2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试第一章 1.2集合间的基本关系（解析版）

1.2　集合间的基本关系
一、单项选择题
1．集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是(　　)
A．P＝Q B．P?Q C．P?Q D．Q∈P
2．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x B}，若A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,5}，则A*B的子集个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则表示M，N之间关系的Venn图是(　　)
4．若集合M＝，N＝，P＝，则集合M，N，P的关系是(　　)
A．M＝N?P B．M?N＝P
C．M?N?P D．N?P?M
5．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，那么(　　)
A．若a＝1，则N M
B．若N M，则a＝1
C．若a＝1，则N M，反之也成立
D．a＝1和N M成立没有关系
6．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q P，则a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
7．已知集合A＝{a|a {1,2,3}}，则A的真子集个数为(　　)
A．7 B．8 C．255 D．256
8．设集合A＝{x|a－1b＋2}．若A B，则实数a，b必满足(　　)
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
二、多项选择题
9．已知集合A＝{x|x是四边形}，B＝{x|x是平行四边形}，C＝{x|x是菱形}，D＝{x|x是矩形}，E＝{x|x是正方形}．下列结论正确的为(　　)
A．E?D?C?A B．E?C?B?A
C．E?B?D?A D．E?D?B?A
10．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A B，则a的值可以为(　　)
A．1 B．－1 C．0 D．2
11．下列各组集合中，集合M＝N的是(　　)
A．M＝{－5,3}，N＝{x|x2＋2x－15＝0}
B．M＝{2,5,8}，N＝{5,2,8}
C．M＝{(x，y)|y＝2x＋1}，N＝{y|y＝2x＋1}
D．M＝{3,7}，N＝{(3,7)}
12．已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则下列结论正确的是(　　)
A．若B A，则m≤2
B．当x∈Z时，A的非空真子集有62个
C．存在实数m，使得A＝B
D．当x∈R时，若不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，则m≠2
三、填空题
13．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________．
14．已知A＝{1,3，m＋2}，B＝{3，m2}，若B A，则m＝________.
15．设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则满足B A的实数m的值所组成的集合为________，该集合的子集有________个．
16．已知集合M＝{x|－2≤x≤a}是非空集合，集合P＝{y|y＝2x－3，x∈M}，集合T＝{z|z＝x，x∈M}，若T P，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
17．已知E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断E和F的关系．
18．已知集合A＝{x，x＋y，x＋2y}，B＝{x，xm，xm2}，且A＝B，求m的值．
19．已知集合A＝{x|120．设集合A＝{x|x＝12m＋8n，m，n∈Z}，B＝{x|x＝20p＋16q，p，q∈Z}，求证：A＝B.
1.2　集合间的基本关系
一、单项选择题
1．集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是(　　)
A．P＝Q B．P?Q C．P?Q D．Q∈P
答案　B
解析　由x＋1≥0得x≥－1，∴P＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y＝}＝{y|y≥0}，∴Q?P.
2．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x B}，若A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,5}，则A*B的子集个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　D
解析　∵A*B＝{1,7}，∴A*B的子集个数为22＝4，选D.
3．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则表示M，N之间关系的Venn图是(　　)
答案　B
解析　由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}，则N?M.
4．若集合M＝，N＝，P＝，则集合M，N，P的关系是(　　)
A．M＝N?P B．M?N＝P
C．M?N?P D．N?P?M
答案　B
解析　因为M＝，N＝，P＝，所以M?N＝P.
5．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，那么(　　)
A．若a＝1，则N M
B．若N M，则a＝1
C．若a＝1，则N M，反之也成立
D．a＝1和N M成立没有关系
答案　A
解析　显然当a＝1时，集合N＝{1}，此时N M；若N M，则a2可以是集合M中的元素1或2，此时a可以取值为1，－1，，－.即若N M，则a＝1不成立．A正确，B，C，D均不正确．
6．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q P，则a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
答案　D
解析　∵P＝{x|x2＝1}＝{1，－1}，Q＝{x|ax＝1}，Q P，∴当Q是空集时，有a＝0显然成立；当Q＝{1}时，有a＝1，与题意相符；当Q＝{－1}时，有a＝－1，与题意相符．故满足条件的a的值为1，－1,0.故选D.
7．已知集合A＝{a|a {1,2,3}}，则A的真子集个数为(　　)
A．7 B．8 C．255 D．256
答案　C
解析　集合A＝{a|a {1,2,3}}，说明集合A的元素是{1,2,3}的子集，共有8个，所以集合A的真子集有28－1＝255个，故选C.
8．设集合A＝{x|a－1b＋2}．若A B，则实数a，b必满足(　　)
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
答案　D
解析　根据题意知A B，作出如图所示的数轴，所以有b＋2≤a－1或b－2≥a＋1，解得a－b≥3或a－b≤－3，即|a－b|≥3.
二、多项选择题
9．已知集合A＝{x|x是四边形}，B＝{x|x是平行四边形}，C＝{x|x是菱形}，D＝{x|x是矩形}，E＝{x|x是正方形}．下列结论正确的为(　　)
A．E?D?C?A B．E?C?B?A
C．E?B?D?A D．E?D?B?A
答案　BD
解析　x是矩形 x是菱形，故A错误；x是正方形 x是菱形 x是平行四边形 x是四边形，故B正确；x是平行四边形 x是矩形，故C错误；x是正方形 x是矩形 x是平行四边形 x是四边形，故D正确．故选BD.
10．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A B，则a的值可以为(　　)
A．1 B．－1 C．0 D．2
答案　BD
解析　因为A B，所以a2－a＋1∈A，所以a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.由a2－a＋1＝3，得a＝2或a＝－1；由a2－a＋1＝a，得a＝1.经检验，当a＝1时，集合A，B中都有重复元素，与集合元素的互异性矛盾，故舍去．所以a的值为－1或2.
11．下列各组集合中，集合M＝N的是(　　)
A．M＝{－5,3}，N＝{x|x2＋2x－15＝0}
B．M＝{2,5,8}，N＝{5,2,8}
C．M＝{(x，y)|y＝2x＋1}，N＝{y|y＝2x＋1}
D．M＝{3,7}，N＝{(3,7)}
答案　AB
解析　对于A，由x2＋2x－15＝0，解得x＝－5或x＝3，所以N＝{－5，3}＝M，故A正确；对于B，由集合中元素的无序性，知M＝N，故B正确；对于C，集合M表示的是直线y＝2x＋1上的点的坐标，集合N表示的是直线y＝2x＋1上的点的纵坐标，M≠N，故C错误；对于D，集合M表示的是实数3,7，集合N表示的是点(3,7)，M≠N，故D错误．故选AB.
12．已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则下列结论正确的是(　　)
A．若B A，则m≤2
B．当x∈Z时，A的非空真子集有62个
C．存在实数m，使得A＝B
D．当x∈R时，若不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，则m≠2
答案　ABD
解析　对于A，若B＝ ，则m＋1>2m－1，解得m<2，若B≠ ，则有解得m＝2，所以m≤2，故A正确；对于B，当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3}，共6个元素，故A的非空真子集的个数为26－2＝62，故B正确；对于C，若A＝B，则有方程组无解，所以不存在实数m使得A＝B，故C错误；对于D，因为x∈R，A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，所以A，B没有公共元素．当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝ 满足题意；当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使A，B没有公共元素，则有或解得m>2.综上所述，当m≠2时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，故D正确．故选ABD.
三、填空题
13．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________．
答案　B?A
解析　A中x∈R，y∈R，所以A表示直线y＝x上所有点构成的集合．B中的x≠0，所以B表示直线y＝x上所有点构成的集合，但除去原点．所以B?A.
14．已知A＝{1,3，m＋2}，B＝{3，m2}，若B A，则m＝________.
答案　2
解析　由B A知，m2＝1或m2＝m＋2，当m2＝1时，m＝±1，此时不满足集合元素的互异性；当m2＝m＋2时，m＝－1或m＝2，当m＝－1时，不满足集合元素的互异性，验证知m＝2时成立．
15．设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则满足B A的实数m的值所组成的集合为________，该集合的子集有________个．
答案　　8
解析　∵A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，又B A，当m＝0时，mx＋1＝0无解，故B＝ ，满足条件，若B≠ ，则B＝{－3}或B＝{2}，即m＝或m＝－，故满足条件的实数m的值所组成的集合为，该集合的子集有23＝8个．
16．已知集合M＝{x|－2≤x≤a}是非空集合，集合P＝{y|y＝2x－3，x∈M}，集合T＝{z|z＝x，x∈M}，若T P，则实数a的取值范围是________．
答案　{a|a≥3}
解析　∵集合P，T中的自变量都从集合M中取得，∴集合P＝{y|－7≤y≤2a－3}，集合T中的最大值是a，由T P，得2a－3≥a，则a≥3.
四、解答题
17．已知E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断E和F的关系．
解　E＝{x|＝0}＝{0}．
下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论．
方程x2－(a－1)x＝0的判别式为Δ＝(a－1)2.
①当a＝1时，Δ＝0，
方程有两个相等的实根x1＝x2＝0，
此时F＝{0}，E＝F.
②当a≠1时，Δ>0，方程有两个不相等的实根，x＝0或x＝a－1≠0，此时，F＝{0，a－1}，E?F.
综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，E?F.
18．已知集合A＝{x，x＋y，x＋2y}，B＝{x，xm，xm2}，且A＝B，求m的值．
解　因为A＝B，且都有元素x，
所以①
或②
解方程组①，得x(m2－2m＋1)＝0.
当x＝0时，集合B中的x＝xm＝xm2＝0，不符合题意，舍去；
当x≠0时，m2－2m＋1＝0，即m＝1，此时x＝xm＝xm2，集合B中也出现重复元素，不符合题意，舍去．
解方程组②，得x(2m2－m－1)＝0.
因为x≠0，所以2m2－m－1＝0，
所以m＝－或m＝1.m＝1不符合题意，舍去．
当m＝－时，集合B＝.
因为x≠0，所以m＝－符合题意．
综上可知，m＝－.
19．已知集合A＝{x|1解　①当a＝0时，A＝ ，满足A B.
②当a>0时，A＝.
又B＝{x|－1③当a<0时，A＝.
∵A B，∴∴a≤－2.
综上所述，a的取值范围为{a|a≥2或a≤－2或a＝0}．
20．设集合A＝{x|x＝12m＋8n，m，n∈Z}，B＝{x|x＝20p＋16q，p，q∈Z}，求证：A＝B.
证明　①任取x1∈A，即x1＝12m＋8n，m，n∈Z.
当m，n同奇或同偶时，x1＝20m＋16×；
当m，n一奇一偶时，x1＝20(m－2)＋16×.
∵m，n∈Z，∴∈Z(m，n同奇或同偶)，
且∈Z(m，n一奇一偶)．
∴x1＝20p＋16q，p，q∈Z，
∴x1∈B，∴A B.
②任取x2∈B，即x2＝20p＋16q，p，q∈Z，
∴x2＝12p＋8(p＋2q)．
∵p，q∈Z，∴p＋2q∈Z，
∴x2＝12m＋8n，m，n∈Z，
∴x2∈A，∴B A.
由①②可知A＝B.