2.6受迫振动 共振 讲义
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2.6 受迫振动 共振
一、考点梳理
考点一、振动中的能量损失
1．对阻尼振动的理解
(1)同一简谐运动能量的大小由振幅的大小确定．
(2)阻尼振动中振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关，阻尼越大，振幅减小得越快．
(3)物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化．例如，用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变．
(4)阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可以把它当作简谐运动来处理．
2．阻尼振动和无阻尼振动的比较
振动类型比较内容 阻尼振动 无阻尼振动
产生条件 受到阻力作用 不受阻力作用或受到阻力作用，但外界补充能量
振幅 如果没有能量补充，物体的振幅会越来越小 振幅不变
振动图像
实例 用锤敲锣，由于锣的振动，发出响亮的锣声，但锣声越来越弱，振幅越来越小，属阻尼振动 弹簧振子的振动，单摆的振动
【典例1】(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是( )
A．单摆的机械能逐渐转化为其他形式的能
B．单摆后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．单摆振幅减小，频率也随着减小
D．单摆振幅虽然减小，但其频率不变
【答案】AD
【解析】单摆做阻尼振动，因不断克服空气阻力做功使机械能转化为其他形式的能，但是在振动过程中，动能和势能仍不断相互转化，单摆在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，后一时刻的动能大于前一时刻的动能，故选项A正确，选项B错误；做阻尼振动的物体，频率由系统的特征决定，与振幅无关，所以其频率不变，选项C错误，选项D正确．
【典例2】(多选)如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是( )
A．摆球在M时刻的动能等于N时刻的动能
B．摆球在M时刻的势能等于N时刻的势能
C．摆球在M时刻的机械能等于N时刻的机械能
D．摆球在M时刻的机械能大于N时刻的机械能
【答案】BD
【解析】单摆做阻尼振动，因此摆球机械能不断减少，选项D正确，C错误；由题图又看出M、N两时刻单摆的位移相同，即在同一位置，摆球势能相同，选项B正确；因摆球机械能越来越小，所以摆球在N时刻动能比M时刻动能小，选项A错误．
练习1、如图所示是单摆做阻尼运动的位移—时间图线，下列说法中正确的是( )
A．摆球在P与N时刻的势能相等
B．摆球在P与N时刻的动能相等
C．摆球在P与N时刻的机械能相等
D．摆球在P时刻的机械能小于N时刻的机械能
【答案】A
【解析】由于摆球的势能大小由其位移和摆球质量共同决定，P、N两时刻位移大小相同，关于平衡位置对称，所以势能相等，A正确；由于系统机械能在减少，P、N时刻势能相同，则P处动能大于N处动能，故B、C、D错．
练习2、在如图所示的振动图像中，在1~3 s的时间范围内，下列时刻中振动物体的动能和势能之和最大的是（ ）
A．1.2 s B．2.0 s
C．2.5 s D．3.0 s
【答案】A
【解析】随着阻力的作用，机械能损失越来越多，故时刻越早，能量越大，故A正确，BCD错误。
考点二、受迫振动和共振
1．受迫振动
系统在驱动力作用下的振动，叫作受迫振动．如收音机喇叭纸盆的振动、钟表的摆动、洗衣机工作时机壳的振动等都是受迫振动．
2．受迫振动的周期和频率
系统做受迫振动时，振动稳定后的频率等于周期性驱动力的频率，跟系统的固有频率无关．
3．共振
振动系统做受迫振动时，驱动力频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫作共振．
注意：固有频率是振动系统不受外力作用时的振动频率．
4．发生共振的条件
驱动力的频率与系统的固有频率相等，即f驱＝f0.
5．共振曲线
如图所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率f.纵坐标为做受迫振动系统的振幅A.
共振曲线直观地反映出驱动力的频率对受迫振动系统振幅的影响，由共振曲线可知，当驱动力的频率与系统的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大．
6．对共振条件的理解
（1）从受力角度来看：驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用次数就越多，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大．
（2）从功能关系来看：当驱动力的频率越接近物体的固有频率时，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大．当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，从而振幅达到最大．
【典例1】(多选)如图所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，摆球质量均相同，其中A、E摆长均为l，先让A摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来，则稳定后( )
A．其他各摆振动周期跟A摆相同
B．其他各摆振动的振幅大小相等
C．其他各摆振动的振幅大小不同，E摆的振幅最大
D．B、C、D三摆振动的振幅大小不同，B摆的振幅最小
【答案】ACD
【解析】A摆振动后迫使水平绳振动，水平绳又迫使B、C、D、E四摆做受迫振动，由于物体做受迫振动的周期总是等于驱动力的周期，因此B、C、D、E四摆的周期跟A摆相同．驱动力的频率等于A摆的固有频率fA＝＝，其余四摆的固有频率与驱动力的频率关系：
fB＝≈1.41fA，fC＝≈0.82fA，
fD＝≈0.71fA，fE＝＝fA.
可见只有E摆的固有频率与驱动力的频率相等，它发生共振现象，其振幅最大，B、C、D三个摆均不发生共振，振幅各异，其中B摆的固有频率与驱动力的频率相差最大，所以它的振幅最小．
【典例2】(多选)如图所示，在一条张紧的绳上挂7个摆，摆球质量均相同，先让A摆振动起来，则其余各摆也随之振动．已知A、B、F三摆的摆长相同，则下列判断正确的是( )
A．7个摆的固有频率都相同
B．振动稳定后7个摆的振动频率都相同
C．B、F摆的摆长与A摆相同，它们的振幅最大
D．除A摆外，D、E摆离A摆最近，它们的振幅最大
【答案】BC
【解析】7个摆的摆长不完全相同，固有频率不完全相同，选项A错误；A摆振动起来后，带动其余6个摆做受迫振动，振动稳定后7个摆的振动频率都相同，选项B正确；B、F摆的摆长与A摆相同，发生共振，振幅最大，选项C正确，D错误．
【典例3】(多选)如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是( )
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比lⅠ∶lⅡ＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该摆摆长约为1 m
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的
【答案】ABC
【解析】受迫振动的频率与固有频率无关，但当驱动力的频率与物体固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，所以，可以根据物体做受迫振动的共振曲线判断出物体的固有频率．根据单摆振动周期公式T＝2π，可以得到单摆固有频率为f＝＝，根据图像中f的信息可以推断摆长或重力加速度的变化情况．图像中振幅最大处对应频率应与该单摆的固有频率相等，从图像上可以看出，固有频率fⅠ＝0.2 Hz，fⅡ＝0.5 Hz.当单摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据公式f＝＝可知，g越大，f也越大，所以gⅡ＞gⅠ，又因为g地＞g月，可以推知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，所以A正确；若两次受迫振动在地球上同一地点进行，g相同，摆长长的f小，且有＝＝.所以lⅠ∶lⅡ＝25∶4，B正确；由地面上的受迫振动共振图线，可知fⅡ＝＝0.5 Hz，g＝9.8 m/s2，可以计算出lⅡ＝1 m，所以C正确，D错误．
练习1、(多选)有甲、乙、丙三个质量相同的单摆，它们的固有频率分别为f、4f、6f，都在频率为4f的同一驱动力作用下做受迫振动，比较这三个单摆( )
A．乙的振幅最大，丙的其次，甲的最小
B．乙的振幅最大，甲的其次，丙的最小
C．它们的振动频率都是4f
D．乙的振动频率是4f，甲和丙的振动频率分别是固有频率和驱动频率的合成
【答案】AC
【解析】受迫振动的频率等于驱动力的频率，当系统的固有频率等于驱动力的频率时，系统达到共振，振幅最大，所以A、C正确，B、D错误．
练习2、如图所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅是多大？共振时摆球的最大速度和摆球振动的最大加速度各为多少？(g取10 m/s2，π2＝10)
【答案】1 m 8 cm 0.25 m/s 0.8 m/s2
【解析】由共振曲线可知，单摆的固有频率f＝0.5 Hz，因为f＝，所以l＝，代入数据解得l＝1 m.
由共振曲线可知，单摆发生共振时，振幅为Amax＝8 cm.设单摆的最大偏角为θ，摆球所能达到的最大高度为h，由机械能守恒定律得mv＝mgh，又h＝l(1－cos θ)，当θ很小时，1－cos θ＝2sin2＝，解得vmax＝＝0.25 m/s.
摆球在最大位移处加速度最大，有mgsin θ＝mamax，即amax＝gsin θ＝g，代入数据解得amax＝0.8 m/s2.
练习3、物体做受迫振动，驱动力的频率小于物体的固有频率，则当驱动力的频率逐渐增大的过程中，物体的振幅将( )
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【解析】C 当驱动力的频率f等于物体的固有频率f0时，系统发生共振，振幅最大，当f＜f0时，随f的增大，振幅增大，当f＞f0时，随f的增大，振幅减小，如图所示．由于驱动力的频率小于物体的固有频率，因此当驱动力的频率增大时，物体的振幅先增大后减小．选项C正确．
考点三、简谐运动、阻尼振动和受迫振动
1．三种振动的理解
(1)简谐运动是一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑．
(2)阻尼振动考虑阻力的影响，是更实际的一种运动．
(3)受迫振动是物体做阻尼振动时受到周期性驱动力作用下的振动．
2．三种振动的比较
振动类型比较项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 共振
受力情况 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用 受阻力和驱动力作用，且T驱=T固
振幅 振幅不变 振幅会越来越小 稳定后振幅不变 振幅最大
频率 固有频率 频率不变 由驱动力的频率决定 T驱=T固或f驱=f固
振动图象 形状不确定 形状不确定
振动能量 振动系统机械能不变 振动系统机械能减少 由产生驱动力的物体提供 振动系统获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆 敲锣打鼓时发出的声音越来越弱 机器运转时底座发生的振动 共振筛、共振转速计等
【典例1】(多选)如图所示为一个弹簧振子做受迫振动时振幅与驱动力频率之间的关系图像，由图可知( )
A．让振子自由振动，它的频率可以为f1、f2、f3
B．驱动力频率为f2时，振子处于共振状态
C．驱动力频率为f3时，振子的振动频率为f3
D．假如让振子自由振动，它的频率是f2
【答案】BCD
【解析】由题意可知，当驱动力的频率变化时，做受迫振动的弹簧振子的振幅在变化，当驱动力频率为f2时，受迫振动的振幅最大，即发生共振，B正确；弹簧振子做受迫振动的频率等于驱动力的频率，C正确；假如让振子自由振动，其频率为固有频率，由系统本身决定，应为f2，故A错误，D正确．
【典例2】如图所示是一个单摆的共振曲线．
(1)若单摆所处的环境重力加速度g取9.8 m/s2，试求此摆的摆长．
(2)若将此单摆移到高山上，共振曲线的“峰”将怎样移动？
【答案】 (1)2.8 m (2)峰将向左移【解析】 (1)由图像可知，单摆的固有频率f＝0.3 Hz，由频率公式f＝，得l＝＝ m＝2.8 m.
(2)由f＝知，单摆移到高山上，重力加速度g减少，其固有频率减小，故共振曲线的“峰”向左移．
练习1、如图所示，在曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．开始时不转动摇把，让振子自由上下振动，测得其频率为2 Hz，然后以60 r/min的转速匀速转动摇把，当振子振动稳定时，它的振动周期为( )
A．0.25 s B．0.5 s
C．1 s D．2 s
【答案】C
【解析】弹簧振子受摇把的作用而振动，做受迫振动，所以其振动的周期等于驱动力的周期，故正确答案为C.
练习2、(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是( )
A．振动的机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
【答案】AD
【解析】单摆振动过程中，会不断克服空气阻力做功使机械能逐渐减小，A、D对；虽然单摆总的机械能在逐渐减少，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化．动能转化为势能时，动能逐渐减少，势能逐渐增加，而势能转化为动能时，势能逐渐减少，动能逐渐增加，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)．
练习3、如图所示，把两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，则________(选填“甲”或“乙”)的振幅较大，甲振动频率是________ Hz，乙振动频率是________ Hz.
【答案】甲 9 9
【解析】根据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大，受迫振动的频率等于驱动力的频率，故甲、乙振动的频率均等于9 Hz.
二、夯实小练
1、正在运转的洗衣机，当其脱水桶转得很快时，机器的振动并不强烈，切断电源，转动逐渐停下来，到某一时刻t，机器反而会发生强烈的振动．此后脱水桶转速继续变慢，机身的振动也随之减弱，这种现象说明
A．在t时刻脱水桶的惯性最大
B．在t时刻脱水桶的转动频率最大
C．在t时刻洗衣机发生共振
D．纯属偶然现象，并无规律
【答案】C
【解析】A．惯性是物体本身的性质，只与物体的质量有关，故A错误；
B．切断电源，转动逐渐停下来，所以转动频率减小，故B错误；
CD．当驱动力的频率与固有频率相等时振幅最大，所以在t时刻洗衣机发生共振，故C正确，D错误。
2、在学到《机械振动与机械波》时，四位同学就自己看到的现象，发表自己的观点．
小张说：医生用听诊器是利用了固体可以传递机械波
小王说：军队过桥时不能齐步走，就是因为怕产生共振，损坏了桥，火车过桥时要减速，也是同样的道理
小赵说：树叶在水面上下振动说明，介质并不随机械波向外传递
小李说：我家的木板门，春夏季听不到响声，一到秋冬季节，就开始嘭嘭作响，这是风吹振动的
让你从物理学的角度来看，你认为谁说错？（）
A．小张说的对 B．小王说的对 C．小赵说的对 D．小李说的对
【答案】D
【解析】A．由物理学的知识知医生用听诊器是利用了固体可以传递机械波，选项A不符合题意；
B．军队过桥时不能齐步走，就是因为怕产生共振，损坏了桥，火车过桥时要减速，也是同样的道理，选项B不符合题意；
C．树叶在水面上下振动说明，介质并不随机械波向外传递，C不符合题意；
D．我家的木板门，春夏季听不到响声，一到秋冬季节，就开始嘭嘭作响，我认为是共鸣，D符合题意．
3、蜘蛛会根据丝网的振动情况感知是否有昆虫“落网”，若丝网的固有频率为200Hz，下列说法正确的是（ ）
A．“落网”昆虫翅膀振动的频率越大，丝网的振幅越大
B．当“落网”昆虫翅膀振动的频率低于200Hz时，丝网不振动
C．当“落网”昆虫翅膀振动的周期为0.005s时，丝网的振幅最大
D．昆虫“落网”时，丝网振动的频率由丝网的固有频率决定
【答案】C
【解析】ABC．当“落网”昆虫翅膀振动的频率接近丝网的固有频率时，丝网的振幅最大，根据频率和周期的关系式，可知
故AB错误；C正确；
D．昆虫“落网”时，丝网做受迫振动，其振动频率由驱动力的频率决定，即由落网昆虫翅膀振动的频率决定。故D错误。
4、下列说法与振动有关，其中正确的是（ ）
A．周期是1秒的单摆叫秒摆
B．摆钟走得快了必须调短摆长，才可能使其走时准确
C．挑水时为了防止水从桶中荡出，可以加快或减慢走路的频率
D．在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象
【答案】C
【解析】A．周期是2秒的单摆叫秒摆，故A错误；
B．根据单摆周期公式知摆钟走得快了说明周期变小，必须调长摆长，才可能使其走时准确，故B错误；
C．挑水的人由于行走，使扁担和水桶上下振动，当扁担与水桶振动的固有频率等于人迈步的频率时，发生共振，结果水桶中的水溢出。为了防止水从水桶中荡出，可以加快或减慢走路的步频。故C正确；
D．小船受到海浪的冲击上下振动，是受迫振动。故D错误。
5、如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．开始时不转动摇把，让振子上下自由振动，测得振动频率为2 Hz，然后匀速转动摇把，转速为240 r/min，当振子振动稳定后，它的振动周期为( )
A. s B. s
C．2 s D．4 s
答案：B
解析：受迫振动的周期等于驱动力的周期，故T＝ s＝ s．
6、（多选）一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小．下列说法正确的是( )
A．机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
【答案】AD
【解析】单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功，使机械能逐渐转化为内能，选项A和D对；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化，动能转化为势能时，动能逐渐减小，势能逐渐增大，而势能转化为动能时，势能逐渐减小，动能逐渐增大，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)，故选项B、C不对．
7、(多选)如图所示是一弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系，由图可知( )
A．驱动力的频率为f2时，振子处于共振状态
B．驱动力的频率为f3时，振子的振动频率为f3
C．假如让振子自由振动，它的频率为f2
D．振子做自由振动时，频率可以为f1、f2和f3
【答案】ABC
【解析】由题图知，当驱动力频率为f2时，振子的振幅最大，可确定振子的固有频率为f2，当振子自由振动时其频率为固有频率，故选项A、C正确，D错误；由受迫振动的特点可知选项B正确。
8、（多选）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图所示，近似取π2=10，则（ ）
A．此单摆的固有周期为0.5s
B．此单摆的摆长为1m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动
【答案】BD
【解析】A．当驱动力频率和单摆的固有频率相等时，发生共振，振幅最大，则此单摆的固有周期为
故A错误；
B．根据单摆周期公式知此单摆的摆长为1m。故B正确；
C．根据单摆周期公式知若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小。故C错误；
D．若摆长增大，单摆的固有频率减小，共振曲线的峰将向左移动。故D正确。
9、一单摆的共振曲线如图所示，则该单摆的摆长约为多少？共振时摆球的最大速度大小是多少？(g取10 m/s2)
【答案】1 m 0.25 m/s
【解析】由题意知，当单摆共振时频率f＝0.5 Hz，
即f固＝f＝0.5 Hz，由T＝＝2π得
l＝＝ m≈1 m，
根据单摆运动过程中机械能守恒可得
mv＝mgl(1－cosθm)。
其中1－cosθm＝2sin2 ＝(θm很小)，
最大速度vm＝A＝0.25 m/s。
10、如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中。当圆盘静止时，让小球在水中振动，球将做阻尼振动。现使圆盘以不同的频率振动，测得共振曲线如图乙所示。(g＝9.86 m/s2，π＝3.14)
(1)当圆盘以0.4 s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定，它振动的频率是多少？
(2)若一个单摆的摆动周期与球做阻尼振动的周期相同，该单摆的摆长约为多少？(结果保留三位有效数字)
【答案】(1)2.5 Hz (2)2.78 m
【解析】(1)小球振动达到稳定时周期为0.4 s，频率为2.5 Hz。
(2)由题图图象可以看出单摆的固有频率为0.3 Hz，周期为 s，
由单摆的周期公式T＝2π，解得l＝＝× m≈2.78 m。
三、培优练习
1、(多选)下列说法正确的是( )
A.在同一地点，单摆做简谐运动的周期与其摆长成正比
B．弹簧振子做简谐运动时，振动系统的势能与动能之和保持不变
C．弹簧振子做简谐运动时，弹簧的劲度系数越大，弹簧振子做简谐运动的周期越大
D．系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率
E．已知弹簧振子初始时刻的位置、振幅及周期，仍不能确定振子在任意时刻的位置
【答案】BDE
【解析】根据单摆的周期公式，得；在同一地点，g一定，则知与L成正比，即单摆做简谐运动的周期的平方与其摆长成正比，故A错误。弹簧振子做简谐运动时，振动系统的机械能守恒，即振动系统的势能与动能之和保持不变，故B正确。根据弹簧振子的周期公式可知，弹簧的劲度系数越大，弹簧振子做简谐振动的周期越小，故C错误。系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率，与固有频率无关，故D正确。振子在同一位置振动方向有两种，所以已知弹簧振子初始时刻的位置、振幅及周期，不知道初始时刻振子的振动方向，仍不能确定振子在任意时刻的位置，故E正确。故选BDE。
2、如图所示，物体静止于水平面上的O点，这时弹簧恰为原长l0，物体的质量为m，与水平面间的动摩擦因数为μ，现将物体向右拉一段距离后自由释放，使之沿水平面振动，下列结论正确的是( )
A．物体通过O点时所受的合外力为零
B．物体将做阻尼振动
C．物体最终只能停止在O点
D．物体停止运动后所受的摩擦力为μmg
【答案】B
【解析】物体通过O点时弹簧的弹力为零，但摩擦力不为零，选项A错误；
物体振动时要克服摩擦力做功，机械能减少，振幅减小，做阻尼振动，选项B正确；
物体最终停止的位置可能在O点也可能不在O点．若停在O点摩擦力为零，若不在O点，摩擦力和弹簧的弹力平衡，停止运动时物体所受的摩擦力不一定为μmg，选项C、D错误．
3、(多选)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上安一个电动偏心轮，它每转一周给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示．筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s，在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min.已知增大电压可使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期．那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是( )
A．提高输入电压 B．降低输入电压
C．增加筛子质量 D．减小筛子质量
【答案】AC
【解析】在题给条件下，筛子振动的固有周期T固＝ s＝1.5 s，电动偏心轮的转动周期(对筛子来说是驱动力的周期)T驱＝ s≈1.67 s．要使筛子振幅增大，就得使这两个周期值靠近，可采用两种做法：第一，提高输入电压使偏心轮转得快一些，减小驱动力的周期；第二，增加筛子的质量使筛子的固有周期增大一些．正确选项为A、C.
4、(多选)某简谐振子，自由振动时的振动图象如图甲中实线所示，而在某驱动力作用下做受迫振动时，稳定后的振动图象如图甲中虚线所示，那么，此受迫振动对应的状态可能是图乙中的(图乙为该简谐振子的共振曲线)( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．一定不是c点
【答案】AD
【解析】某简谐振子，设自由振动时的振动周期为T1，在某驱动力作用下做受迫振动时的周期为T2，显然T1f2.题图乙中c点对应的是发生共振时驱动力的频率，其等于固有频率f1；当受迫振动时，驱动力频率为f25、一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的摆长约为1 m
B．此单摆的固有周期约为0.5 s
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰值将向右移动
【答案】A
【解析】由图可知，此单摆的固有频率为0.5 Hz，则周期为2 s，由公式T＝2π，可得L≈1 m，故A正确，B错误；
若摆长增大，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，故C、D错误．
6、(多选)如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是( )
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比lⅠ∶lⅡ＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该摆摆长约为1 m(取≈π)
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的
【答案】ABC
【解析】若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，因为图线Ⅰ单摆的固有频率较小，则固有周期较大，根据T＝2π知，周期大的重力加速度小，则图线Ⅰ是月球上单摆的共振曲线，故A正确；
若两次受迫振动均在地球上同一地点进行的，则重力加速度相等，因为固有频率比为2∶5，则固有周期比为5∶2，根据T＝2π，知摆长比为25∶4，故B正确；图线Ⅱ若是在地球表面上完成的，则固有频率为0.5 Hz，则T＝2π＝2，解得L＝1 m，故C正确，D错误．
7、一个单摆做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力的频率f的关系）如图所示，则（ ）
A．此单摆的固有周期约为0.5s
B．此单摆的摆长约为2m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若将此单摆由山脚移至山顶，共振曲线的峰将略微向左移动
【答案】D
【解析】A．当驱动力的频率接近固有频率时，振动的幅度最大，此时达到共振，由图象可知固有频率为0.5Hz，故有周期为2s，A错误；
B．根据
将单摆的振动周期为2s代入，可得摆长
B错误；
C．若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，C错误；
D．由于山顶处重力加速度减小， 若将此单摆由山脚移至山顶，单摆的振动周期变大，振动频率减小，共振曲线的峰将略微向左移动，D正确。
8、如图所示，一质量为m的矩形线框abcd被一轻质弹簧竖直悬挂起来，弹簧上端固定，可看作弹簧振子。bc边长为L，处于垂直纸面向里的匀强磁场中，abcd回路的总电阻为R。在外力作用下线框在竖直平面内做简谐运动，运动的周期与弹簧振子的固有周期相同，振幅为A，弹簧的劲度系数为k。线框在运动过程中，bc边始终在磁场中，ad边始终在磁场外，弹簧始终在弹性限度内。已知弹簧振子的振动周期公式为，其中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数，下列说法正确的是（ ）
A．线框振动到平衡位置时，弹簧伸长量一定为
B．线框振动到平衡位置时，弹簧可能处于原长
C．假如撤去外力的话，线框继续做简谐运动
D．由题目给出的信息，无法计算出一个完整的周期内外力做功的大小
【答案】A
【解析】AB．线框振动过程中，由于线框的运动的周期与弹簧振子的固有周期相同，则有线框受到的安培力与作用于线框的外力大小相等，方向相反，线框向下振动到平衡位置时，合外力为零，速度最大，则有
解得线框振动到平衡位置时，弹簧伸长量为
故A正确，B错误；
C．假如撤去外力，线框受到的安培力方向与运动方向总相反，安培力是阻力，线框的振动为阻尼振动，所以线框不可能做简谐运动，故C错误；
D．线框振动过程中，振幅为，从平衡位置开始计时，做简谐运动的线框的位移随时间变化的表达式为
线框运动的速度为
边切割磁感线运动产生的感应电动势为
在一个完整的周期内，线框产生的焦耳热为
线框受到的安培力与作用于线框的外力大小相等，方向相反，则有外力做功的大小等于克服线框安培力做的功，所以一个完整的周期内外力做功的大小
故D错误；
9、汽车的重力一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数k＝1.5×105 N/m.汽车开始运动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f＝(l为静止时弹簧的压缩长度)．若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz，已知汽车的质量为600 kg，每个人的质量为70 kg，则这辆车乘坐几个人时，人感到最难受？
【答案】5人
【解析】人体的固有频率f固＝2 Hz，当汽车的振动频率与其相等时，人体与之发生共振，人感觉最难受，即f＝＝f固，得l＝
代入数据，得l＝0.062 5 m，
l为静止时弹簧的压缩长度，则kl＝(m1＋nm2)g
n＝＝＝5(人)
10、如图所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅是多大？共振时摆球的最大速度和摆球振动的最大加速度各为多少？(g取10 m/s2，π2＝10)
【答案】1 m 8 cm 0.25 m/s 0.8 m/s2
【解析】由共振曲线可知，单摆的固有频率f＝0.5 Hz，因为f＝，所以l＝，代入数据解得l＝1 m．
由共振曲线可知，单摆发生共振时，振幅为Amax＝8 cm．设单摆的最大偏角为θ，摆球所能达到的最大高度为h，由机械能守恒定律得mv＝mgh，又h＝l(1－cos θ)，当θ很小时，1－cos θ＝2sin2＝，解得vmax＝＝0.25 m/s．
摆球在最大位移处加速度最大，有mgsin θ＝mamax，即amax＝gsin θ＝g，代入数据解得amax＝0.8 m/s2．
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2.6 受迫振动 共振
一、考点梳理
考点一、振动中的能量损失
1．对阻尼振动的理解
(1)同一简谐运动能量的大小由振幅的大小确定．
(2)阻尼振动中振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关，阻尼越大，振幅减小得越快．
(3)物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化．例如，用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变．
(4)阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可以把它当作简谐运动来处理．
2．阻尼振动和无阻尼振动的比较
振动类型比较内容 阻尼振动 无阻尼振动
产生条件 受到阻力作用 不受阻力作用或受到阻力作用，但外界补充能量
振幅 如果没有能量补充，物体的振幅会越来越小 振幅不变
振动图像
实例 用锤敲锣，由于锣的振动，发出响亮的锣声，但锣声越来越弱，振幅越来越小，属阻尼振动 弹簧振子的振动，单摆的振动
【典例1】(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是( )
A．单摆的机械能逐渐转化为其他形式的能
B．单摆后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．单摆振幅减小，频率也随着减小
D．单摆振幅虽然减小，但其频率不变
【答案】AD
【解析】单摆做阻尼振动，因不断克服空气阻力做功使机械能转化为其他形式的能，但是在振动过程中，动能和势能仍不断相互转化，单摆在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，后一时刻的动能大于前一时刻的动能，故选项A正确，选项B错误；做阻尼振动的物体，频率由系统的特征决定，与振幅无关，所以其频率不变，选项C错误，选项D正确．
【典例2】(多选)如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是( )
A．摆球在M时刻的动能等于N时刻的动能
B．摆球在M时刻的势能等于N时刻的势能
C．摆球在M时刻的机械能等于N时刻的机械能
D．摆球在M时刻的机械能大于N时刻的机械能
【答案】BD
【解析】单摆做阻尼振动，因此摆球机械能不断减少，选项D正确，C错误；由题图又看出M、N两时刻单摆的位移相同，即在同一位置，摆球势能相同，选项B正确；因摆球机械能越来越小，所以摆球在N时刻动能比M时刻动能小，选项A错误．
练习1、如图所示是单摆做阻尼运动的位移—时间图线，下列说法中正确的是( )
A．摆球在P与N时刻的势能相等
B．摆球在P与N时刻的动能相等
C．摆球在P与N时刻的机械能相等
D．摆球在P时刻的机械能小于N时刻的机械能
【答案】A
【解析】由于摆球的势能大小由其位移和摆球质量共同决定，P、N两时刻位移大小相同，关于平衡位置对称，所以势能相等，A正确；由于系统机械能在减少，P、N时刻势能相同，则P处动能大于N处动能，故B、C、D错．
练习2、在如图所示的振动图像中，在1~3 s的时间范围内，下列时刻中振动物体的动能和势能之和最大的是（ ）
A．1.2 s B．2.0 s
C．2.5 s D．3.0 s
【答案】A
【解析】随着阻力的作用，机械能损失越来越多，故时刻越早，能量越大，故A正确，BCD错误。
考点二、受迫振动和共振
1．受迫振动
系统在驱动力作用下的振动，叫作受迫振动．如收音机喇叭纸盆的振动、钟表的摆动、洗衣机工作时机壳的振动等都是受迫振动．
2．受迫振动的周期和频率
系统做受迫振动时，振动稳定后的频率等于周期性驱动力的频率，跟系统的固有频率无关．
3．共振
振动系统做受迫振动时，驱动力频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫作共振．
注意：固有频率是振动系统不受外力作用时的振动频率．
4．发生共振的条件
驱动力的频率与系统的固有频率相等，即f驱＝f0.
5．共振曲线
如图所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率f.纵坐标为做受迫振动系统的振幅A.
共振曲线直观地反映出驱动力的频率对受迫振动系统振幅的影响，由共振曲线可知，当驱动力的频率与系统的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大．
6．对共振条件的理解
（1）从受力角度来看：驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用次数就越多，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大．
（2）从功能关系来看：当驱动力的频率越接近物体的固有频率时，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大．当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，从而振幅达到最大．
【典例1】(多选)如图所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，摆球质量均相同，其中A、E摆长均为l，先让A摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来，则稳定后( )
A．其他各摆振动周期跟A摆相同
B．其他各摆振动的振幅大小相等
C．其他各摆振动的振幅大小不同，E摆的振幅最大
D．B、C、D三摆振动的振幅大小不同，B摆的振幅最小
【答案】ACD
【解析】A摆振动后迫使水平绳振动，水平绳又迫使B、C、D、E四摆做受迫振动，由于物体做受迫振动的周期总是等于驱动力的周期，因此B、C、D、E四摆的周期跟A摆相同．驱动力的频率等于A摆的固有频率fA＝＝，其余四摆的固有频率与驱动力的频率关系：
fB＝≈1.41fA，fC＝≈0.82fA，
fD＝≈0.71fA，fE＝＝fA.
可见只有E摆的固有频率与驱动力的频率相等，它发生共振现象，其振幅最大，B、C、D三个摆均不发生共振，振幅各异，其中B摆的固有频率与驱动力的频率相差最大，所以它的振幅最小．
【典例2】(多选)如图所示，在一条张紧的绳上挂7个摆，摆球质量均相同，先让A摆振动起来，则其余各摆也随之振动．已知A、B、F三摆的摆长相同，则下列判断正确的是( )
A．7个摆的固有频率都相同
B．振动稳定后7个摆的振动频率都相同
C．B、F摆的摆长与A摆相同，它们的振幅最大
D．除A摆外，D、E摆离A摆最近，它们的振幅最大
【答案】BC
【解析】7个摆的摆长不完全相同，固有频率不完全相同，选项A错误；A摆振动起来后，带动其余6个摆做受迫振动，振动稳定后7个摆的振动频率都相同，选项B正确；B、F摆的摆长与A摆相同，发生共振，振幅最大，选项C正确，D错误．
【典例3】(多选)如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是( )
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比lⅠ∶lⅡ＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该摆摆长约为1 m
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的
【答案】ABC
【解析】受迫振动的频率与固有频率无关，但当驱动力的频率与物体固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，所以，可以根据物体做受迫振动的共振曲线判断出物体的固有频率．根据单摆振动周期公式T＝2π，可以得到单摆固有频率为f＝＝，根据图像中f的信息可以推断摆长或重力加速度的变化情况．图像中振幅最大处对应频率应与该单摆的固有频率相等，从图像上可以看出，固有频率fⅠ＝0.2 Hz，fⅡ＝0.5 Hz.当单摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据公式f＝＝可知，g越大，f也越大，所以gⅡ＞gⅠ，又因为g地＞g月，可以推知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，所以A正确；若两次受迫振动在地球上同一地点进行，g相同，摆长长的f小，且有＝＝.所以lⅠ∶lⅡ＝25∶4，B正确；由地面上的受迫振动共振图线，可知fⅡ＝＝0.5 Hz，g＝9.8 m/s2，可以计算出lⅡ＝1 m，所以C正确，D错误．
练习1、(多选)有甲、乙、丙三个质量相同的单摆，它们的固有频率分别为f、4f、6f，都在频率为4f的同一驱动力作用下做受迫振动，比较这三个单摆( )
A．乙的振幅最大，丙的其次，甲的最小
B．乙的振幅最大，甲的其次，丙的最小
C．它们的振动频率都是4f
D．乙的振动频率是4f，甲和丙的振动频率分别是固有频率和驱动频率的合成
【答案】AC
【解析】受迫振动的频率等于驱动力的频率，当系统的固有频率等于驱动力的频率时，系统达到共振，振幅最大，所以A、C正确，B、D错误．
练习2、如图所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅是多大？共振时摆球的最大速度和摆球振动的最大加速度各为多少？(g取10 m/s2，π2＝10)
【答案】1 m 8 cm 0.25 m/s 0.8 m/s2
【解析】由共振曲线可知，单摆的固有频率f＝0.5 Hz，因为f＝，所以l＝，代入数据解得l＝1 m.
由共振曲线可知，单摆发生共振时，振幅为Amax＝8 cm.设单摆的最大偏角为θ，摆球所能达到的最大高度为h，由机械能守恒定律得mv＝mgh，又h＝l(1－cos θ)，当θ很小时，1－cos θ＝2sin2＝，解得vmax＝＝0.25 m/s.
摆球在最大位移处加速度最大，有mgsin θ＝mamax，即amax＝gsin θ＝g，代入数据解得amax＝0.8 m/s2.
练习3、物体做受迫振动，驱动力的频率小于物体的固有频率，则当驱动力的频率逐渐增大的过程中，物体的振幅将( )
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【解析】C 当驱动力的频率f等于物体的固有频率f0时，系统发生共振，振幅最大，当f＜f0时，随f的增大，振幅增大，当f＞f0时，随f的增大，振幅减小，如图所示．由于驱动力的频率小于物体的固有频率，因此当驱动力的频率增大时，物体的振幅先增大后减小．选项C正确．
考点三、简谐运动、阻尼振动和受迫振动
1．三种振动的理解
(1)简谐运动是一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑．
(2)阻尼振动考虑阻力的影响，是更实际的一种运动．
(3)受迫振动是物体做阻尼振动时受到周期性驱动力作用下的振动．
2．三种振动的比较
振动类型比较项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 共振
受力情况 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用 受阻力和驱动力作用，且T驱=T固
振幅 振幅不变 振幅会越来越小 稳定后振幅不变 振幅最大
频率 固有频率 频率不变 由驱动力的频率决定 T驱=T固或f驱=f固
振动图象 形状不确定 形状不确定
振动能量 振动系统机械能不变 振动系统机械能减少 由产生驱动力的物体提供 振动系统获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆 敲锣打鼓时发出的声音越来越弱 机器运转时底座发生的振动 共振筛、共振转速计等
【典例1】(多选)如图所示为一个弹簧振子做受迫振动时振幅与驱动力频率之间的关系图像，由图可知( )
A．让振子自由振动，它的频率可以为f1、f2、f3
B．驱动力频率为f2时，振子处于共振状态
C．驱动力频率为f3时，振子的振动频率为f3
D．假如让振子自由振动，它的频率是f2
【答案】BCD
【解析】由题意可知，当驱动力的频率变化时，做受迫振动的弹簧振子的振幅在变化，当驱动力频率为f2时，受迫振动的振幅最大，即发生共振，B正确；弹簧振子做受迫振动的频率等于驱动力的频率，C正确；假如让振子自由振动，其频率为固有频率，由系统本身决定，应为f2，故A错误，D正确．
【典例2】如图所示是一个单摆的共振曲线．
(1)若单摆所处的环境重力加速度g取9.8 m/s2，试求此摆的摆长．
(2)若将此单摆移到高山上，共振曲线的“峰”将怎样移动？
【答案】 (1)2.8 m (2)峰将向左移【解析】 (1)由图像可知，单摆的固有频率f＝0.3 Hz，由频率公式f＝，得l＝＝ m＝2.8 m.
(2)由f＝知，单摆移到高山上，重力加速度g减少，其固有频率减小，故共振曲线的“峰”向左移．
练习1、如图所示，在曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．开始时不转动摇把，让振子自由上下振动，测得其频率为2 Hz，然后以60 r/min的转速匀速转动摇把，当振子振动稳定时，它的振动周期为( )
A．0.25 s B．0.5 s
C．1 s D．2 s
【答案】C
【解析】弹簧振子受摇把的作用而振动，做受迫振动，所以其振动的周期等于驱动力的周期，故正确答案为C.
练习2、(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是( )
A．振动的机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
【答案】AD
【解析】单摆振动过程中，会不断克服空气阻力做功使机械能逐渐减小，A、D对；虽然单摆总的机械能在逐渐减少，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化．动能转化为势能时，动能逐渐减少，势能逐渐增加，而势能转化为动能时，势能逐渐减少，动能逐渐增加，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)．
练习3、如图所示，把两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，则________(选填“甲”或“乙”)的振幅较大，甲振动频率是________ Hz，乙振动频率是________ Hz.
【答案】甲 9 9
【解析】根据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大，受迫振动的频率等于驱动力的频率，故甲、乙振动的频率均等于9 Hz.
二、夯实小练
1、正在运转的洗衣机，当其脱水桶转得很快时，机器的振动并不强烈，切断电源，转动逐渐停下来，到某一时刻t，机器反而会发生强烈的振动．此后脱水桶转速继续变慢，机身的振动也随之减弱，这种现象说明
A．在t时刻脱水桶的惯性最大
B．在t时刻脱水桶的转动频率最大
C．在t时刻洗衣机发生共振
D．纯属偶然现象，并无规律
【答案】C
【解析】A．惯性是物体本身的性质，只与物体的质量有关，故A错误；
B．切断电源，转动逐渐停下来，所以转动频率减小，故B错误；
CD．当驱动力的频率与固有频率相等时振幅最大，所以在t时刻洗衣机发生共振，故C正确，D错误。
2、在学到《机械振动与机械波》时，四位同学就自己看到的现象，发表自己的观点．
小张说：医生用听诊器是利用了固体可以传递机械波
小王说：军队过桥时不能齐步走，就是因为怕产生共振，损坏了桥，火车过桥时要减速，也是同样的道理
小赵说：树叶在水面上下振动说明，介质并不随机械波向外传递
小李说：我家的木板门，春夏季听不到响声，一到秋冬季节，就开始嘭嘭作响，这是风吹振动的
让你从物理学的角度来看，你认为谁说错？（）
A．小张说的对 B．小王说的对 C．小赵说的对 D．小李说的对
【答案】D
【解析】A．由物理学的知识知医生用听诊器是利用了固体可以传递机械波，选项A不符合题意；
B．军队过桥时不能齐步走，就是因为怕产生共振，损坏了桥，火车过桥时要减速，也是同样的道理，选项B不符合题意；
C．树叶在水面上下振动说明，介质并不随机械波向外传递，C不符合题意；
D．我家的木板门，春夏季听不到响声，一到秋冬季节，就开始嘭嘭作响，我认为是共鸣，D符合题意．
3、蜘蛛会根据丝网的振动情况感知是否有昆虫“落网”，若丝网的固有频率为200Hz，下列说法正确的是（ ）
A．“落网”昆虫翅膀振动的频率越大，丝网的振幅越大
B．当“落网”昆虫翅膀振动的频率低于200Hz时，丝网不振动
C．当“落网”昆虫翅膀振动的周期为0.005s时，丝网的振幅最大
D．昆虫“落网”时，丝网振动的频率由丝网的固有频率决定
【答案】C
【解析】ABC．当“落网”昆虫翅膀振动的频率接近丝网的固有频率时，丝网的振幅最大，根据频率和周期的关系式，可知
故AB错误；C正确；
D．昆虫“落网”时，丝网做受迫振动，其振动频率由驱动力的频率决定，即由落网昆虫翅膀振动的频率决定。故D错误。
4、下列说法与振动有关，其中正确的是（ ）
A．周期是1秒的单摆叫秒摆
B．摆钟走得快了必须调短摆长，才可能使其走时准确
C．挑水时为了防止水从桶中荡出，可以加快或减慢走路的频率
D．在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象
【答案】C
【解析】A．周期是2秒的单摆叫秒摆，故A错误；
B．根据单摆周期公式知摆钟走得快了说明周期变小，必须调长摆长，才可能使其走时准确，故B错误；
C．挑水的人由于行走，使扁担和水桶上下振动，当扁担与水桶振动的固有频率等于人迈步的频率时，发生共振，结果水桶中的水溢出。为了防止水从水桶中荡出，可以加快或减慢走路的步频。故C正确；
D．小船受到海浪的冲击上下振动，是受迫振动。故D错误。
5、如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．开始时不转动摇把，让振子上下自由振动，测得振动频率为2 Hz，然后匀速转动摇把，转速为240 r/min，当振子振动稳定后，它的振动周期为( )
A. s B. s
C．2 s D．4 s
答案：B
解析：受迫振动的周期等于驱动力的周期，故T＝ s＝ s．
6、（多选）一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小．下列说法正确的是( )
A．机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
【答案】AD
【解析】单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功，使机械能逐渐转化为内能，选项A和D对；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化，动能转化为势能时，动能逐渐减小，势能逐渐增大，而势能转化为动能时，势能逐渐减小，动能逐渐增大，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)，故选项B、C不对．
7、(多选)如图所示是一弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系，由图可知( )
A．驱动力的频率为f2时，振子处于共振状态
B．驱动力的频率为f3时，振子的振动频率为f3
C．假如让振子自由振动，它的频率为f2
D．振子做自由振动时，频率可以为f1、f2和f3
【答案】ABC
【解析】由题图知，当驱动力频率为f2时，振子的振幅最大，可确定振子的固有频率为f2，当振子自由振动时其频率为固有频率，故选项A、C正确，D错误；由受迫振动的特点可知选项B正确。
8、（多选）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图所示，近似取π2=10，则（ ）
A．此单摆的固有周期为0.5s
B．此单摆的摆长为1m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动
【答案】BD
【解析】A．当驱动力频率和单摆的固有频率相等时，发生共振，振幅最大，则此单摆的固有周期为
故A错误；
B．根据单摆周期公式知此单摆的摆长为1m。故B正确；
C．根据单摆周期公式知若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小。故C错误；
D．若摆长增大，单摆的固有频率减小，共振曲线的峰将向左移动。故D正确。
9、一单摆的共振曲线如图所示，则该单摆的摆长约为多少？共振时摆球的最大速度大小是多少？(g取10 m/s2)
【答案】1 m 0.25 m/s
【解析】由题意知，当单摆共振时频率f＝0.5 Hz，
即f固＝f＝0.5 Hz，由T＝＝2π得
l＝＝ m≈1 m，
根据单摆运动过程中机械能守恒可得
mv＝mgl(1－cosθm)。
其中1－cosθm＝2sin2 ＝(θm很小)，
最大速度vm＝A＝0.25 m/s。
10、如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中。当圆盘静止时，让小球在水中振动，球将做阻尼振动。现使圆盘以不同的频率振动，测得共振曲线如图乙所示。(g＝9.86 m/s2，π＝3.14)
(1)当圆盘以0.4 s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定，它振动的频率是多少？
(2)若一个单摆的摆动周期与球做阻尼振动的周期相同，该单摆的摆长约为多少？(结果保留三位有效数字)
【答案】(1)2.5 Hz (2)2.78 m
【解析】(1)小球振动达到稳定时周期为0.4 s，频率为2.5 Hz。
(2)由题图图象可以看出单摆的固有频率为0.3 Hz，周期为 s，
由单摆的周期公式T＝2π，解得l＝＝× m≈2.78 m。
三、培优练习
1、(多选)下列说法正确的是( )
A.在同一地点，单摆做简谐运动的周期与其摆长成正比
B．弹簧振子做简谐运动时，振动系统的势能与动能之和保持不变
C．弹簧振子做简谐运动时，弹簧的劲度系数越大，弹簧振子做简谐运动的周期越大
D．系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率
E．已知弹簧振子初始时刻的位置、振幅及周期，仍不能确定振子在任意时刻的位置
【答案】BDE
【解析】根据单摆的周期公式，得；在同一地点，g一定，则知与L成正比，即单摆做简谐运动的周期的平方与其摆长成正比，故A错误。弹簧振子做简谐运动时，振动系统的机械能守恒，即振动系统的势能与动能之和保持不变，故B正确。根据弹簧振子的周期公式可知，弹簧的劲度系数越大，弹簧振子做简谐振动的周期越小，故C错误。系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率，与固有频率无关，故D正确。振子在同一位置振动方向有两种，所以已知弹簧振子初始时刻的位置、振幅及周期，不知道初始时刻振子的振动方向，仍不能确定振子在任意时刻的位置，故E正确。故选BDE。
2、如图所示，物体静止于水平面上的O点，这时弹簧恰为原长l0，物体的质量为m，与水平面间的动摩擦因数为μ，现将物体向右拉一段距离后自由释放，使之沿水平面振动，下列结论正确的是( )
A．物体通过O点时所受的合外力为零
B．物体将做阻尼振动
C．物体最终只能停止在O点
D．物体停止运动后所受的摩擦力为μmg
【答案】B
【解析】物体通过O点时弹簧的弹力为零，但摩擦力不为零，选项A错误；
物体振动时要克服摩擦力做功，机械能减少，振幅减小，做阻尼振动，选项B正确；
物体最终停止的位置可能在O点也可能不在O点．若停在O点摩擦力为零，若不在O点，摩擦力和弹簧的弹力平衡，停止运动时物体所受的摩擦力不一定为μmg，选项C、D错误．
3、(多选)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上安一个电动偏心轮，它每转一周给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示．筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s，在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min.已知增大电压可使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期．那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是( )
A．提高输入电压 B．降低输入电压
C．增加筛子质量 D．减小筛子质量
【答案】AC
【解析】在题给条件下，筛子振动的固有周期T固＝ s＝1.5 s，电动偏心轮的转动周期(对筛子来说是驱动力的周期)T驱＝ s≈1.67 s．要使筛子振幅增大，就得使这两个周期值靠近，可采用两种做法：第一，提高输入电压使偏心轮转得快一些，减小驱动力的周期；第二，增加筛子的质量使筛子的固有周期增大一些．正确选项为A、C.
4、(多选)某简谐振子，自由振动时的振动图象如图甲中实线所示，而在某驱动力作用下做受迫振动时，稳定后的振动图象如图甲中虚线所示，那么，此受迫振动对应的状态可能是图乙中的(图乙为该简谐振子的共振曲线)( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．一定不是c点
【答案】AD
【解析】某简谐振子，设自由振动时的振动周期为T1，在某驱动力作用下做受迫振动时的周期为T2，显然T1
A．此单摆的摆长约为1 m
B．此单摆的固有周期约为0.5 s
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰值将向右移动
【答案】A
【解析】由图可知，此单摆的固有频率为0.5 Hz，则周期为2 s，由公式T＝2π，可得L≈1 m，故A正确，B错误；
若摆长增大，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，故C、D错误．
6、(多选)如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是( )
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比lⅠ∶lⅡ＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该摆摆长约为1 m(取≈π)
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的
【答案】ABC
【解析】若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，因为图线Ⅰ单摆的固有频率较小，则固有周期较大，根据T＝2π知，周期大的重力加速度小，则图线Ⅰ是月球上单摆的共振曲线，故A正确；
若两次受迫振动均在地球上同一地点进行的，则重力加速度相等，因为固有频率比为2∶5，则固有周期比为5∶2，根据T＝2π，知摆长比为25∶4，故B正确；图线Ⅱ若是在地球表面上完成的，则固有频率为0.5 Hz，则T＝2π＝2，解得L＝1 m，故C正确，D错误．
7、一个单摆做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力的频率f的关系）如图所示，则（ ）
A．此单摆的固有周期约为0.5s
B．此单摆的摆长约为2m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若将此单摆由山脚移至山顶，共振曲线的峰将略微向左移动
【答案】D
【解析】A．当驱动力的频率接近固有频率时，振动的幅度最大，此时达到共振，由图象可知固有频率为0.5Hz，故有周期为2s，A错误；
B．根据
将单摆的振动周期为2s代入，可得摆长
B错误；
C．若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，C错误；
D．由于山顶处重力加速度减小， 若将此单摆由山脚移至山顶，单摆的振动周期变大，振动频率减小，共振曲线的峰将略微向左移动，D正确。
8、如图所示，一质量为m的矩形线框abcd被一轻质弹簧竖直悬挂起来，弹簧上端固定，可看作弹簧振子。bc边长为L，处于垂直纸面向里的匀强磁场中，abcd回路的总电阻为R。在外力作用下线框在竖直平面内做简谐运动，运动的周期与弹簧振子的固有周期相同，振幅为A，弹簧的劲度系数为k。线框在运动过程中，bc边始终在磁场中，ad边始终在磁场外，弹簧始终在弹性限度内。已知弹簧振子的振动周期公式为，其中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数，下列说法正确的是（ ）
A．线框振动到平衡位置时，弹簧伸长量一定为
B．线框振动到平衡位置时，弹簧可能处于原长
C．假如撤去外力的话，线框继续做简谐运动
D．由题目给出的信息，无法计算出一个完整的周期内外力做功的大小
【答案】A
【解析】AB．线框振动过程中，由于线框的运动的周期与弹簧振子的固有周期相同，则有线框受到的安培力与作用于线框的外力大小相等，方向相反，线框向下振动到平衡位置时，合外力为零，速度最大，则有
解得线框振动到平衡位置时，弹簧伸长量为
故A正确，B错误；
C．假如撤去外力，线框受到的安培力方向与运动方向总相反，安培力是阻力，线框的振动为阻尼振动，所以线框不可能做简谐运动，故C错误；
D．线框振动过程中，振幅为，从平衡位置开始计时，做简谐运动的线框的位移随时间变化的表达式为
线框运动的速度为
边切割磁感线运动产生的感应电动势为
在一个完整的周期内，线框产生的焦耳热为
线框受到的安培力与作用于线框的外力大小相等，方向相反，则有外力做功的大小等于克服线框安培力做的功，所以一个完整的周期内外力做功的大小
故D错误；
9、汽车的重力一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数k＝1.5×105 N/m.汽车开始运动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f＝(l为静止时弹簧的压缩长度)．若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz，已知汽车的质量为600 kg，每个人的质量为70 kg，则这辆车乘坐几个人时，人感到最难受？
【答案】5人
【解析】人体的固有频率f固＝2 Hz，当汽车的振动频率与其相等时，人体与之发生共振，人感觉最难受，即f＝＝f固，得l＝
代入数据，得l＝0.062 5 m，
l为静止时弹簧的压缩长度，则kl＝(m1＋nm2)g
n＝＝＝5(人)
10、如图所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅是多大？共振时摆球的最大速度和摆球振动的最大加速度各为多少？(g取10 m/s2，π2＝10)
【答案】1 m 8 cm 0.25 m/s 0.8 m/s2
【解析】由共振曲线可知，单摆的固有频率f＝0.5 Hz，因为f＝，所以l＝，代入数据解得l＝1 m．
由共振曲线可知，单摆发生共振时，振幅为Amax＝8 cm．设单摆的最大偏角为θ，摆球所能达到的最大高度为h，由机械能守恒定律得mv＝mgh，又h＝l(1－cos θ)，当θ很小时，1－cos θ＝2sin2＝，解得vmax＝＝0.25 m/s．
摆球在最大位移处加速度最大，有mgsin θ＝mamax，即amax＝gsin θ＝g，代入数据解得amax＝0.8 m/s2．
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