们要相同必须大小相等、方向相同．M、N两点关于O点对称，振子所受弹力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反，A、B选项错误．振子在M、N两点的加速度虽然方向相反、但大小相等，故C选项正确．振子由M→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动．振子由O→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误．
练习3、如图所示，在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20 cm，图示P位置是弹簧振子处于自然伸长的位置，若将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经0.5 s振子m第一次回到P位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是( )
A．该弹簧振子的振动频率为1 Hz
B．若向右拉动10 cm后由静止释放，经过1 s振子m第一次回到P位置
C．若向左推动8 cm后由静止释放，振子m两次经过P位置的时间间隔是2 s
D．在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要位移不超过20 cm，总是经0.5 s速度就降为0
【答案】D
【解析】由题意知，该弹簧振子振动周期为T＝0.5×4 s＝2 s，且以后不再变化，即弹簧振子固有周期为2 s，振动频率为0.5 Hz，所以B选项中应经过0.5 s第一次回到P位置，A、B选项错误；C选项中两次经过P位置的时间间隔为半个周期，是1 s，C选项错误，D选项正确．
练习4、一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则( )
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子振动的速度一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等
【答案】C
【解析】结合弹簧振子的运动示意图和振动图象进行分析；如图所示：
图中的a、b、c三点位移大小相等、方向相同，显然Δt不一定等于T的整数倍， A错误；图中的a、d两点的位移大小相等、方向相反，Δt<，B错误；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，速度也相等，C正确；相隔的两个时刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度并不相等，D错误．
二、夯实小练
1．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝3sin（t＋）cm，则（ ）
A．质点的振幅为3m
B．质点的振动周期为s
C．t＝0.75s时，质点到达距平衡位置最远处
D．质点前2s内的位移为－4.5cm
【答案】D
【解析】AB．从关系式可知A＝3cm，ω＝rad/s，故周期为
T＝＝3s
故A、B错误；
C．t＝0.75s时，质点的位移为
x＝3sin（×＋）cm＝0
质点在平衡位置处。故C错误；
D．在t＝0时刻质点的位移x＝3cm，2s时质点的位移
x′＝3sin（×2＋）cm＝－1.5cm
故前2s内质点的位移为－4.5cm。故D正确。
2．弹簧振子做简谐振动，若从平衡位置O开始计时，如图，经过0.2s（0.2s小于振子的四分之一振动周期）时，振子第一次经过P点，又经过了0.2s，振子第二次经过P点，则振子的振动周期为（ ）
A．0.4s B．0.8s C．1.0s D．1.2s
【答案】D
【解析】由题意可知，振子从O开始向右运动，设振子向右运动的最远点为Q，根据对称性可知振子从P向右运动到Q的时间为0.1s，则振子从O向右运动到Q的时间为0.3s，所以振子的周期为1.2s，故D正确。
3．如图所示，一个在光滑水平面内的弹簧振子的平衡位置为，第一次用力把弹簧拉伸到后释放让它振动，第二次把弹簧拉伸到后释放让它振动，，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为（ ）
A．1:1 1:1 B．1:1 1:2 C．1:4 1:4 D．1:2 1:2
【答案】B
【解析】弹簧两次到和的伸长量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1:2，而同一振动系统的周期由自身的性质决定，与振幅无关，故周期之比为1:1.
4．图为一质点做简谐运动的位移随时间变化的图像，由图可知，在t=4 s时刻，质点的 （ ）
A．速度为零，位移为正的最大值
B．速度为零，位移为负的最大值
C．加速度为正的最大值，位移为零
D．加速度为负的最大值，位移为零
【答案】A
【解析】在t=4 s时，质点的位移为正向最大，质点的速度为零，而加速度方向总是与位移方向相反，大小与位移大小成正比，则加速度为负向最大值。故A正确，BCD错误。
5．某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是（ ）
A．时，振子的速度为零
B．时，振子的速度为负，但不是最大值
C．时，振子的速度为负的最大值
D．时，振子的速度为正，但不是最大值
【答案】A
【解析】AC．由题图可知，和时振子在最大位移处，速度为零，故选项A正确，C错误；
BD．和时振子在平衡位置，速度分别为负向最大值和正向最大值，故BD错误。
6．一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．在10 s内质点经过的路程是20 cm
B．在5 s末，质点的速度为零
C．t=1.5 s和t=2.5 s两个时刻质点的位移和速度方向都相反
D．t=1.5 s和t=4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是cm
【答案】C
【解析】A．由题图可知1s的路程为2cm，则10s内质点经过的路程为20cm，A正确，不符合题意；
B．5s末，质点运动至最大位移处，速度为零，B正确，不符合题意；
C．t=1.5s和t=2.5s两个时刻的位移方向相反，但速度方向相同，C错误，符合题意；
D．题图对应的函数关系为
代入数据t=1.5s和t=4.5s可知，两个时刻的位移大小相等，都为cm，D正确，不符合题意。
7．如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是（ ）
A．钢球运动的最高处为平衡位置 B．钢球运动的最低处为平衡位置
C．钢球速度为零处为平衡位置 D．钢球原来静止时的位置为平衡位置
【答案】D
【解析】钢球在竖直方向做简谐运动，平衡位置为重力和弹簧弹力相等的位置，即钢球原来静止的位置为平衡位置，在平衡位置处速度最大，故ABC错误，D正确。
8．如图甲所示，水平光滑杆上有一弹簧振子，振子以点为平衡位置，在、两点之间做简谐运动，其振动图像如图乙所示。由振动图像可以得知（ ）
A．振子的振动周期等于
B．从到，振子正从点向点运动
C．在时刻，振子的位置在点
D．在时刻，振子的加速度为最大
【答案】B
【解析】A．根据振子的振动周期是振子完成一次全振动所用的时间，可知振子的振动周期等于，故A错误；
B．在时刻，正通过平衡位置，从到，振子的速度为正，说明振子正从点向点运动，故B正确；
C．从时刻，振子的位移为0，说明位于平衡位置点，故C错误；
D．在时刻，振子的位移为0，正通过平衡位置，振子的加速度为零，故D错误。
9．如图所示，小球m连着轻质弹簧，放在光滑水平面上，弹簧的另一端固定在墙上，O点为它的平衡位置，把m拉到A点，OA=1 cm，轻轻释放，经0.2 s运动到O点，如果把m拉到A′点，使OA′=2 cm，弹簧仍在弹性限度范围内，则释放后运动到O点所需要的时间为（ ）
A．0.2 s B．0.4 s C．0.3 s D．0.1 s
【答案】A
【解析】不论将m由A点还是A′点释放，到达O点的时间都为四分之一个周期，即均为0.2s，其周期与振幅大小无关，只由振动系统本身决定，故A正确，BCD错误。
10．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为（ ）
A．1∶1 1∶1 B．1∶1 1∶2
C．1∶4 1∶4 D．1∶2 1∶2
【答案】B
【解析】弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，而对同一振动系统，其周期与振幅无关，则周期之比为1∶1，振动周期由振动系统的性质决定，与振幅无关。
11．（多选）下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法中正确的是（ ）
A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率的乘积是一个常数
C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
【答案】BD
【解析】A．振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，A错误；
B．周期和频率互为倒数，即
T＝
故
T·f＝1
B正确；
CD．做简谐运动的物体的振动周期和频率只与振动系统本身有关，与振幅无关，C错误，D正确。
12．弹簧振子做机械振动，若从平衡位置O开始计时，经过0.3 s时，振子第一次经过P点，又经过了0.2 s，振子第二次经过P点，则到该振子第三次经过P点可能还需要多长时间（ ）
A．s B．1.0 s C．0.4 s D．1.4 s
【答案】AD
【解析】假设振子从平衡位置开始向右运动，当P点在右侧时，由题意可知
该振子第三次经过P点还需要的时间为
当P点在左侧时，由题意可知
可得
该振子第三次经过P点还需要的时间为
AD正确。
13．如图是某质点做简谐运动的振动图像。根据图像中的信息，判断下列说法正确的是（ ）
A．质点离开平衡位置的最大距离为10 cm
B．在1.5 s和2.5 s这两个时刻，质点的位移相同
C．在1.5 s和2.5 s这两个时刻，质点的速度相同
D．质点在0.5 s内通过的路程一定是10 cm
【答案】AC
【解析】A．由振动图像可知，质点离开平衡位置的最大距离为10 cm，故A正确；
B．在1.5 s和2.5 s这两个时刻，质点的位移等大反向，故B错误；
C．在1.5 s和2.5 s这两个时刻，图像的斜率相同，则质点的速度相同，故C正确；
D．，则质点在0.5 s内通过的路程一定不是一个最大位移大小10 cm，故D错误。
14．弹簧振子以O点为平衡位置，在水平方向上的A、B两点间做简谐运动，以下说法正确的是（ ）
A．振子在A、B两点时的速度为零位移不为零
B．振子在通过O点时速度的方向将发生改变
C．振子所受的弹力方向总跟速度方向相反
D．振子离开O点的运动总是减速运动，靠近O点的运动总是加速运动
【答案】AD
【解析】A．振子在A、B两点时的速度为零，但位移为最大，A正确；
B．振子经过O点时速度方向不变，B错误；
C．弹力的方向有时也与速度方向相同，C错误。
D．振子离开O点运动时，加速度方向与速度方向相反，是减速运动；靠近O点运动时，加速度方向与速度方向相同，是加速运动，D正确。
19．做简谐运动的物体，其位移随时间的变化规律为cm，则下列说法正确的是（ ）
A．它的振幅是4cm B．它的周期是0.02s
C．它的初相位是 D．它在周期内通过的路程可能是cm
【答案】BD
【解析】ABC．根据表达式可知物体的振幅为
周期为
初相位为
故AC错误，B正确；
D．根据三角函数知识可知当物体从相位为的时刻运动至相位为的时刻所经历的时间为，且此时间内物体运动的路程为
故D正确。
四、培优练习
1．弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s，第一次到达点M，再经过0.2 s，第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为（ ）
A．0.53 s B．1.4 s C．3 s D．2 s
【答案】A
【解析】如图甲所示：
设O为平衡位置，OB（OC）代表振幅，振子从O→C所需时间为。因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故
=0.3s+s=0.4s
解得
T=1.6s
如图乙所示：
若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M'与点M关于点O对称，则振子从点M'经过点B到点M'所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即0.2s。振子从点O到点M'、从点M'到点O及从点O到点M所需时间相等，为
s
故周期为
T=0.5s+s≈0.53s
2．下列有关简谐运动的说法中正确的是（ ）
A．振子振动过程中位移不变
B．经过一个周期振子完成一次全振动
C．一分钟内完成全振动的次数，叫简谐运动的频率
D．从某位置出发，到下次经过该位置就完成一次全振动
【答案】B
【解析】A．在弹簧振子的振动过程中，振子的位移随时间不断变化，A错误；
B．弹簧振子完成一次全振动的时间是一个周期，B正确；
C．每秒钟内完成全振动的次数叫简谐运动的频率，C错误；
D．从某位置出发，到下次经过该位置并且速度相同才能称为一次全振动，故从某位置出发，到下次经过该位置不一定是完成一次全振动，D错误。
3．弹簧振子做简谐运动时，从振子经过某一位置A开始计时，则（ ）
A．当振子再次与零时刻的速度相同时，经过的时间一定是半个周期
B．当振子的加速度再次与零时刻的加速度相同时，一定又到达位置A
C．当振子再次经过A时，经过的时间一定是半个周期
D．一定还有另一个位置跟位置A有相同的位移
【答案】B
【解析】A．当振子再次与零时刻的速度相同时，振子通过关于平衡位置对称点，经过的时间可能为半周期，也可能小于半个周期，故A错误；
B．弹簧振子做简谐振动，具有对称性，当振子的加速度再次与零时刻的加速度相同时，根据可知，位移相同，故一定又到达位置A。故B正确；
C．当振子再次经过A时，经过的时间可能为半周期，也可能小于、大于半个周期，故C错误；
D．简谐运动的位移是相对平衡位置而言的，故不同点一定是对应不同的位移，故D错误；
4．一弹簧振子的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin（2.5πt），位移x的单位为m，时间t的单位为s。则（ ）
A．弹簧振子的振幅为0.2m
B．弹簧振子的周期为1.25s
C．在t＝0.2s时，振子的运动速度为零
D．弹簧振子的振动初相位为2.5π
【答案】C
【解析】A．根据公式对应可得，，A错误；
B．根据公式可得
B错误；
C．在t = 0.2s时，x=0振子位于正向最大位移处，速度为零，C正确；
D．根据可得，弹簧振子的振动初相位为0，D错误；
5．一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则（ ）
A．弹簧振子的振幅为0.2m
B．弹簧振子的周期为1.25s
C．在t=0.2s时，振子的运动速度最大
D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x=0.2sin5πt，则B振动的频率比A高
【答案】D
【解析】A．质点做简谐运动，振动方程为
x=0.1sin2.5πt
可读出振幅
A=0.1m
故A错误；
B．由振动方程
x=0.1sin2.5πt
可知为，可求出周期
故B错误；
C．在t=0.2s时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故C错误；
D．由振动方程
x=0.2sin5πt
可知为,可求出周期
又
可求
故B振动的频率比A高，故D正确。
6．如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像。已知甲、乙两个振子质量相等，则（ ）
A．甲、乙两振子的振幅分别为2 cm、1 cm
B．甲、乙两个振子的相位差总为π
C．前2秒内甲、乙两振子的加速度均为正值
D．第2秒内甲、乙振子速度方向相同，都指向平衡位置
【答案】A
【解析】A．根据振动图像，甲振子的振幅为2 cm、乙振子的振幅为1 cm，A正确；
B．由于两个振子的周期和频率不同，其相位差亦会变化，B错误；
C．前2秒内，甲在平衡位置的上方，加速度指向平衡位置，方向为负方向；而乙在平衡位置的下方，加速度指向平衡位置，方向为正方向，C错误；
D．第2秒内甲从正向最大位移处向平衡位置运动，速度方向为负方向，指向平衡位置；乙向负向位移最大处运动，速度方向为负方向，但指向负向最大位移处，D错误。
7．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．t=0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
B．t=0.6 s和t=1.4 s时，振子的速度完全相同
C．t=0.8 s时，振子的速度方向向左
D．t=0.4 s到t=0.8 s的时间内，振子的位移和速度都逐渐减小
【答案】C
【解析】A．在0~0.4 s内，振子做变减速运动，不是匀速运动，所以t=0.2 s时，振子不在O点右侧6 cm处，故A错误；
B．由图像乙知t=0.6 s和t=1.4 s时，振子的速度大小相等，方向相反，故B错误；
C．t=0.8 s时，图像的斜率为负，说明振子的速度为负，即振子的速度方向向左，故C正确；
D．t=0.4 s到t=0.8 s的时间内，振子的位移减小，正向平衡位置靠近，速度逐渐增大，故D错误。
8．一个质点在平衡位置O点附近做机械振动。若从O点开始计时，经过4s质点第一次经过M点（如图所示）；再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点还需要的时间可能是（ ）
A． B．4s C． D．8s
【答案】C
【解析】若从O点向右运动，可推得从O点运动到最大位移处所用时间为5s，因此振动周期
第三次通过M还需要的时间
若从O点向左运动，可推得从O点运动到右侧最大位移处所用时间为5s，可知
可得振动周期
第三次通过M还需要的时间
9．如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是30cm，从A到B运动时间是4s，则（ ）
A．从振了做了一次全振动
B．振动周期为4s，振幅是15cm
C．从B开始经过6s，振子通过的路程是45cm
D．从O开始经过6s，振子处在平衡位置
【答案】C
【解析】A．从O→B→O振子通过的路程是两个振幅，不是一次全振动，A错误；
B．由题，AB间距离为30cm，A到B运动时间为4s，则振幅
周期为
B错误；
C．从B开始经过6s，振子振动了四分之三个周期，通过的路程是
C正确；
D．从O开始经过6s，振子振动了四分之三个周期，振子处在最大位移处，D错误。
10．一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s；质点通过B点后再经过1 s又第二次通过B点。在这2 s内质点通过的总路程为12 cm，则质点的振动周期和振幅分别是（ ）
A．3 s，6 cm B．4 s，6 cm C．4 s，9 cm D．2 s，8 cm
【答案】B
【解析】由题可知，A、B两点关于平衡位置对称，所以质点先后以相同的速度依次通过A、B两点，然后再次通过B点，所经历的时间为半个周期，经历的距离为两倍振幅，即周期为4s、振幅为6cm。
11.（多选）如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x=5sin（10πt+） cm。下列说法正确的是 （ ）
A．MN间距离为5 cm
B．振子的运动周期是0.2 s
C．t=0时，振子位于N点
D．t=0.05 s时，振子具有最大速度
【答案】BCD
【解析】A．MN间距离为
A错误；
B．由
可知
可知振子的运动周期是
B正确；
C．由
可知t=0时
即振子位于N点， C正确；
D．由
可知t=0.05 s时
此时振子在O点，振子速度最大，D正确。
12．（多选）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，则由图可知（ ）
A．t=0.2s时，振子的加速度方向向左
B．t=0.6s时，振子的速度方向向右
C．t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子的动能逐渐减小
D．t=0到t=2.4s的时间内，振子通过的路程是60cm
【答案】AD
【解析】A．由图乙可知，t=0.2s时，振子远离平衡位置向右运动，位移增大，根据
可知回复力方向向左，则加速度方向向左，故A正确；
B． t=0.6s时，振子衡位置向左运动，所以振子的速度向左，故B错误；
C． t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，振子的动能逐渐增大，故C错误；
D． t=0到t=2.4s的时间内，振子通过的路程为
故D正确。
13．（多选）现有一弹簧振子（弹簧质量不计），使其离开平衡位置2cm，在该处由静止释放。若t＝0.1s时，第一次回到平衡位置，运动过程中不计任何阻力，则下列说法中正确的是（ ）
A．振子的振动周期为0.4s
B．1s内振子通过的路程是20cm
C．t1＝0.05s时刻与t2＝0.15s时刻，振子速度相同，加速度相同
D．t1＝0.05s时刻与t2＝0.35s时刻，振子速度等大反向，弹簧长度相等
【答案】ABD
【解析】A．振子由最大位置第一次回到平衡位置，其对应了四分之一周期，故其周期为0.4s，故A正确；
B．振子的振幅为2cm，1s内经过2.5个周期，故其路程为
故B正确；
C ．t1＝0.05s与t2＝0.15s时刻差不是周期的整数倍，故其速度不会相等，故C错误；
D． t1＝0.05s时刻与t2＝0.35s时刻，相差，根据振动过程可知，振子恰好回到原位置，但t1＝0.05s是向平衡位置移动，t2＝0.35s是向最大位移处运动，则速度反向，位移相等，即弹簧长度相等，故D正确。
14．（多选）如图所示，小物块和轻弹簧组成弹簧振子系统，现使小物块沿竖直方向做简谐运动，小物块位移x=0.1sin（2.5πt）m。t=0时刻，一小球从距小物块h高处自由落下，t=0.6 s时，小球恰好与小物块处于同一高度。取竖直向上为正方向，重力加速度g=10 m/s2。则下列判断正确的是（ ）
A．h=1.7 m
B．小物块做简谐运动的周期为0.6s
C．0~0.6 s内，小物块运动的路程为0.3 m
D．t=0.4 s时，小物块与小球的运动方向相反
【答案】AC
【解析】A．当t=0.6 s时，小物块的位移
则对小球有
解得
h=1.7 m
A正确；
B．小物块做简谐运动的周期
B错误；
C．在0~0.6 s内，小物块运动的路程
s=3A=0.3 m
C正确；
D．当
此时小物块在平衡位置且向下振动，小物块与小球运动方向相同，D错误。
15．（多选）一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过2s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过1 s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点再需要的时间可能是（ ）
A． B． C．7 s D．9 s
【答案】BD
【解析】①若振子开始运动的方向先向左，再向M点运动，运动路线如图1所示
可得振动的周期为
振子第三次通过M点需要经过的时间为
②若振子开始运动的方向向右直接向M点运动，运动线路如图2所示
振动的周期为
振子第三次通过M点需要经过的时间为
16．一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图所示。
（1）求时质点的位移；
（2）在到的振动过程中，质点的位移、速度、动能如何变化？
（3）在到时间内，质点的路程、位移各多大？
【答案】（1）；（2）变大，变小，变小；（3），
【解析】（1）由题图可知，，振动方程为
带入数据得
（2）由题图可知在到的振动过程中，质点的位移变大，速度变小，动能变小。
（3）在到时间内经历个周期，质点的路程为
质点的位移为。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)