2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试第一章 1.4.1充分条件与必要条件（解析版）

1.4　充分条件与必要条件
1．4.1　充分条件与必要条件
一、单项选择题
1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“aA．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
3．设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
4．设x∈R，则“|x|<1”是“x3＜1”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
5．使|x|＝x成立的一个必要条件但不是充分条件是(　　)
A．x≥0 B．x2≥－x C.≥0 D.>0
6．已知p：4x＋m<0，q：x>2或x<－1，若p是q的充分条件但不是必要条件，则m的取值范围为(　　)
A．m>4 B．m<4 C．m≥4 D．m≤4
7．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)
A．必要条件
B．充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
8．设x，y是两个实数，则“x，y中至少有一个大于1”的一个充分条件但不是必要条件是(　　)
A．x＋y＝2 B．x＋y＞2
C．x2＋y2＞2 D．xy＞1
二、多项选择题
9．下列不等式中，是|x|<1的一个充分条件的是(　　)
A．x<1 B．0C．－110．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是(　　)
A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝ D．若x11．下面四个条件中，使a>b成立的充分条件但不是必要条件是(　　)
A．a≥b＋1 B．a>2b
C．a2>b2 D．a>|b|
12．下列说法正确的是(　　)
A．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要条件但不是充分条件
B．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要条件但不是充分条件
C．“a<－1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充分条件但不是必要条件
D．“A≠ ”是“A∩B≠ ”的充分条件但不是必要条件
三、填空题
13．“a和b都是偶数”是“a＋b也是偶数”的________条件．
14．“a为素数”________“a为奇数”的充分条件(填“是”或“不是”)．
15．设p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为________．
16．已知P＝{x|－a－4四、解答题
17．指出下列命题中，p是q的什么条件．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形．
18．已知条件p：x<1－a或x>1＋a和条件q：x<或x>1，求使p是q的充分条件但不是必要条件的最小正整数a.
19．若P：－220．已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－3≤x≤5}．
(1)若a＝3，求( RP)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件，求实数a的取值范围．
1.4　充分条件与必要条件
1．4.1　充分条件与必要条件
一、单项选择题
1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
答案　B
解析　“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件．
2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“aA．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
答案　A
解析　若(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a3．设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
答案　B
解析　因为M∪P＝{x|x＞1}，M∩P＝{x|x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要条件但不是充分条件．故选B.
4．设x∈R，则“|x|<1”是“x3＜1”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
答案　A
解析　由|x|<1，得－15．使|x|＝x成立的一个必要条件但不是充分条件是(　　)
A．x≥0 B．x2≥－x C.≥0 D.>0
答案　B
解析　由|x|＝x，得x≥0.选项A和C是必要条件也是充分条件，不符合题意；选项D是充分条件但不是必要条件，不符合题意．选项B满足题意，故选B.
6．已知p：4x＋m<0，q：x>2或x<－1，若p是q的充分条件但不是必要条件，则m的取值范围为(　　)
A．m>4 B．m<4 C．m≥4 D．m≤4
答案　C
解析　p：4x＋m<0，即x<－，因为p是q的充分条件但不是必要条件，所以－≤－1，即m≥4.
7．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)
A．必要条件
B．充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
答案　A
解析　由题意可知“返回家乡”可以推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．
8．设x，y是两个实数，则“x，y中至少有一个大于1”的一个充分条件但不是必要条件是(　　)
A．x＋y＝2 B．x＋y＞2
C．x2＋y2＞2 D．xy＞1
答案　B
解析　A项，x＋y＝2时，令x＝y＝1，不符合命题；而命题“x，y中至少有一个大于1”，令x＝－1，y＝2，x＋y≠2，所以既不是充分条件，也不是必要条件；B项，x＋y＞2时，若x，y都不大于1，则x＋y≤2矛盾，可得x，y中至少有一个大于1；若“x，y中至少有一个大于1”，令x＝－1，y＝2，x＋y＜2，所以是充分条件但不是必要条件；C项，x2＋y2＞2时，令x＝－2，y＝0，不符合命题；若“x，y中至少有一个大于1”，令x＝1.1，y＝0，x2＋y2＜2，所以既不是充分条件，也不是必要条件；D项，xy＞1时，令x＝－1，y＝－2，不符合命题；若“x，y中至少有一个大于1”，令x＝－1，y＝2，xy＜1，所以既不是充分条件，也不是必要条件．
二、多项选择题
9．下列不等式中，是|x|<1的一个充分条件的是(　　)
A．x<1 B．0C．－1答案　BCD
解析　由于|x|<1，即－110．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是(　　)
A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝ D．若x答案　BC
解析　p是q的必要条件，则q是p的充分条件．对于A，当x＝y＝0时，推不出＝，A不正确；对于B，x＝1 x2＝1，B正确；对于C，＝ x＝y，C正确；对于D，令x＝－2，y＝－3，则x211．下面四个条件中，使a>b成立的充分条件但不是必要条件是(　　)
A．a≥b＋1 B．a>2b
C．a2>b2 D．a>|b|
答案　AD
解析　对于A，由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1 a>b；反之，若a＝4，b＝3.5，则4>3.5 4≥3.5＋1，故a>b a≥b＋1，故A正确；对于B，当a＝－3，b＝－2时，－3>－4 －3>－2，故B错误；对于C，若a＝－4，b＝3，则(－4)2>32 －4>3，故C错误；对于D，由a>|b|≥b，从而a>|b| a>b，反之，若a＝1，b＝－2，则1>－2 1>|－2|，故a>b a>|b|，故D正确．故选AD.
12．下列说法正确的是(　　)
A．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要条件但不是充分条件
B．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要条件但不是充分条件
C．“a<－1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充分条件但不是必要条件
D．“A≠ ”是“A∩B≠ ”的充分条件但不是必要条件
答案　BC
解析　当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分条件但不是必要条件，故A错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要条件但不是充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要条件但不是充分条件，故B正确；由“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”，得a<0，所以“a<－1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充分条件但不是必要条件，故C正确；由“A≠ ”得不到“A∩B≠ ”，即“A≠ ”不是“A∩B≠ ”的充分条件，由“A∩B≠ ”可知“A≠ ”，即“A≠ ”是“A∩B≠ ”的必要条件，故“A≠ ”是“A∩B≠ ”的必要条件但不是充分条件，故D错误．故选BC.
三、填空题
13．“a和b都是偶数”是“a＋b也是偶数”的________条件．
答案　充分条件但不是必要
解析　当a和b都是偶数时，则a＋b也是偶数；当a＋b为偶数时，a，b可以都为奇数．
14．“a为素数”________“a为奇数”的充分条件(填“是”或“不是”)．
答案　不是
解析　素数是除了1和它本身以外不再有其他因数的数，奇数是不能被2整除的数．当a＝2时，a为素数，但a是偶数不是奇数．所以“a为素数”不是“a为奇数”的充分条件．
15．设p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为________．
答案　m≥4
解析　令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，因为p是q的充分条件，所以A B.所以m≥4.
16．已知P＝{x|－a－4答案　2　a<2
解析　Q＝{x||x|<6}＝{x|－6四、解答题
17．指出下列命题中，p是q的什么条件．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形．
解　(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立．即p q，qp，∴p是q的充分条件但不是必要条件．
(2)∵x2>1 x>1或x<－1，∴p q，且qp.
∴p是q的充分条件但不是必要条件．
(3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即pq，且q p，∴p是q的必要条件但不是充分条件．
18．已知条件p：x<1－a或x>1＋a和条件q：x<或x>1，求使p是q的充分条件但不是必要条件的最小正整数a.
解　依题意a>0.由条件p：x<1－a或x>1＋a，
可设M＝{x|x<1－a或x>1＋a}，
由条件q：x<或x>1，可设N＝.
要使p是q的充分条件但不是必要条件，则M?N，应有或解得a≥.
令a＝1，则M＝{x|x<0或x>2}?N＝，
即p q，反之不成立．∴a＝1.
19．若P：－2解　设方程x2＋ax＋b＝0的两个根为x1，x2，且0若－2则判别式Δ＝a2－4b＝1－4×＝－1<0，此时方程无解．
所以P是Q的必要条件但不是充分条件．
20．已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－3≤x≤5}．
(1)若a＝3，求( RP)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}， RP＝{x|x<4或x>7}，
又Q＝{x|－3≤x≤5}，
所以( RP)∩Q＝{x|－3≤x<4}．
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件，即P?Q，
即或解得0≤a≤2.