2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试第一章 1.1集合的概念（解析版）

第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念
一、单项选择题
1．下列各组对象中不能构成集合的是(　　)
A．正三角形的全体
B．所有的无理数
C．高一数学第一章的所有难题
D．不等式2x＋3>1的解
2．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．方程组的解组成的集合是(　　)
A．{2,1} B．(2,1) C．{(2,1)} D．{－1,2}
4．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
6．设A，B为两个实数集，定义集合A B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2,3}，B＝{2,3}，则集合A B中元素的个数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R，若1 A，2∈A，则(　　)
A．a＞－4 B．a≤－2
C．－4＜a＜－2 D．－4＜a≤－2
8．集合可表示为(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．下列说法中，正确的是(　　)
A．集合N*中最小的元素是1
B．若－a N*，则a∈N*
C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2
D．x2＋4＝4x的解集中包含两个元素2,2
10．已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成集合A，则(　　)
A．2∈A B．3∈A C．－1∈A D．1∈A
11．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　　)
A．x1x2∈A B．x2x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
12．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，则(　　)
A．p＝－3 B．q＝4
C．B＝{2,5} D．B＝{1,5}
三、填空题
13．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)________P(填“∈”或“ ”)．
14．若集合A＝{－2,2,3,4}，集合B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B＝________.
15．已知集合A由a，b，c三个元素组成，集合B由0,1,2三个元素组成，且集合A与集合B相等．下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则a＝________，100a＋10b＋c＝________.
16．给出下列说法：
①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为{(x，y)|x>0，y>0}；
②方程＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}；
③集合{y|y＝x2－1，x∈R}与{y|y＝x－1，x∈R}是不相等的．
其中正确的是________(填序号)．
四、解答题
17．已知x2∈{0,1，x}，求实数x的值．
18．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B.
19．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中只有一个元素，求a的值；
(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
20．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．
第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念
一、单项选择题
1．下列各组对象中不能构成集合的是(　　)
A．正三角形的全体
B．所有的无理数
C．高一数学第一章的所有难题
D．不等式2x＋3>1的解
答案　C
解析　因为A，B，D三项可以确定其元素，而C中难题的标准无法确定．因此选C.
2．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　当a＝0时，四个数都是0，组成的集合只有一个元素0，当a≠0时，＝|a|＝组成的集合中有两个元素．故选B.
3．方程组的解组成的集合是(　　)
A．{2,1} B．(2,1) C．{(2,1)} D．{－1,2}
答案　C
解析　方程组的解为因为方程组的解组成的集合的元素是有序实数对(2,1)，故选C.
4．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案　D
解析　由集合中元素的互异性可知a，b，c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形．
5．－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　A
解析　由题意可知(－5)2－a×(－5)－5＝0，得a＝－4，因为方程x2－4x＋4＝0的解为x＝2，即{x|x2－4x－a＝0}＝{2}，所以其所有元素和为2.故选A.
6．设A，B为两个实数集，定义集合A B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2,3}，B＝{2,3}，则集合A B中元素的个数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　B
解析　当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6，所以A B＝{3,4,5,6}，共4个元素．
7．已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R，若1 A，2∈A，则(　　)
A．a＞－4 B．a≤－2
C．－4＜a＜－2 D．－4＜a≤－2
答案　D
解析　∵1 A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又2∈A，∴2×2＋a＞0，a＞－4，∴－4＜a≤－2.
8．集合可表示为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　∵3＝，观察集合中的元素，不难发现，若令分母为n，则分子为2n＋1，且n∈N*，∴集合可表示为.
二、多项选择题
9．下列说法中，正确的是(　　)
A．集合N*中最小的元素是1
B．若－a N*，则a∈N*
C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2
D．x2＋4＝4x的解集中包含两个元素2,2
答案　AC
解析　N*是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝0时，－a N*，a N*，故B错误；若a∈N*，则a的最小值是1，同理，b∈N*，b的最小值也是1，所以当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性，知D错误．
10．已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成集合A，则(　　)
A．2∈A B．3∈A C．－1∈A D．1∈A
答案　BC
解析　①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，∴集合A由元素－1,3组成．∴－1∈A,3∈A.故选BC.
11．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　　)
A．x1x2∈A B．x2x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
答案　ABC
解析　由题意易知集合A表示奇数集，集合B表示偶数集．又由x1，x2∈A，x3∈B，则x1，x2是奇数，x3是偶数．对于A，两个奇数的积为奇数，即x1x2∈A，故A正确；对于B，一奇一偶两个数的积为偶数，即x2x3∈B，故B正确；对于C，两个奇数的和为偶数，即x1＋x2∈B，故C正确；对于D，两个奇数与一个偶数的和为偶数，即x1＋x2＋x3∈B，故D错误．
12．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，则(　　)
A．p＝－3 B．q＝4
C．B＝{2,5} D．B＝{1,5}
答案　ABD
解析　由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}可知，22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0，解得p＝－3，q＝4，则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3，即(x－1)2－4(x－1)＝0，则x－1＝0或x－1＝4，解得x＝1或x＝5.所以集合B＝{1,5}．
三、填空题
13．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)________P(填“∈”或“ ”)．
答案　∈
解析　直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y＝2x＋3的关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素．
由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，故(2,7)∈P.
14．若集合A＝{－2,2,3,4}，集合B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B＝________.
答案　{4,9,16}
解析　当t＝－2,2,3,4时，x＝4,4,9,16，故集合B＝{4,9,16}．
15．已知集合A由a，b，c三个元素组成，集合B由0,1,2三个元素组成，且集合A与集合B相等．下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则a＝________，100a＋10b＋c＝________.
答案　2　201
解析　可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，易知a≠0，b≠0，所以a＝b＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.
16．给出下列说法：
①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为{(x，y)|x>0，y>0}；
②方程＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}；
③集合{y|y＝x2－1，x∈R}与{y|y＝x－1，x∈R}是不相等的．
其中正确的是________(填序号)．
答案　①③
解析　对于①，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点(x，y)，所以①正确；对于②，方程＋|y＋2|＝0的解为解集为{(2，－2)}或，所以②不正确；对于③，因为集合{y|y＝x2－1，x∈R}等于集合{y|y≥－1}，集合{y|y＝x－1，x∈R}等于R，故这两个集合不相等，所以③正确．
四、解答题
17．已知x2∈{0,1，x}，求实数x的值．
解　因为x2∈A，
所以x2＝0或x2＝1或x2＝x.
若x2＝0，则x＝0，此时A中三个元素为0,1,0，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时，集合A中三个元素为0,1,1，不符合集合中元素的互异性，舍去；
当x＝－1时，集合A中三个元素分别为0,1，－1，符合题意．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，由以上可知，x＝0和x＝1都不符合题意．
综上所述，x＝－1.
18．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B.
解　将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理得x2－(a＋1)x＋b＝0.
因为A＝{－3,1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3,1.
由根与系数的关系得解得
所以y＝x2＋3x－3.
将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B中的方程并整理得x2＋6x－3＝0，
解得x＝－3±2，所以B＝{－3－2，－3＋2}．
19．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中只有一个元素，求a的值；
(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
解　(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意．
当a≠0时，Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，
此时原方程为x2＋2x＋1＝0，即x＝－1.
所以a的值为0或1.
(2)由(1)，知当a＝0时，A中只有一个元素．
当a≠0时，若A中至多含有一个元素，
则一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有一个解或无解，
即解得a≥1，
此时方程ax2＋2x＋1＝0至多有一个解．
综上可知，a的取值范围是a＝0或a≥1.
20．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．
解　(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，
令a＝3k＋1，b＝3k＋2，则m＝a＋b.
故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．
(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，
则a＋b＝3(k＋l)＋3.
当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6 M，
此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．
故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，
使a＋b＝m.