2.3简谐运动的回复力与能量 讲义

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2.3 简谐运动的回复力与能量
一、考点梳理
考点一、简谐运动的回复力
1．回复力
(1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置．
(2)回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力，分析物体受力时不能再加上回复力．例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供．
2．简谐运动的动力学特征
回复力F＝－kx.
(1)k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数)．其值由振动系统决定，与振幅无关．
(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．
(3)判断一个物体是否做简谐运动，可找出回复力F与位移x之间的关系，若满足F＝－kx，则物体做简谐运动，否则就不是简谐运动．
3．简谐运动的加速度
由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反．
4．判断一个振动为简谐运动的方法
(1)通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图象是否满足正弦规律来判断．
(2)对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F＝－kx进行判断．
(3)根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a＝－x进行判断．
(4)振动的平衡位置应在合力为零的位置，不一定是弹簧原长位置．
【典例1】(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复的力作用
C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
【答案】AD
【解析】回复力是根据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确．
【典例2】如图所示，弹簧劲度系数为k，在弹簧下端挂一个重物，质量为m，重物静止．在竖直方向将重物下拉一段距离(没超过弹簧弹性限度)，然后无初速度释放，重物在竖直方向上下振动．(不计空气阻力)
(1)试分析重物上下振动回复力的来源；
(2)试证明该重物做简谐运动．
【答案】见解析
【解析】回复力是重物在振动方向上的合力，需要对重物进行受力分析．物体的振动是否为简谐运动的动力学依据是：回复力F和偏离平衡位置的位移x是否满足F＝－kx的关系．
(1)重物在竖直方向上下振动过程中，在竖直方向上受到了重力和弹簧弹力的作用，振动的回复力是重力与弹簧弹力的合力．
(2)重物静止时的位置即为振动的平衡位置，设此时弹簧的伸长量为x0，根据胡克定律和力的平衡有kx0＝mg.设重物振动过程中某一位置偏离平衡位置的位移为x，并取竖直向下为正方向，如图所示，此时弹簧的形变量为x＋x0，弹簧向上的弹力F弹＝－k(x＋x0)，重物所受合力即回复力F＝mg＋F弹，联立以上各式可求得F＝－kx.若x>0，则F<0，表示重物在平衡位置下方，回复力向上；若x<0，则F>0，表示重物在平衡位置上方，回复力向下，回复力F方向总指向平衡位置．根据重物的受力特点可以判断重物做简谐运动．
练习1、(多选)关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是(　　)
A．简谐运动的回复力不可能是恒力
B．做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反
C．简谐运动公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零
【答案】AB
【解析】根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，受到的回复力为F＝－kx，k是比例系数，x是物体相对平衡位置的位移，回复力不可能是恒力，故A正确，C错误；质点的回复力方向总是指向平衡位置，与位移方向相反，根据牛顿第二定律，加速度的方向与合外力的方向相同，所以做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反，故B正确；做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力为零，但是合力不一定为零，故D错误．
练习2、(多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法正确的是(　　)
A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供
C．物体A与滑块B(看成一个振子)的回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的最大静摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为
【答案】ACD
【解析】物体A做简谐运动时回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的，故A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供的，故B错误；物体A与滑块B(看成一个振子)的回复力大小满足F＝－kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，故C正确；当物体间的摩擦力达到最大静摩擦力时，其振幅最大，设为A.以整体为研究对象有：kA＝(M＋m)a，以物体A为研究对象，由牛顿第二定律得：μmg＝ma，联立解得，A＝，故D正确．
考点二、简谐运动的能量
1．简谐运动的机械能由振幅决定，对于同一个振动系统，振幅越大，振动的能量越大．
2．简谐运动是一种无能量损失的振动，所以其振幅保持不变，又称为等幅振动．
【典例1】如图所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.
(1)简谐运动的能量取决于________，振子振动时动能和________相互转化，总机械能________．
(2)(多选)振子在振动过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小
B．振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变
(3)(多选)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是(　　)
A．振幅不变 B．振幅减小
C．最大动能不变 D．最大动能减小
【答案】(1)振幅　弹性势能　守恒　(2)ABD　(3)AC
【解析】(1)简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．
(2)振子在平衡位置两侧往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，弹性势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；在平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以C错误．
(3)振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，因此选项A正确，B错误；由于机械能守恒，所以最大动能不变，选项C正确，D错误．
【典例2】如图所示，弹簧上面固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中(　　)
A．小球最大动能应等于mgA
B．弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变
C．弹簧最大弹性势能等于2mgA
D．小球在最低点时的弹力大于2mg
【答案】C
【解析】小球平衡位置kx0＝mg，x0＝A＝，当到达平衡位置时，有mgA＝mv2＋Ep，A错．机械能守恒，因此动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，B错．从最高点到最低点，重力势能全部转化为弹性势能，Ep＝2mgA，C对．对最低点加速度等于最高点加速度g，据牛顿第二定律F－mg＝mg，F＝2mg，D错．
【典例3】如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图象，由图象可知(　　)
A．在0.1 s时，由于位移为零，所以振动能量为零
B．在0.2 s时，振子具有最大势能
C．在0.35 s时，振子具有的能量尚未达到最大值
D．在0.4 s时，振子的动能最大
【答案】B
【解析】弹簧振子做简谐运动，振动能量不变，选项A错；在0.2 s时位移最大，振子具有最大势能，选项B对；弹簧振子的振动能量不变，在0.35 s时振子具有的能量与其他时刻相同，选项C错；在0.4 s时振子的位移最大，动能为零，选项D错．
练习1、如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为＋q的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上．在施加一个场强为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动．那么(　　)
A．小球到达最右端时，弹簧的形变量为
B．小球做简谐运动的振幅为
C．运动过程中小球的机械能守恒
D．运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变
【答案】A
【解析】小球做简谐运动的平衡位置是弹簧拉力和电场力平衡的位置，此时弹簧形变量为，小球到达最右端时，弹簧形变量为，A对，B错．电场力做功，故机械能不守恒，C错．运动过程中，小球的动能、电势能和弹簧的弹性势能的总量不变，D错．
练习2、如图所示，倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块．压缩弹簧使其长度为L时将物块由静止开始释放(物块做简谐运动)，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态．重力加速度为g.
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)物块做简谐运动的振幅是多少；
(3)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动．(已知做简谐运动的物体所受的回复力满足F＝－kx)
【答案】(1)L＋　(2)＋　(3)见解析
【解析】(1)物块平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力．
根据平衡条件，有：
mgsin α＝k·Δx
解得Δx＝
故弹簧的长度为L＋
(2)物块做简谐运动的振幅为
A＝Δx＋L＝＋.
(3)物块到达平衡位置下方x位置时，弹力为
k(x＋Δx)＝k(x＋)
故合力为F＝mgsin α－k(x＋)＝－kx
考点三、简谐运动中各物理量的变化
1.模型探究：
如图所示为水平的弹簧振子示意图，试分析振子运动过程中各物理量的变化情况．
振子的运动 A→O O→A′ A′→O O→A
位移 方向 向右 向左 向左 向右
大小 减小 增大 减小 增大
回复力 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
加速度 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
速度 方向 向左 向左 向右 向右
大小 增大 减小 增大 减小
振子的动能 增大 减小 增大 减小
弹簧的势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
2．简谐运动中各个物理量对应关系不同：位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同．
3．简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0.在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大．
4．位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小，位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大．
5. 首先抓住平衡位置和最大位移处各物理量的特点.在平衡位置处回复力、加速度为零，速度、动能最大，势能最小，总能量不变；在最大位移处，回复力、加速度最大，速度、动能为零，势能最大，总能量不变.
【典例1】如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图象，可以判定(　　)
A．t1到t2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小
B．0到t2时间内振子的位移增大，速度增大
C．t2到t3时间内振子的回复力先减小再增大，加速度的方向一直沿x轴正方向
D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
【答案】A
【解析】t1到t2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A正确；0到t2时间内，振子的位移减小，速度增大，B错误；t2到t3时间内，振子的位移先增大再减小，所以回复力先增大再减小，C错误；t1和t4时刻振子的位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，但动能相同，D错误．
【典例2】(多选)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图12所示，下列结论正确的是(　　)
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，势能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断增加
【答案】AB
【解析】小球在平衡位置时动能最大，加速度为零，因此A选项正确．小球在A、B位置时，势能最大，加速度最大，因此B选项正确．小球衡位置时，回复力做正功；远离平衡位置时，回复力做负功．振动过程中总能量不变，因此C、D选项错误．
练习1、一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图所示．
(1)求t＝0.25×10－2 s时的位移；
(2)在t＝1.5×10－2 s到2×10－2 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？
(3)在t＝0到8.5×10－2 s时间内，质点通过的路程为多大？
【答案】(1)－ cm　(2)变大　变大　变小　变小　变大　(3)34 cm
【解析】(1)由题图可知质点做简谐运动的振幅A＝2 cm，周期T＝2×10－2 s，振动方程为x＝Asin(ωt－)＝－Acos ωt＝－2cost cm＝－2cos 100πt cm
当t＝0.25×10－2 s时，x＝－2cos cm＝－ cm.
(2)由题图可知在1.5×10－2 ～2×10－2 s内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．
(3)从t＝0至8.5×10－2 s 的时间内为个周期，质点通过的路程为s＝17A＝34 cm.
二、夯实小练
1．如图甲所示，一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动，以竖直向上为正方向，弹簧振子的振动图像如图乙所示，则弹簧振子(　　)
A． 频率为 B． 振幅为0．4m
C． 0~0．5s内，动能逐渐减小 D． 与时，振子的位移相同
【答案】C
【解析】A．由振动图像可知，弹簧振子的振动周期为，频率为，A错误；
B．振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由图像可知，弹簧振子的振幅为，B错误；
C．在内，弹簧振子的位移逐渐增大，速度逐渐减小，动能逐渐减小，C正确；
D．由振动图像可知，与时，振子的位移大小相等，方向相反，位移不相同，D错误。故选C。
2．如图所示的弹簧振子以O点为平衡位置在B、C间往复运动,P是OB的中点,下列正确的是 (　　)
A.振子从B点运动到C点过程中,加速度先增大后减小
B.振子从B点运动到C点过程中,速度先增大后减小
C.振子从C点运动到B点过程中,加速度方向始终不变
D.振子每次经过P点时的速度、加速度均相同
【答案】B
【解析】由简谐运动特点可知,振子离平衡位置位移越大,回复力越大,加速度越大,速度越小,振子从B点运动到C点过程中,振子离平衡位置位移先减小后增大,所以加速度先减小后增大,速度先增大后减小,故A错误,B正确;由公式a=可知,振子加速度方向与位移方向相反,振子在从C到O过程中的位移方向向左,从O到B过程中的位移方向向右,所以振子从C点运动到B点过程中,加速度方向改变,故C错误;振子向左经过和向右经过P点时的速度大小相等,方向相反,加速度相同,故D错误。故选B。
3．弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中(　　)
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
【答案】D
【解析】振子位移特指由平衡位置指向振动物体所在位置的位移，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小，而回复力与位移的大小成正比，故回复力也减小，所以A、B错误；由牛顿第二定律a＝得，加速度也减小，物体向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大，所以C错误，D正确．故选D。
4．(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图象，下列说法正确的是(　 　)
A．在第1 s内，质点速度逐渐增大
B．在第2 s内，质点速度逐渐增大
C．在第3 s内，动能转化为势能
D．在第4 s内，动能转化为势能
【答案】BC
【解析】质点在第1 s内，由平衡位置向正向最大位移处运动，做减速运动，所以选项A错误；在第2 s内，质点由正向最大位移处向平衡位置运动，做加速运动，所以选项B正确；在第3 s内，质点由平衡位置向负向最大位移处运动，动能转化为势能，所以选项C正确；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，势能转化为动能，所以选项D错误．故选BC。
5．(多选)如下图所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M，若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对运动而一起运动，下列叙述正确的是(　　)
A．振幅不变　　　　　　 B．振幅减小
C．最大动能不变 D．最大动能减小
【答案】AC
【解析】振子运动到B点时速度恰为0，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变．因此选项A正确，B错误．由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误．故选AC。
6．(多选)做简谐运动的弹簧振子，质量为m，最大速率为v，则下列说法正确的是(　　)
A．从某一时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零
B．从某一时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是零到mv2之间的某一个值
C．从某一时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量一定为零
D．从某一时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量的大小可能是零到2v之间的某一个值
【答案】AD
【解析】弹簧振子在半个周期内刚好到达与初位置关于平衡位置对称的位置，两位置的速度大小相等，故由动能定理知，回复力做的功一定为零，则A正确，B错误. 由于速度反向(初位置在最大位移处时速度为零)，所以在半个周期内速度变化量的大小为初速度大小的2倍，因此在半个周期内速度变化量的大小应为零到2v之间的某一个值，则C错误，D正确．故正确选项为A、D.
7．(多选)一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象如图所示，已知弹簧的劲度系数为20 N/cm，则(　　)
A．图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为5 N，方向指向x轴的负方向
B．图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴的正方向
C．在0～4 s内振子做了1.75次全振动
D．在0～4 s内振子通过的路程为3.5 cm
【答案】AB
【解析】由简谐运动的特点和弹簧弹力与伸长量的关系可知，题图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为F＝kx＝2 000 N/m×0.002 5 m＝5 N，方向指向x轴的负方向，并且现在正在远离O点向x轴的正方向运动，A、B正确；由题图可读出周期为2 s,4 s内振子做两次全振动，通过的路程是s＝0.5 cm×4×2＝4 cm，C、D错误．
8．如图所示为一弹簧振子的振动图象,求:
①从计时开始经多长时间第一次达到弹性势能最大
②在2～3 s这段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各怎样变化
③该振子在前100 s内的总位移是多少 路程是多少
【答案】 (1)C、D、E　(2)①1 s　②见解析　③0　5 m
【解析】 ①由题图知,在计时开始的时刻振子恰好以沿x轴正方向的速度通过平衡位置,此时弹簧振子有最大动能,随着时间的延长,速度不断减小,而位移逐渐增大,经T,即1 s,其位移达到最大,此时弹性势能最大。
②由题图知,t=2 s时,振子恰好通过平衡位置,此时加速度为零;随着时间的延长,位移不断增大,加速度也变大,速度不断减小,动能不断减小,弹性势能逐渐增大;当t=3 s时,加速度达到最大,速度等于零,动能等于零,弹性势能达到最大值。
③振子经一个周期,位移为零,路程为4×5 cm=20 cm,前100 s 刚好经过了25个周期,所以前100 s内振子位移x=0,振子通过的路程s=20 cm×25=500 cm=5 m。
9．一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图所示．
(1)求t＝0.25×10－2 s时质点的位移；
(2)在t＝1.5×10－2 s到t＝2×10－2 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？
(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内，质点的路程、位移各多大？
【答案】　(1)－ cm　(2)变大　变大　变小　变小　变大 (3)34 cm　2 cm
【解析】　(1)由题图可知A＝2 cm，T＝2×10－2 s，振动方程为x＝Asin (ωt－)＝－Acos ωt＝－2cos t cm＝－2cos 100πt cm
当t＝0.25×10－2 s时，x＝－2cos cm＝－ cm.
(2)由题图可知在1.5×10－2 s到2×10－2 s的振动过程中，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．
(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内经历个周期，质点的路程为s＝17A＝34 cm，位移为2 cm.
三、培优练习
1．如图甲所示为以O点为平衡位置。在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是(　　)
A．在时，弹簧振子一定运动到B位置
B．在与两个时刻，弹簧振子的速度相同
C．从0到的时间内，弹簧振子的动能持续地减少
D．在与两个时刻，弹簧振子的加速度相同
【答案】C
【解析】A．在t=0.2s时，弹簧振子位移最大，但没有规定正方向，故可能在A点，也可能在B点，故A错误；
B．x-t图象的切线斜率表示速度，在t=0.3s与t=0.7s两个时刻，弹簧振子的速度大小相等，方向相反，故B错误；
C．从t=0到t=0.2s的时间内，位移增加，远离平衡位置，故动能减小，故C正确；
D．在t=0.2s与t=0.6s两个时刻，位移相反，根据可知，加速度大小相等，方向相反，故D错误。
2．如图所示，一升降机在箱底装有若干弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的运动过程中(　　)
A．升降机的速度不断减小
B．升降机的加速度不断变大
C．升降机的加速度最大值等于重力加速度值
D．升降机的加速度最大值大于重力加速度值
【答案】D
【解析】从弹簧接触地面开始分析，升降机做简谐运动(简化为如图中小球的运动)，在升降机从A→O的运动过程中，速度由v1增大到最大vm，加速度由g减小到零，当升降机运动到A的对称点A′(OA＝OA′)时，速度也变为v1(方向竖直向下)，加速度为g(方向竖直向上)，升降机从O→A′的运动过程中，速度由最大vm减小到v1，加速度由零增大到g，从A′点运动到最低点B的过程中，速度由v1减小到零，加速度由g增大到a(a>g)，故答案为D选项．故选D。
3．如图所示，一轻质弹簧沿竖直方向放置在水平地面上，其下端固定，当弹簧的长度为原长时，其上端位于O点．现有一小球从O点由静止释放，将弹簧压缩至最低点(弹簧始终处于弹性限度内)．在此过程中，关于小球的加速度a随下降位移x的变化关系正确的是(　　)
【答案】A
【解析】小球受竖直向下的重力和竖直向上的弹力，下降位移x为弹簧的形变量，设弹簧劲度系数为k，根据牛顿第二定律mg－kx＝ma，可得a＝g－x，为一次函数，小球做简谐运动，A正确，B、C、D错误．故选A。
4．(多选)有一个在y方向上做简谐运动的物体,其振动图象如图所示。下列关于图甲、乙、丙、丁的判断不正确的是(选项中v、F、a分别表示物体的速度、受到的回复力和加速度)(　　)
A.甲可作为该物体的v-t图象
B.乙可作为该物体的F-t图象
C.丙可作为该物体的F-t图象
D.丙可作为该物体的a-t图象
E.丁可作为该物体的a-t图象
【答案】ABE
【解析】因为F=-kx,a=,故图丙可作为F-t、a-t图象;而v随x增大而减小,故v-t图象应为图乙。由上分析可知,A、B、E错误; C、D正确。故选ABE。
5．(多选)甲、乙两弹簧振子,振动图象如图所示,则可知 (　　)
A.两弹簧振子完全相同
B.两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙=2∶1
C.振子甲速度为零时,振子乙速度最大
D.两振子的振动频率之比f甲∶f乙=1∶2
E.振子甲加速度为零时,振子乙速度最大
【答案】CDE
【解析】从图象中可以看出,两弹簧振子周期之比T甲∶T乙=2∶1,得频率之比f甲∶f乙=1∶2,D正确;弹簧振子周期与振子质量、弹簧劲度系数k有关,周期不同,说明两弹簧振子不同,A错误;由于弹簧的劲度系数k不一定相同,所以两振子所受回复力(F=-kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1,B错误;由简谐运动的特点可知,在振子到达平衡位置时位移为零,速度最大;在振子到达最大位移处时,速度为零,从图象中可以看出,在振子甲到达最大位移处时,振子乙恰好到达平衡位置,C、E正确。故选CDE。
6．(多选)公路上匀速行驶的货车受一扰动,车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向振动可视为简谐运动,周期为T。竖直向上为正方向,以某时刻为计时起点,其振动图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.t=T时,货物对车厢底板的压力最小
B.t=T时,货物对车厢底板的压力最小
C.t=T时,货物对车厢底板的压力最小
D.t=T时,货物所受合力为零
【答案】AD
【解析】要使货物对车厢底板的压力最大,则车厢底板对货物的支持力最大,则要求货物向上的加速度最大,由振动图象可知,在T时,货物向上的加速度最大,所以货物对车厢底板的压力最大,则C选项错误;若货物对车厢底板的压力最小,则车厢底板对货物的支持力最小,则要求货物向下的加速度最大,由振动图象可知,在时,货物向下的加速度最大,所以选项A正确,B错误。T时刻货物加速度为零,货物所受支持力与重力等大反向,合力为零,选项D正确。故选AD。
7．(多选)如图所示为某一质点的振动图像，|x1|＞|x2|，由图可知，在t1和t2两个时刻，质点振动的速度v1、v2与加速度a1、a2的关系为(　　)
A．v1＜v2，方向相同　 B．v1＜v2，方向相反
C．a1＞a2，方向相同 D．a1＞a2，方向相反
【答案】AD
【解析】由题图知，t1、t2两时刻，质点都在沿x轴负方向运动，越衡位置，速度越大，故选项A正确．由F＝ma＝－kx可知，选项D正确．
8．(多选)如图所示，两长方体木块A和B叠放在光滑水平面上，质量分别为m和M，A与B之间的最大静摩擦力为f，B与劲度系数为k的水平轻质弹簧连接构成弹簧振子，为使A和B在振动过程中不发生相对滑动，则(　　)
A．它们的最大加速度不能大于
B．它们的最大加速度不能大于
C．它们的振幅不能大于f
D．它们的振幅不能大于f
【答案】AD
【解析】当A和B在振动过程中恰好不发生相对滑动，A、B到达最大位移处时A、B间静摩擦力达到最大．以A为研究对象，根据牛顿第二定律得，最大加速度a＝；以A、B整体为研究对象，有kA＝(M＋m)a，联立两式得，最大振幅A＝，故选项A、D正确．
9．(多选)如图所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物体A和B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定的挡板．现让一质量为m的物体D从距A为L的位置由静止释放，D和A相碰后立即粘为一体，之后在斜面上做简谐运动，在简谐运动过程中，物体B对C的最小弹力为mgsin θ，则(　　)
A．简谐运动的振幅为
B．简谐运动的振幅为
C．B对C的最大弹力为
D．B对C的最大弹力为
【答案】BD
【解析】当弹簧弹力等于A、D的重力沿斜面方向的分力时A、D处于平衡状态，由kx0＝2mgsin θ可知，平衡时弹簧的形变量为x0＝，弹簧处于压缩状态；当B对C的弹力最小时，对B受力分析，则有mgsin θ＝kx＋mgsin θ，此时弹簧伸长达最大位移处，形变量为x＝，故简谐运动的振幅为A＝x0＋x＝，A错误，B正确；当A、D运动到最低点时，B对C的弹力最大，此时弹簧的形变量为x′＝A＋x0＝，此时弹簧的弹力最大，为F＝k(A＋x0)＝，此时B对C的弹力F′＝F＋mgsin θ＝，C错误，D正确．
10．(多选)如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平面上，上端连一质量为M的物块A，A的上面置一质量为m的物块B，系统可在竖直方向做简谐运动，则(　　)
A．当振动到最低点时，B对A的压力最大
B．当振动到最高点时，B对A的压力最小
C．当向上振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
D．当向下振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
【答案】AB
【解析】当系统做简谐运动时，A、B均做简谐运动，B做简谐运动的回复力由B的重力和A对B的支持力的合力提供，要判断B对A的压力大小，根据牛顿第三定律可知，只要判断出A对B支持力的大小即可．
设最大加速度为am，根据简谐运动的对称性可知，在最高点和最低点加速度的大小都是am，最高点时am向下，最低点时am向上，在经平衡位置时a＝0.
对于B物体，由牛顿第二定律可得：在最高点时有mg－F高＝mam，得F高＝mg－mam，在最低点时有F低－mg＝mam，得F低＝mg＋mam.
在经过平衡位置时有F平－mg＝0，即F平＝mg，可知F低＞F平＞F高．因此可知在最高点时B对A的压力最小，在最低点时B对A的压力最大．
11．（多选）如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为平衡位置，在C、D两点之间做周期为T的简谐运动.已知在t1时刻物块的速度大小为v、方向向下，动能为Ek.下列说法正确的是(　　)
A.如果在t2时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t2－t1的最小值小于
B.如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值为
C.当物块通过O点时，其加速度最小
D.物块在C、D两点的加速度相同
【答案】AC
【解析】如果在t1时刻物块位于O点上方且向下运动，t2时刻物块位于O点下方且与t1时刻物块速度相同，则t2－t1的最小值小于，选项A正确；如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2时刻物块速度与t1时刻大小相等，方向可能相同，也可能相反，t2－t1的最小值小于，选项B错误；题图中O点是平衡位置，物块通过O点时位移最小，根据a＝－知，其加速度最小，选项C正确；C、D两点关于平衡位置对称，加速度等大反向，选项D错误.
12．一质量为m，侧面积为S的正方体木块，放在水面上静止(平衡)，如图所示．现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动．
【答案】木块的振动是简谐运动
【解析】以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中Δx深，当木块被压入水中(x＋Δx)后如图所示，则F回＝mg－F浮又F浮＝ρgS(Δx＋x)
由以上两式，得F回＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx
mg＝ρgSΔx，所以F回＝－ρgSx即F回＝－kx(k＝ρgS)
所以木块的振动为简谐运动．
13．如图所示，两木块的质量分别为m、M，中间弹簧的劲度系数为k，弹簧下端与M连接，m与弹簧不连接，现将m下压一段距离释放，它就上下做简谐运动，振动过程中，m始终没有离开弹簧，求：
(1)m振动的振幅的最大值；
(2)m以最大振幅振动时，M对地面的最大压力．
【答案】(1)　(2)Mg＋2mg
【解析】(1)在平衡位置时，设弹簧的压缩量为x0，
则kx0＝mg.要使m振动过程中不离开弹簧，m振动的最高点不能高于弹簧原长处，
所以m振动的振幅的最大值A＝x0＝.
(2)m以最大振幅A振动时，振动到最低点，弹簧的压缩量最大，为2A＝2x0＝，
对M受力分析可得：FN＝Mg＋k·＝Mg＋2mg，
由牛顿第三定律得，M对地面的最大压力为Mg＋2mg.
14．如图所示，倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放(物块做简谐运动)，重力加速度为g。
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)物块做简谐运动的振幅是多少；
(3)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动。(已知做简谐运动的物体所受的回复力满足)
【答案】(1)；(2)；(3)物块做简谐运动
【解析】 (1)物块平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力。
根据平衡条件，有mgsinα＝k·Δx，解得
故弹簧的长度为
(2)物块做简谐运动的振幅为
(3)物块到达平衡位置下方x位置时，弹力为k(x＋Δx)＝k(x＋)
故合力为F＝mgsinα－k(x＋)＝－kx
故物块做简谐运动。
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