2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试第一章 1.4.2充要条件（解析版）

1.4.2　充要条件
一、单项选择题
1．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．集合“M∩N＝N”是“M∪N＝M”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　)
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
5．“b＝c＝0”是“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．命题“任意1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
7．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝”是“A∩B＝{4}”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，若A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，则点P(2,3)∈A∩的充要条件是(　　)
A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5
C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5
二、多项选择题
9．设全集为U，在下列条件中，是B A的充要条件的是(　　)
A．A∪B＝A B．( UA)∩B＝
C． UA UB D．A∪( UB)＝U
10．已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是(　　)
A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件
B．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件
C．Δ＝b2－4ac>0是这个方程有实根的必要条件
D．Δ＝b2－4ac<0是这个方程没有实根的充要条件
11．设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”；q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是(　　)
12．已知A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，则下列说法正确的是(　　)
A．b≥－2是A∪B＝R的充要条件
B．b≥－3是A∪B＝R的充分不必要条件
C．b≥－1是A∪B＝R的充分不必要条件
D．b≥－2是A∩B≠ 的充要条件
三、填空题
13．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
14．“m＝1”是“函数y＝xm2－4m＋5为二次函数”的________条件．
15．设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A (A∩B)的充要条件为________，一个充分不必要条件可为________．
16．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
四、解答题
17．设a，b∈R，证明p：是q：a3＋b3＋2＋(3ab＋1)(a＋b)＝0成立的充分不必要条件．
18．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件．
19．已知a，b是正实数，求证：＋＋2＝的充要条件是a＋b＝1.
20．已知a≥，设二次函数f(x)＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意x∈{x|0≤x≤1}，均有f(x)≤1成立的充要条件是c≤.
1.4.2　充要条件
一、单项选择题
1．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　a2＋b2＝c2 △ABC为直角三角形，故选C.
2．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y |x|＝|y|.
3．集合“M∩N＝N”是“M∪N＝M”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　M∩N＝N N M M∪N＝M.
4．如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　)
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
答案　A
解析　如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙 甲．又丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙 乙，但乙 丙．综上，有丙 乙 甲，甲 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
5．“b＝c＝0”是“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　b＝c＝0 y＝ax2，二次函数的图象一定经过原点；二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点 c＝0，b不一定等于0，故选A.
6．命题“任意1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
答案　C
解析　“任意1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题，∴a≥x2对任意的1≤x≤2恒成立，∴a≥4，故a≥5是a≥4的一个充分不必要条件，故选C.
7．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝”是“A∩B＝{4}”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，即m2＝3，解得m＝或m＝－.故“m＝”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．故选A.
8．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，若A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，则点P(2,3)∈A∩的充要条件是(　　)
A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5
C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5
答案　A
解析　 UB＝{(x，y)|x＋y－n＞0}，∵P(2,3)∈A∩( UB)，∴∴m＞－1，n＜5，故选A.
二、多项选择题
9．设全集为U，在下列条件中，是B A的充要条件的是(　　)
A．A∪B＝A B．( UA)∩B＝
C． UA UB D．A∪( UB)＝U
答案　ABCD
解析　画出Venn图可知，B A A∪B＝A；B A ( UA)∩B＝ ；B A UA UB.B A A∪( UB)＝U.故选ABCD.
10．已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是(　　)
A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件
B．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件
C．Δ＝b2－4ac>0是这个方程有实根的必要条件
D．Δ＝b2－4ac<0是这个方程没有实根的充要条件
答案　ABD
解析　A正确，Δ＝b2－4ac≥0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；B正确，Δ＝b2－4ac＝0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；C错误，Δ＝b2－4ac>0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；D正确，Δ＝b2－4ac<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实根．
11．设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”；q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是(　　)
答案　BD
解析　由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD.
12．已知A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，则下列说法正确的是(　　)
A．b≥－2是A∪B＝R的充要条件
B．b≥－3是A∪B＝R的充分不必要条件
C．b≥－1是A∪B＝R的充分不必要条件
D．b≥－2是A∩B≠ 的充要条件
答案　AC
解析　对于A，当b≥－2时，A∪B＝R；A∪B＝R b≥－2，所以b≥－2是A∪B＝R的充要条件，故A正确；对于B，当b≥－3时，不一定有A∪B＝R，所以b≥－3不是A∪B＝R的充分条件，故B错误；对于C，当b≥－1时，A∪B＝R，A∪B＝R b≥－2 b≥－1，所以b≥－1是A∪B＝R的充分不必要条件，故C正确；对于D，当b＝－2时，B＝{x|x≤－2}，A∩B＝ ，所以b≥－2不是A∩B≠ 的充分条件，故D错误．
三、填空题
13．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
答案　m＝－2
解析　函数y＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为x＝－ －＝1 m＝－2.
14．“m＝1”是“函数y＝xm2－4m＋5为二次函数”的________条件．
答案　充分不必要
解析　m＝1时，函数y＝x2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m2－4m＋5＝2，即m＝3或m＝1，所以m＝3也能保证函数为二次函数．所以“m＝1”是“函数y＝x m2－4m＋5为二次函数”的充分不必要条件．
15．设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A (A∩B)的充要条件为________，一个充分不必要条件可为________．
答案　a≤9　6≤a≤9(答案不唯一)
解析　A (A∩B) A B，B＝{x|3≤x≤22}．
若A＝ ，则2a＋1>3a－5，解得a<6；
若A≠ ，则A B 6≤a≤9.
综上可知，A (A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9.
16．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
答案　3或4
解析　一元二次方程x2－4x＋n＝0有实数根 (－4)2－4n≥0 n≤4.又n∈N*，所以n＝1,2,3,4，当n＝4时，方程x2－4x＋4＝0，有整数根2；当n＝3时，方程x2－4x＋3＝0，有整数根1,3；当n＝2时，方程x2－4x＋2＝0，无整数根；当n＝1时，方程x2－4x＋1＝0，无整数根，所以n＝3或n＝4.
四、解答题
17．设a，b∈R，证明p：是q：a3＋b3＋2＋(3ab＋1)(a＋b)＝0成立的充分不必要条件．
证明　充分性显然成立，下证q p.
q等价于a3＋b3＋3ab(a＋b)＋(a＋b)＋2＝0，
即(a＋b)3＋(a＋b)＋2＝0，
(a＋b＋1)[(a＋b)2－(a＋b)＋2]＝0，
(a＋b＋1)＝0，
所以q a＋b＋1＝0.
取a＝－2，b＝1，则q成立，但p不成立，所以q p.
故p是q成立的充分不必要条件．
18．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件．
解　当a＝0时，方程为2x＋1＝0，解得x＝－，符合题目要求；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
它有实根的充要条件为Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.
设方程ax2＋2x＋1＝0的两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝.
①方程ax2＋2x＋1＝0恰有一个负实根的充要条件是
解得a<0；
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是
解得0综上所述，a≤1为所求．
19．已知a，b是正实数，求证：＋＋2＝的充要条件是a＋b＝1.
证明　必要性：若＋＋2＝，
则＝，
即a2＋a＋b2＋b＋2ab＝2，即(a＋b)2＋(a＋b)－2＝0，
即(a＋b－1)(a＋b＋2)＝0.
因为a，b是正实数，所以a＋b＋2>0，
所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
充分性：若a＋b＝1，则＋＋2
＝＝
＝＝＝，
故＋＋2＝的充要条件是a＋b＝1.
20．已知a≥，设二次函数f(x)＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意x∈{x|0≤x≤1}，均有f(x)≤1成立的充要条件是c≤.
证明　因为a≥，所以函数f(x)＝－a2x2＋ax＋c的对称轴方程为x＝＝，且0<≤1，
所以f(x)≤f＝＋c.
先证充分性：因为c≤，且f(x)≤f＝＋c≤＋＝1，所以得f(x)≤1.
再证必要性：因为f(x)≤1，所以只需f≤1即可．
即＋c≤1，从而c≤.
即结论得证．