2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试第一章 1.5.1全称量词与存在量词&1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定（解析版）

1.5　全称量词与存在量词
1．5.1　全称量词与存在量词
1．5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
一、单项选择题
1．下列命题中存在量词命题的个数是(　　)
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sinx|≤1.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)
A． x∈R,2x＋1>0
B．若2x为偶数，则 x∈N
C．所有菱形的四条边都相等
D．π是无理数
3．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A,2x∈B，则(　　)
A．p： x∈A,2x B B．p： x A,2x B
C．p： x A,2x∈B D．p： x∈A,2x B
4．命题p： x>0，x＋＝2，则p为(　　)
A． x>0，x＋＝2 B． x>0，x＋≠2
C． x≤0，x＋＝2 D． x≤0，x＋≠2
5．下列四个命题：
①没有一个无理数不是实数；
②空集是任何一个非空集合的真子集；
③1＋1<2；
④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．
其中是真命题的为(　　)
A．①②③④ B．①②③
C．①②④ D．②③④
6．设非空集合P，Q满足，P∩Q＝Q且P≠Q，则下列命题是假命题的是(　　)
A． x∈Q，有x∈P B． x∈P，有x Q
C． x Q，有x∈P D． x Q，有x P
7．已知命题p： x∈R，x2＋x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a> B．a≤
C．a< D．a≥
8．已知命题p： x1∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x1，命题q： x2∈{x|1≤x≤3}，使m≥x2，若命题p为真命题，q为假命题，则实数m的取值范围为(　　)
A．{m|m≤1} B．{m|1≤m≤3}
C．{m|m≥3} D．{m|m≥1}
二、多项选择题
9．下列命题中是存在量词命题且是真命题的是(　　)
A．对所有实数x，都有2x2－3x＋4>0
B．存在正整数m，使m为29的约数
C．命题“所有四边形的内角和都是360°”的否定
D．命题“对所有实数a，都有|a|>0”的否定
10．已知a>0，函数y＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题中为真命题的是(　　)
A． x∈R，y≤yx＝x0 B． x∈R，y≥yx＝x0
C． x∈R，y≤yx＝x0 D． x∈R，y≥yx＝x0
11．对下列命题的否定说法正确的是(　　)
A．p：能被2整除的数是偶数；p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；p：所有的三角形不都是正三角形
D．p： n∈N,2n≤100；p： n∈N,2n>100.
12．命题p：“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a>0”的否定为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a>4 B．a≤4 C．a≥5 D．a<5
三、填空题
13．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________．
14．若命题“ x∈R，x2＋4x＋c≤0”为假命题，则实数c的取值范围是________．
15．已知命题p：存在k∈R，使得函数y＝(k－3)x＋k的图象不经过定点M，若命题p是假命题，则点M的坐标为________．
16．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.
既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号)．
四、解答题
17．命题p是“对某些实数x，若x－a>0，则x－b≤0”，其中a，b是常数．
(1)写出命题p的否定；
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
18．已知集合A＝{x|－3≤x≤6}，B＝{x|m＋3≤x≤2m＋4}，且B≠ .
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
19．已知函数y1＝x，y2＝－2x2－m，若 x1∈{x|－1≤x≤3}， x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．
20．p： x0∈R，使得ax－2x0－1>0成立；q：方程x2＋(a－3)x－a＝0有两个不相等正实根；
(1)写出p；
(2)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
(3)若命题p，q一真一假，求实数a的取值范围．
1.5　全称量词与存在量词
1．5.1　全称量词与存在量词
1．5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
一、单项选择题
1．下列命题中存在量词命题的个数是(　　)
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sinx|≤1.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题．故有一个存在量词命题．
2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)
A． x∈R,2x＋1>0
B．若2x为偶数，则 x∈N
C．所有菱形的四条边都相等
D．π是无理数
答案　C
解析　对于A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确；对于B，是假命题，也不是全称量词命题，故B不正确；对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确．
3．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A,2x∈B，则(　　)
A．p： x∈A,2x B B．p： x A,2x B
C．p： x A,2x∈B D．p： x∈A,2x B
答案　D
解析　全称量词命题的否定是存在量词命题，则命题p： x∈A,2x∈B的否定是p： x∈A,2x B.
4．命题p： x>0，x＋＝2，则p为(　　)
A． x>0，x＋＝2 B． x>0，x＋≠2
C． x≤0，x＋＝2 D． x≤0，x＋≠2
答案　B
解析　该命题的否定p： x>0，x＋≠2.
5．下列四个命题：
①没有一个无理数不是实数；
②空集是任何一个非空集合的真子集；
③1＋1<2；
④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．
其中是真命题的为(　　)
A．①②③④ B．①②③
C．①②④ D．②③④
答案　C
解析　①中表述的为所有无理数都是实数，正确；②空集是任何一个非空集合的真子集，正确；③1＋1＝2，故1＋1＜2为假命题；④当x为整数时，x2－x＋1即为整数，正确．故选C.
6．设非空集合P，Q满足，P∩Q＝Q且P≠Q，则下列命题是假命题的是(　　)
A． x∈Q，有x∈P B． x∈P，有x Q
C． x Q，有x∈P D． x Q，有x P
答案　D
解析　因为P∩Q＝Q且P≠Q，所以Q?P，所以集合Q中的元素都是集合P的元素，但是集合P中有集合Q中没有的元素，所以A，B，C正确，D错误．
7．已知命题p： x∈R，x2＋x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a> B．a≤
C．a< D．a≥
答案　A
解析　假设命题p为真，则 x∈R，x2＋x＋a＝0，即关于x的一元二次方程x2＋x＋a＝0有解，所以Δ＝12－4a≥0.解得a≤.因为命题p是假命题，所以a>.故选A.
8．已知命题p： x1∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x1，命题q： x2∈{x|1≤x≤3}，使m≥x2，若命题p为真命题，q为假命题，则实数m的取值范围为(　　)
A．{m|m≤1} B．{m|1≤m≤3}
C．{m|m≥3} D．{m|m≥1}
答案　C
解析　由题意知命题p，q都是真命题．由 x1∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x1成立，只需m大于或等于x1的最大值，即m≥3.由 x2∈{x|1≤x≤3}，使m≥x2成立，只需m大于或等于x2的最小值，即m≥1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．
二、多项选择题
9．下列命题中是存在量词命题且是真命题的是(　　)
A．对所有实数x，都有2x2－3x＋4>0
B．存在正整数m，使m为29的约数
C．命题“所有四边形的内角和都是360°”的否定
D．命题“对所有实数a，都有|a|>0”的否定
答案　BD
解析　对于A，是全称量词命题，故A错误；对于B，是存在量词命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以B为真命题，故B正确；对于C，命题的否定为“有的四边形的内角和不是360°”，是存在量词命题，是假命题，故C错误；对于D，命题的否定为“存在实数a，使|a|≤0”，是存在量词命题，当a＝0时，此命题成立，所以为真命题，故D正确．故选BD.
10．已知a>0，函数y＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题中为真命题的是(　　)
A． x∈R，y≤yx＝x0 B． x∈R，y≥yx＝x0
C． x∈R，y≤yx＝x0 D． x∈R，y≥yx＝x0
答案　ABD
解析　由题意，知x0＝－是函数f(x)图象的对称轴方程，因为a>0，所以y x＝x0为函数的最小值，即对所有的实数x，都有y≥y x＝x0，因此A，B，D均为真命题，C为假命题．
11．对下列命题的否定说法正确的是(　　)
A．p：能被2整除的数是偶数；p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；p：所有的三角形不都是正三角形
D．p： n∈N,2n≤100；p： n∈N,2n>100.
答案　ABD
解析　由全称量词命题的否定和存在量词命题的否定，知A，B，D正确；C中p：所有的三角形都不是正三角形，故C错误．
12．命题p：“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a>0”的否定为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a>4 B．a≤4 C．a≥5 D．a<5
答案　AC
解析　由题可知p：“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题，即 x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，故其充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选项可知A，C符合题意．故选AC.
三、填空题
13．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________．
答案　存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3
解析　“任意x∈R”改为“存在x∈R”，“|x－2|＋|x－4|>3”的否定为“|x－2|＋|x－4|≤3”．
14．若命题“ x∈R，x2＋4x＋c≤0”为假命题，则实数c的取值范围是________．
答案　c>4
解析　因为命题“ x∈R，x2＋4x＋c≤0”为假命题，所以该命题的否定“ x∈R，x2＋4x＋c>0”为真命题，故Δ＝42－4×1×c<0.解得c>4.
15．已知命题p：存在k∈R，使得函数y＝(k－3)x＋k的图象不经过定点M，若命题p是假命题，则点M的坐标为________．
答案　(－1,3)
解析　∵p是假命题，∴p是真命题，即对任意k∈R，函数y＝(k－3)x＋k的图象恒过定点M，则M点的坐标为(－1,3)．
16．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.
既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号)．
答案　①②　③④
解析　①是全称量词命题，是真命题；②是全称量词命题，是真命题；③含存在量词“有的”，是存在量词命题，是真命题；④是存在量词命题，是真命题；⑤是存在量词命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.
四、解答题
17．命题p是“对某些实数x，若x－a>0，则x－b≤0”，其中a，b是常数．
(1)写出命题p的否定；
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
解　(1)命题p的否定：对任意实数x，若x－a>0，则x－b>0.
(2)当a，b满足条件b≤a时，命题p的否定为真．
18．已知集合A＝{x|－3≤x≤6}，B＝{x|m＋3≤x≤2m＋4}，且B≠ .
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
解　(1)由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，又B≠ ，所以解得－1≤m≤1.
即m的取值范围是{m|－1≤m≤1}．
(2)q为真，则A∩B≠ ，因为B≠ ，所以m≥－1.
若A∩B＝ ，则m＋3>6或2m＋4<－3，解得m>3或m<－，其补集为－≤m≤3，又因为m≥－1，所以m的取值范围是{m|－1≤m≤3}．
19．已知函数y1＝x，y2＝－2x2－m，若 x1∈{x|－1≤x≤3}， x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．
解　因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，
所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，
又因为 x1∈{x|－1≤x≤3}， x2∈{x|0≤x≤2}，
使得y1≥y2，即y1的最小值大于等于y2的最小值，
即－4－m≤0，解得m≥－4，
所以m的取值范围为{m|m≥－4}．
20．p： x0∈R，使得ax－2x0－1>0成立；q：方程x2＋(a－3)x－a＝0有两个不相等正实根；
(1)写出p；
(2)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
(3)若命题p，q一真一假，求实数a的取值范围．
解　(1)p： x0∈R，使得ax－2x0－1>0成立；
∴p： x∈R，ax2－2x－1≤0成立．
(2)当a≥0时，ax2－2x－1≤0不恒成立．
∴由即解得a≤－1.
∴实数a的取值范围为{a|a≤－1}．
(3)设方程x2＋(a－3)x－a＝0的两个不相等正实根为x1，x2.
命题q为真
解得a<0.
①当p真q假时，则解得a≥0.
②当p假q真时，则解得a≤－1.
∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥0}．