3.2波的描述 讲义
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3.2 波的描述
一、考点精讲
考点一、波的图像
1．对波的图像的理解
（1）波的图像是某一时刻介质中各个质点运动情况的“定格”．可以将波的图像比喻为某一时刻对所有质点拍摄下的“集体照”．
（2）简谐波的图像是正(余)弦曲线，是最简单的一种波，各个质点振动的最大位移都相等，介质中有正弦波传播时，介质中的质点做简谐运动．
（3）横波的图像形状与波在传播过程中介质中各质点某时刻的分布相似，波形中的波峰即图像中的位移正向的最大值，波谷即图像中的位移负向的最大值，波形中通过平衡位置的质点在图像中也恰处于平衡位置．
2．波的图像的周期性
在波的传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动，不同时刻质点的位移不同，则不同时刻波的图像不同．质点的振动位移做周期性变化，则波的图像也做周期性变化．经过一个周期，波的图像复原一次．
3．波的传播方向的双向性
如果只知道波沿x轴传播，则有可能沿x轴正向传播，也可能沿x轴负向传播，具有双向性．
注意：（1）波的传播方向不一定沿x轴正方向，有可能沿x轴负方向，由题意判定．
（2）坐标原点不一定是波源位置，要根据波的传播方向判定．
【典例1】(多选)如图所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在某个时刻的波形图，由图象可知( )
A．质点b此时位移为零
B．质点b此时向－y方向运动
C．质点d的振幅是2 cm
D．质点a再经过通过的路程是4 cm，偏离平衡位置的位移是4 cm
【答案】AC
【解析】由题目中波形图知，质点b在平衡位置，所以此时其位移为零，选项A正确；因波沿x轴正方向传播，波源在左侧，由质点振动方向与波的传播方向的关系可知质点b此时向＋y方向运动，选项B错误；简谐波在传播过程中，介质中各质点的振幅相同，所以质点d的振幅是2 cm，选项C正确；再经过的时间，质点a将运动到负向最大位移处，偏离平衡位置的位移是－2 cm，故选项D错误．
【典例2】(多选)如图所示为一列简谐横波在某时刻的波形图，传播方向向左，则此时刻有( )
A．各质点的位移都为5 cm
B．x＝2 m处的质点速度沿y轴正方向
C．x＝4 m处的质点加速度方向为正方向
D．x＝8 m处的质点速度为正的最大值
【答案】CD
【解析】从波的图象可以看出，选项A错误；根据波的传播方向和波的图象可以得出，此时刻x＝2 m处的质点速度方向沿y轴负方向，选项B错误；x＝4 m处的质点此时处于负向最大位移处，加速度方向为正，选项C正确；x＝8 m处的质点位于平衡位置，速度方向沿y轴正方向，所以速度为正的最大值，选项D正确．
练习1、如图所示是一列向右传播的简谐横波在某一时刻的波动图像．绳上有A、B、C、D、E、F、G、H、I九个质点，下列说法错误的是( )
A．A、C、E、F、H具有相同的位移
B．A、C位移相同，H、F位移方向相反
C．B、I振幅相同
D．A、B振幅相同
【答案】A
【解析】在波动图像中纵坐标表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移，故A说法错误，B说法正确；在简谐波中各质点都做简谐运动，振幅都等于波源的振幅，故C、D说法正确．
练习2、(多选)如图所示为某一向右传播的横波在某时刻的波形图，则下列叙述中正确的是( )
A．经过半个周期，质点C将运动到E点处
B．M点和P点的振动情况时刻相同
C．A点比F点先到达最低位置
D．B点和D点的振动步调相反
【答案】CD
【解析】各质点在各自的平衡位置附近振动，不随波迁移，所以经过半个周期，质点C会回到平衡位置，但不会运动到E点，A错误；M点和P点的振动情况不会相同，B错误；波向右传播，F点和A点都向上振动，A点先到达最低位置，C正确；B点和D点的振动相差半个周期，所以振动步调相反，D正确．
考点二、质点的振动方向与波传播方向的关系
1．质点带动法
由波的形成原理可知，后振动的质点总是重复先振动质点的运动，若已知波的传播方向而判断质点振动方向时，可在波源一侧找与该质点距离较近的前一质点，如果前一质点在该质点下方，则该质点将向下运动，否则该质点向上运动．
2．上下坡法
如图所示，沿波的传播方向，“上坡”的质点向下振动，如D、E、F；“下坡”的质点向上振动，如A、B、C.
3．微平移法
原理：波向前传播，波形也向前平移．
方法：作出经微小时间Δt后的波形，就知道了各质点经过Δt时间到达的位置，此刻质点振动方向也就知道了．如图5.
4．振动图象和波的图象的比较
振动图象 波的图象
图象
坐标 横坐标 时间 波线上各质点的平衡位置
纵坐标 某一质点在不同时刻的振动位移 各质点在同一时刻的振动位移
研究对象 一个质点 沿波传播方向上的各质点
物理意义 一个质点在不同时刻的振动位移 介质中各质点在同一时刻的振动位移
两种图象的比较：
(1)波的图象与振动图象外形上很相似，辨别它们时要看图象的横坐标是时间t还是位移x.
(2)简谐波中的所有质点都做简谐运动，它们的振幅、周期均相同．
(3)判断波的图象中质点的运动方向可根据带动法、上下坡法、微平移法；判断振动图象中质点的振动方向根据质点下一时刻的位置．
【典例1】简谐横波某时刻的波形图如图所示．由此可知：
(1)若质点a向下运动，则波向什么方向传播？
(2)若质点b向上运动，则波向什么方向传播？
(3)若波从右向左传播，则质点c向什么方向运动？
【答案】(1)向左 (2)向右 (3)向上
【解析】(1)若质点a向下运动，则质点a处于“上坡”，故波向左传播；
(2)若质点b向上运动，则质点b处于“下坡”，故波向右传播；
(3)若波从右向左传播，则质点c处于“下坡”，故质点c振动方向向上．
【典例2】(多选)根据图甲、乙所示，分别判断下列说法正确的是( )
A．甲是振动图象，乙是波动图象
B．甲是波动图象，乙是振动图象
C．甲中A质点向下振动，乙中B时刻质点向下振动
D．甲中A质点向上振动，乙中B时刻质点向下振动
【答案】BD
【解析】波动图象的横坐标为波的传播方向上各质点的平衡位置，振动图象的横坐标为时间，故A错，B对；甲中A质点被其左侧的质点带动向上振动，乙中B时刻后位移由零变为负值，故向下振动，所以C错，D对．
练习1、一列沿x轴正方向传播的简谐横波，某时刻的波形如图所示．P为介质中的一个质点，从该时刻开始的一段极短时间内，P的速度v和加速度a的大小变化情况是( )
A．v变小，a变大
B．v变小，a变小
C．v变大，a变大
D．v变大，a变小
【答案】D
【解析】由波的传播方向及P质点位置，可知P质点此时正向平衡位置振动，速度增大，加速度减小．
练习2、一列横波沿x轴正向传播，a、b、c、d为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置．某时刻的波形如图甲所示，此后，若经过周期开始计时，则如图乙所示描述的可能是( )
A．a处质点的振动图象
B．b处质点的振动图象
C．c处质点的振动图象
D．d处质点的振动图象
【答案】B
【解析】经T，a质点振动到波谷，c质点振动到波峰，b质点振动到平衡位置且向下振动，d质点振动到平衡位置且向上振动，故B项正确，A、C、D项错误．
练习3、某横波在介质中沿x轴传播，图甲为t＝0.75 s时的波形图，图乙为P点的振动图象．那么下列说法正确的是( )
A．质点L与质点N的运动方向总相同
B．该波沿x轴正方向传播
C．在0.5 s时间内，质点P向右运动了1 m
D．t＝1.0 s时，质点P处于平衡位置，并正在往y轴负方向运动
【答案】D
【解析】由波动图象可知，质点L与质点N的运动方向总是相反，故A错误；由振动图象可知，t＝0.75 s时，P点振动方向向下，所以该波沿x轴负方向传播，故B错误；质点P在其平衡位置附近来回振动，并不随波迁移，故C错误；由振动图象可知，t＝1.0 s时，质点P处于平衡位置，并正在往y轴负方向运动，故D正确．
考点三、波长、频率和波速的关系
1.对波长的理解
（1）波长在数值上等于一个周期内振动在介质中传播的距离，振源振动一个周期，能且仅能产生一个波长的波形．
（2）相距一个(或整数个)波长的两个质点的振动位移在任何时刻都相同，而且振动速度的大小和方向也相同，即相距一个(或整数个)波长的两个质点的振动状态相同．
（3）物理意义：表示波在空间上的周期性．
2．波长、频率和波速的关系
（1）波速：机械波在介质中传播的距离跟所用时间的比值叫作波速，它是描述振动(或波形)在介质中传播快慢的物理量，v＝.
（2）波速由介质决定，与波的频率、波长、质点的振幅无关．不同频率的机械波在相同的介质中传播的速度相等；相同频率的横波和纵波在相同介质中传播速度不相同．波在同一均匀介质中匀速传播，波速不变；但波中各个质点的振动是变加速运动，振动速度随时间做周期性变化．
（3）波的周期(或频率)：波的频率就是波源振动的频率．波传播时，介质中各个质点的振动频率都等于波源的频率．与介质无关，只由振源决定，且满足f＝.
（4）波速、波长、频率间的关系：在一个周期的时间内，振动在介质中传播的距离等于一个波长．故v＝＝λf.
【典例1】如图，两种不同材料的弹性细绳在O处连接，t＝0时刻开始从平衡位置向上抖动O点，形成以O点为波源向左和向右传播的简谐横波①和②，5 s时O点第二次到达波峰，此时绳上距离O点5 m处的质点A第一次到达波峰，已知波②的传播速度为1.5 m/s，OB间距离为9 m，下列说法正确的是( )
A.B点的振动周期为5 s
B.波①的传播速度为1 m/s
C.波②的波长为9 m
D.B点起振时，A点处于平衡位置
【答案】D
【解析】各质点振动周期和波源振动周期一致，波源的振动周期为T，根据O点t＝0时刻开始从平衡位置上振，5 s时O点第二次到达波峰可知，T＝5 s，解得：T＝4 s，故A错误；5 s时距离O点5 m处质点A第一次到达波峰，即波①从O传播到A用了4 s，即v1＝ m/s＝1.25 m/s，故B错误；波②的波长为λ2＝v·T＝1.5×4 m＝6 m，故C错误；传播到B点，需用时t＝ s＝6 s，此时A振动了2 s，即半个周期，刚好回到平衡位置，故D正确.
【典例2】如图所示，图甲是t＝5 s时刻一简谐横波沿x轴正方向传播的波形图，图乙为这列波上某质点的振动图象，则( )
A.该列波的波速为4 m/s
B.图乙可能是质点b的振动图象
C.质点c的振动方程为y＝6sin(＋π) cm
D.t＝10 s时，a点的振动方向向上
【答案】C
【解析】由题图甲可得λ＝8 m，由题图乙可得T＝4 s，所以横波的波速为v＝＝2 m/s，故A错误；由题图甲可知t＝5 s时，质点b位于平衡位置且向上振动，由题图乙可知，5 s时质点处于波峰位置，故B错误；由题图甲可知，质点c的振动方程y＝6sin(t＋π) cm，故C正确；t＝5 s时质点a处于波峰，经过5 s＝(1＋)T，质点a运动到平衡位置且向下振动，故D错误.
练习1、在均匀介质中坐标原点O处有一波源做简谐运动，其表达式为y＝5sin，它在介质中形成的简谐横波沿x轴正方向传播，某时刻波刚好传播到x＝12 m处，波形图像如图所示，则( )
A．此后再经6 s该波传播到x＝24 m处
B．M点在此后第3 s末的振动方向沿y轴负方向
C．波源开始振动时的运动方向沿y轴负方向
D．此后M点第一次到达y＝－3 m处所需时间是2 s
【答案】A
【解析】根据表达式y＝5sin，得ω＝，因此波的周期T＝＝4 s。由波形图像可得波长λ＝8 m。从x＝12 m的位置到x＝24 m的位置传播距离为1.5λ，所用的时间为1.5T＝6 s，选项A正确；M点经过T时振动方向沿y轴正方向，选项B错误；波刚好传到12 m处时，起振方向沿y轴正方向，则波源开始振动的方向也沿y轴正方向，选项C错误；M点从此位置第一次到达y＝－3 m处所需的时间小于＝2 s，选项D错误。
练习2、(多选)如图所示是一列向右传播的简谐横波在某一时刻的波形图，下列说法中正确的是( )
A．质点A、C、E、G、I在振动过程中位移总是相同
B．质点B、F在振动过程中位移总是相同
C．质点D、H的平衡位置间的距离是一个波长
D．质点A、I在振动过程中位移总是相同，它们的平衡位置间的距离是一个波长
【答案】BC
【解析】从题图可以看出质点A、C、E、G、I在该时刻的位移都是零，由于波的传播方向是向右的，容易判断出质点A、E、I的速度方向是向下的，而质点C、G的速度方向是向上的，因而这五个质点的位移不总是相同，A错误；质点B、F是同处在波峰的两个点，它们的振动步调完全相同，在振动过程中位移总是相同，B正确；质点D、H是同处在相邻的两个波谷的质点，它们的平衡位置之间的距离等于一个波长，C正确；虽然质点A、I在振动过程中位移总是相同，振动步调也完全相同，但由于它们不是相邻的振动步调完全相同的两个点，它们的平衡位置之间的距离不是一个波长而是两个波长，D错误．
练习3、(多选)一列简谐横波在t＝0时的波形图如图所示．介质中x＝2 m处的质点P沿y轴方向做简谐运动的表达式为y＝10 sin (5πt) cm.关于这列简谐波，下列说法正确的是( )
A．周期为4 s B．振幅为20 cm
C．传播方向沿x轴正向 D．传播速度为10 m/s
【答案】CD
【解析】ω＝5π rad/s ，周期为T＝＝0.4 s．由题目中波的图象得：振幅A＝10 cm，波长λ＝4 m，故波速为v＝＝10 m/s.P点在t＝0时振动方向为y轴正方向，故波沿x轴正方向传播．
考点四、波的多解问题
由于振动具有周期性，介质中振动的质点会在不同时刻多次达到同一位置，故波在传播过程中容易出现多解问题．
1．造成波的多解的主要因素
（1）周期性
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解．
②空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解．
（2）双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定．
②振动方向双向性：质点振动方向不确定．
2．波动问题的几种可能性
（1）质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能．
（2）质点由平衡位置开始振动，则有起振方向向上、向下(或向左、向右)两种可能．
（3）只告诉波速不指明波的传播方向时，应考虑波沿两个方向传播的可能．
（4）只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能．
【典例1】(多选)一列简谐横波沿x轴传播，a、b为x轴上的两质点，平衡位置分别为x＝0，x＝xb(xb>0)．a点的振动规律如图所示．已知波速为v＝10 m/s，在t＝0.1 s时b的位移为0.05 m，则下列判断可能正确的是( )
A．波沿x轴正向传播，xb＝0.5 m
B．波沿x轴正向传播，xb＝1.5 m
C．波沿x轴负向传播，xb＝2.5 m
D．波沿x轴负向传播，xb＝3.5 m
【答案】BC
【解析】由a点振动图象可知，振动周期T＝0.2 s，所以λ＝vT＝10×0.2 m＝2 m；由题意可知在t＝0.1 s时，a在平衡位置且向上振动，b在正向最大位移处，这时如果波沿x轴正向传播，根据“同侧法”，a、b之间的距离为(n＋)λ(n＝0,1,2,3，…)，所以xb＝(n＋)λ＝(2n＋1.5) m (n＝0,1,2,3，…)，A错，B对；这时如果波沿x轴负向传播，根据“同侧法”，a、b之间的距离为(n＋)λ (n＝0,1,2,3，…)，所以xb＝(n＋)λ＝(2n＋0.5) m (n＝0,1,2,3，…)，C对，D错
【典例2】(多选)一列横波沿直线传播，在波的传播方向上有A、B两点．在t时刻A、B两点间形成如图甲所示波形，在(t＋3 s)时刻A、B两点间形成如图乙所示波形，已知A、B两点平衡位置间距离a＝9 m，则以下说法中正确的是( )
A．若周期为4 s，波一定向右传播
B．若周期大于4 s，波可能向右传播
C．若波速为8.5 m/s，波一定向左传播
D．该波波速可能的最小值为0.5 m/s
【答案】ACD
【解析】若波向右传播，3 s＝(n＋)T1(n＝0,1,2，…)，T1＝ s≤4 s，B错误；若波向左传播，3 s＝(n＋)T2(n＝0,1,2，…)，T2＝ s，由于n是整数，当n＝0，T＝4 s时，符合T1通项，波向右传播，故A正确；由题图知波长λ＝6 m，若波速为8.5 m/s，波在3 s内传播的距离为x＝vt＝8.5×3 m＝25.5 m＝4λ，根据波形的平移，波一定向左传播，故C正确；波在3 s内传播的最小距离为向左传播1.5 m，波速可能的最小值为vmin＝ m/s＝0.5 m/s，故D正确．
练习1、一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s，问：
(1)这列波的可能波速的表达式？
(2)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速多大？
(3)若波速v＝68 m/s，则波向哪个方向传播？
【答案】（1）当波向右传播时：
v右＝＝ m/s＝4(4n＋1) m/s(n＝0,1,2…) ①
当波向左传播时：
v左＝＝ m/s＝4(4n＋3) m/s(n＝0,1,2…)． ②
(2)v左＝4(4n＋3) m/s＝4×(4×3＋3) m/s＝60 m/s.
(3)波向右传播．
【解析】(1)未明确波的传播方向和Δt与T的关系，故有两组系列解．
当波向右传播时：
v右＝＝ m/s＝4(4n＋1) m/s(n＝0,1,2…) ①
当波向左传播时：
v左＝＝ m/s＝4(4n＋3) m/s(n＝0,1,2…)． ②
(2)明确了波的传播方向，并限定3T＜Δt＜4T，设此时间内波传播距离为s，则有3λ＜s＜4λ
即n＝3，代入②式
v左＝4(4n＋3) m/s＝4×(4×3＋3) m/s＝60 m/s.
(3)给定的波速v＝68 m/s，则给定时间Δt内波传播距离x＝v·Δt＝68×0.5 m＝34 m＝ λ，故波向右传播．
练习2、如图中实线是一列简谐横波在t1＝0时刻的波形，虚线是这列波在t2＝0.5 s时刻的波形.
(1)写出这列波的波速表达式；
(2)若波速大小为74 m/s，波速方向如何？
【答案】见解析
【解析】(1)由题图可知λ＝8 m
当波向右传播时，在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离为
s＝nλ＋λ＝(8n＋3)m(n＝0,1,2…)
波速为v＝＝ m/s＝(16n＋6) m/s(n＝0,1,2…).
当波向左传播时，在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离为
s＝nλ＋λ＝(8n＋5) m(n＝0,1,2…)
波速为v＝＝ m/s＝(16n＋10)m/s(n＝0,1，2…).
(2)若波速大小为74 m/s，在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离为s＝v·Δt＝74×0.5 m＝37 m.
因为37 m＝4λ＋λ，所以波向左传播.
练习3、(多选)一列简谐横波沿直线由P向Q传播，相距21 m的P、Q两处的质点振动图像如图中P、Q所示，则( )
A．该波的振幅是20 cm
B．该波的波长可能是12 m
C．该波的波速可能是10 m/s
D．该波由P传播到Q最短历时3 s
【答案】BD
【解析】由题图读出，该波的振幅为A＝10 cm，在t＝0时刻，质点Q经过平衡位置向上运动，质点P位于波谷，波由P向Q传播，结合波形得到：P、Q间距离与波长的关系为Δx＝λ(n＝0,1,2…)，得到波长为λ＝＝ m＝ m(n＝0,1,2…)，当n＝1时，λ＝12 m；波速为v＝＝ m/s＝ m/s(n＝0,1,2，…)，因n为整数，v不可能等于10 m/s，故选项A、C错误，B正确；该波由P传播到Q的时间为t＝T＝(4n＋3) s(n＝0,1,2…)，则n＝0时，t最短为3 s，故选项D正确．
夯实小练
1、如图所示为简谐横波在某一时刻的波形图线。已知波的传播速度为2m/s，质点a的运动方向如图。则下列说法中正确的是（ ）
波沿x轴的正方向传播
B.波的波长 ，频率f=2Hz
C.质点b再经过0.5s达到c的位置
D.质点d再经过1.5s第一次到达波谷
【答案】D
【解析】A．图中质点a沿y轴负方向运动，根据传播规律“左传左上，右传右上”判断可得，波沿x轴的负方向传播，A不符合题意；
B．由图可知波长 ，则周期大小为
所以频率为f=0.5Hz，B不符合题意；
C．质点只在平衡位置附近振动，并不随波迁移，C不符合题意；
D．质点d此时向上运动，再经过1.5s第一次到达波谷，D符合题意。
2、如图甲所示为一简谐横波在 时的波形图，P是平衡位置在 处的质点，Q是平衡位置在 处的质点；如图乙所示为质点Q的振动图像。下列说法正确的是（ ）
A.这列波沿x轴负方向传播
B.这列波的传播速度为2m/s
C.Q质点做简谐运动的表达式为
D.从 到 ，P质点通过的路程为 m
【答案】D
【解析】A．由乙图可知，在t=2s时，质点Q沿着y轴负方向运动，因此波沿x轴正方向传播，A不符合题意；
B．由甲图可知波长
由乙图可知振动周期
因此波速
B不符合题意；
C．由乙图可知，Q质点做简谐运动的表达式为
C不符合题意；
D． 时P点离平衡位置的距离
时，波向右传播了1.5m，P点恰好运动到负的最大位移处，因此P质点通过的路程为
3、一列沿x轴正方向传播的简谐波，波速为4m/s。某时刻波形如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.这列波的振幅为4cm
B.这列波的频率为1Hz
C.此时x = 4m处质点沿y轴负方向运动
D.此时x = 8m处质点的加速度为0
【答案】D
【解析】A．振幅等于y的最大值，由题图可得这列波的振幅为2cm，A不符合题意；
B．由题图得，波长λ = 8m，由T = = 2s，f = = 0.5Hz
B不符合题意；
C．由“上坡、下坡”法可知，此时x = 4m处的波处于下坡，则质点沿y轴正方向运动，C不符合题意；
D．由波动与振动的关系得，此时x = 8m处的质点正处在平衡位置，故加速度a = 0，D符合题意。
4、一列简谐横波沿直线由a向b传播，相距10.5 m的a、b两处的质点振动图像如图中a、b所示，则( )
A．该波的振幅可能是20 cm
B．该波的波长可能是8.4 m
C．该波的波速可能是10.5 m/s
D．该波由a传播到b可能历时7 s
【答案】D
【解析】题中给出了两个质点的振动图像，从图中直接可以看出振动的振幅为10 cm，周期为4 s，选项A错误；因为波是沿着a向b传播，所以从振动图像可以看出，T＝4 s，b比a至少晚振动个周期，则a、b间距离与波长的关系为s＝λ，(n＝0,1,2，…)，波由a传播到b历时t＝nT＋T(n＝0,1,2，…)，再利用v＝，可得选项B、C错误，D正确．
(多选)一列横波在t＝0时刻的波形如图实线所示，在t＝1 s时的波形如图中虚线所示．由此可以判定此波的( )
A．波长一定是4 cm
B．周期一定是4 s
C．振幅一定是2 cm
D．传播速度一定是1 cm/s
【答案】AC
【解析】解有关波动图像的题目，一般可分为两类：一类是读图，可以直接从图上读出振幅和波长，此题便可读出波长是4 cm，振幅是2 cm，故A、C选项正确；另一类是根据图像给定的条件，去计算波速、周期，判定波传播的方向，判定某一质点的运动情况及判定某一时刻的波形图．这类问题的解决，是建立在正确读图和对波动的正确理解上的，是较深层次的考查．此题表示出在1 s时间内图像的变化，这1 s时间与周期的关系是nT＋T＝1 s(n＝0,1,2,3，…)是不确定解．因此B选项错误．同理传播速度v＝也不确定，D选项也错误．
6、两列简谐横波在同一根绳上沿x轴相向传播，如图所示是两列波在 时刻的各自波形图，实线波A向右传播，虚线波B向左传播。已知实线波的振幅为 ，虚线波的振幅为 ，两列波沿绳传播的速度为 。则下列说法正确的是（ ）
A.两列波在相遇区域内会发生干涉现象
B. 时刻实线波A中振幅最大的点，再经过 向右移动
C. 时刻虚线波B中振幅最大的点，再经过 发生的路程为
D.实线波和虚线波的频率之比为
【答案】D
【解析】AD．实线波长 ，虚线波长 ，根据 可知，两列波的频率之比为
频率不同，不能发生干涉现象，A不符合题意，D符合题意；
B．横波的质点只可在平衡位置附近振动，不会沿波的传播方向移动，B不符合题意；
C．虚线波B的周期为
再经过 发生的路程为 ，C不符合题意。
7、图（a）为一列波在t=2s时的波形图，图（b）是平衡位置在x=1.5m处的质点的振动图像，P是平衡位置为x=2m的质点，下列说法正确的是（ ）
A.波速为2m/s
B.0～2s时间内，P运动的路程为8cm
C.质点P的振动方程为
D.该波传播过程中若遇到频率为4Hz的横波，可能发生干涉现象形成稳定的干涉图样
【答案】B
【解析】A．由图（a）可知该简谐横波波长为2m，由图（b）知周期为4s，则波速为
A不符合题意；
B．由于t=2s时，质点P在波谷，且2s=0.5T
所以在0～2s时间内，质点P的路程为2A=8cm
B符合题意；
C．图（a）为一列波在t=2s时的波形图，因为T=4s，可知
且t=2s时，质点P在波谷位置，则t=0s时，质点P在波峰位置，其振动方程为
C不符合题意；
D．由图（b）知周期为4s，可得其频率为
故该波传播过程中若遇到频率为4Hz的横波，不可能发生干涉现象形成稳定的干涉图样，D不符合题意；
8、一列简谐横波在均匀介质中沿x轴正方向传播，t=0时刻的波动图像如图甲所示，质点M的振动图像如图乙所示。已知t=0时刻质点M恰好完成一次全振动，M、N两质点的平衡位置均在x轴上，两者相距s=19m。求∶
①此简谐横波的传播速度的大小；
②t=11s时质点N运动的路程。
【答案】① ②
【解析】①由图甲可知此波的波长为 ；由图乙可知，此波的周期
所以波速
②此波传播到N点所需的时间
由图乙可知此波的振幅 ，质点N每个周期运动的路程为0.8m s时质点N运动的时间为
所以 s时质点N运动的路程为
9、如图所示，一列沿x轴正方向传播的简谐横波波速大小v=5m/s，介质中质点P的平衡位置坐标 m，此时该波刚好传播到距O点4m的位置。求：
（i）从图示时刻到质点P第一次到达波峰的时间t；
（ii）从图示时刻到质点P第二次到达波峰的过程中，质点P通过的路程s。
【答案】（i）
（ⅱ）
【解析】（i）介质中质点振动的周期为
从图示时刻到质点P开始振动的时间为
质点P开始起振的方向向下，则从质点P开始振动到质点P第一次到达波峰的时间为
故
（ⅱ）从质点P开始振动到质点P第二次到达波峰的时间为
质点P通过的路程为
10、一列简谐横波沿 轴正方向传播， 时刻的波形如图所示，介质中质点 、 分别位于 、 处．从 时刻开始计时，当 时质点Q刚好第4次到达波峰．
①求波速．
②写出质点 做简谐运动的表达式（不要求推导过程）
【答案】① ．
②
【解析】①根据波形图得到波长 ； 时刻，质点Q正向下运动；从 时刻开始计时，当 时质点Q刚好第4次到达波峰，故有 ，
解得
故波速为 ．
② 时刻，质点P正在向上运动，振幅为： ，
角速度为：
故质点P做简谐运动的表达式为：
三、培优练习
1、(多选)一列简谐波在某时刻的波形如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．此列波的振幅是0.1 m
B．x＝15 m处质点的位移是0.1 m
C．若A质点的速度沿y轴正方向，则B质点的速度也沿y轴正方向
D．A质点的加速度沿y轴负方向，B、C两质点的加速度沿y轴正方向
【答案】ACD
【解析】从波形图中可以直接读出振幅、某质点的位移，并判断某质点运动的方向．故选项A、C、D正确．
2、在平静的介质中，从波源O发出的一列简谱横波沿x轴正方向传播，秒时刻的波形用实线表示，秒时刻的波形用虚线表示。介质中的质点Q位于处，则下列说法正确的是( )
A．该简谐横波的波长可能为
B．该波的波速大小一定为
C．在秒时刻至秒时刻这段时间内，介质中的质点M的运动过程是由先加速、后减速两段过程组成
D．根据图像无法判断质点Q的起振方向
【答案】D
【解析】A．由波形图可知，波长，故A错误；
B．波沿x轴正方向传播，位移为(n=0,1,2,3…)，则波速为(n=0,1,2,3…)，则当n=0时，波速为，不是一定为，故B错误；
C．在t1~t2时间内，若是在一个周期内，则质点M是先加速、后减速，若是包含多个周期则由多个运动阶段组成，不仅是两段过程组成，故C错误；
D．t1、t2时刻不是0时刻的图像，故无法判断O点的起振方向，故也就无法判断质点Q的起振方向，故D正确。故选D。
3、一列简谐横波在均匀介质中沿x轴传播，图甲为t=2.0s时的波形图，图乙为x=2m处的质点P的振动图像，质点Q为平衡位置x=3.5m的质点。下列说法正确的是( )
A．波的传播周期是2s
B．波沿x轴负方向传播
C．t=2.0s时刻后经过0.5s，质点P通过的路程等于5cm
D．t=3.5s时刻，质点Q经过平衡位置
【答案】D
【解析】A．根据振动图像直接得到波的传播周期是4s，故A错误；
B．t=2.0s时，x=2m处的质点P从平衡位置向上运动，故波沿x轴正方向传播，故B错误；
C．t=2.0s时刻，质点P位于平衡位置处，再经，质点P通过的路程，故C错误；
D．Q点平衡位置距P点平衡位置的距离为1.5m，因此Q点运动滞后于P点，因此Q点t=3.5s时刻与P点2.0s时刻相对平衡位置的位移一样，图中t=2.0s时P点刚好经过平衡位置，故t=3.5s时刻质点Q经过平衡位置，故D正确。故选D。
4、图甲为一列简谐横波在t=0时刻的波形图，图乙为x=2m处质点的振动图像．下列判断正确的是( )
A．波沿x轴负方向传播
B．传播速度为20m/s
C．t=0.1s时,x=2m处质点的加速度最大
D．波源在一个周期内走过的路程为4m
【答案】B
【解析】A、由乙图读出时刻x=2m质点的振动方向沿y轴负方向，由甲图判断出波的传播方向沿x轴正方向，故A错误；
B、由甲图读出波长，由乙图读出周期，则波速，故B正确；
C、在时刻，图甲中x=2m质点位于平衡位置，速度最大，加速度为零，故C错误；
D、波源在一个周期内走过的路程为：s=4×0.2m=0.8m，故D错误；故选B．
6、(多选)一列简谐横波沿直线由P向Q传播，相距21 m的P、Q两处的质点振动图像如图中P、Q所示，则( )
A．该波的振幅是20 cm
B．该波的波长可能是12 m
C．该波的波速可能是10 m/s
D．该波由P传播到Q最短历时3 s
【答案】BD
【解析】由题图读出，该波的振幅为A＝10 cm，在t＝0时刻，质点Q经过平衡位置向上运动，质点P位于波谷，波由P向Q传播，结合波形得到：P、Q间距离与波长的关系为Δx＝λ(n＝0,1,2…)，得到波长为λ＝＝ m＝ m(n＝0,1,2…)，当n＝1时，λ＝12 m；波速为v＝＝ m/s＝ m/s(n＝0,1,2，…)，因n为整数，v不可能等于10 m/s，故选项A、C错误，B正确；该波由P传播到Q的时间为t＝T＝(4n＋3) s(n＝0,1,2…)，则n＝0时，t最短为3 s，故选项D正确．
7、(多选)一列简谐波在某一时刻的波形如图所示，经过一段时间，波形变成如图中虚线所示，已知波速大小为1 m/s.则这段时间可能是( )
A．1 s B．2 s
C．3 s D．4 s
【答案】AC
【解析】如果这列波向右传播，则传播的距离为nλ＋λ(n＝0,1,2，…)，λ＝4 m．则这段时间可能为1 s、5 s、9 s、…，故选项A正确；如果这列波向左传播，则传播的距离为nλ＋λ(n＝0,1,2，…)，则这段时间可能为3 s、7 s、11 s、…，故选项C正确．
8、一列简谐横波在x轴上传播，a、b是x轴上相距sab＝6 m的两质点．t＝0时，b点正好到达最高点，且b点到x轴的距离为4 cm，而此时a点恰好经过平衡位置向上运动，已知这列波的频率为25 Hz.
(1)求经过时间1 s，a质点运动的路程；
(2)设a、b在x轴上的距离大于一个波长，求该波的波速．
【答案】(1)s＝ns0＝4 m.
(2)若波由a传向b，则sab＝λ，v＝λf＝ m/s(n＝1,2，…)；若波由b传向a，则sab＝λ，v＝λf＝ m/s(n＝1,2，…)．
【解析】(1)质点a一个周期运动的路程s0＝4A＝0.16 m,1 s内的周期数n＝ft＝25，则1 s内运动的路程s＝ns0＝4 m.
(2)若波由a传向b，则sab＝λ，v＝λf＝ m/s(n＝1,2，…)；若波由b传向a，则sab＝λ，v＝λf＝ m/s(n＝1,2，…)．
9、在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4 m的A、B两点，如图甲、乙分别是A、B两质点的振动图象.已知该波波长大于2 m，求这列波可能的波速.
【答案】见解析
【解析】由振动图象得质点振动周期T＝0.4 s，
若波由A向B传播，B点比A点晚振动的时间Δt＝nT＋T(n＝0,1,2,3，…)，
所以A、B间的距离为Δs＝vΔt＝Δt＝nλ＋λ(n＝0,1,2,3，…)，
则波长为λ＝＝ m，
因为λ>2 m，所以n＝0,1
当n＝0时，λ1＝ m，v1＝＝ m/s，
当n＝1时，λ2＝ m，v2＝＝ m/s.
若波由B向A传播，A点比B点晚振动的时间Δt＝nT＋T(n＝0,1,2,3，…)，
所以A、B间的距离为
Δs＝nλ＋λ(n＝0,1,2,3，…)，
则波长为λ＝＝ m
因为λ>2 m，所以n＝0,1
当n＝0时，λ1＝16 m，v1＝40 m/s，
当n＝1时，λ2＝ m，v2＝8 m/s.
10、一列周期的简谐横波沿x轴正方向传播，在时刻的波形如图所示。此时这列波恰好传播到的质点P，求：
(1)该波的振幅与波速；
(2)经过多少时间，坐标为的质点Q开始振动；
(3)从时刻到Q点处于波峰时，质点P运动的路程s。
【答案】(1)3cm；5m/s；(2)1.2s；(3)0.45+0.12n(m)(其中：n=0，1，2，3)
【解析】(1)从图中可读得质点的振幅A=3cm
由图可知波长λ=2m
波速、波长与周期之间的关系得 ①
解得v=5m/s
(2)波从P传到Q的距离为x=8m-2m=6m
又因为x=vt1 ②
解得t1=1.2s
(3)设从Q点开始振动到第一次到达波峰的时间为t2
t2=T=0.3s ③
设从t=0时刻到Q点第一次处于波峰的时间为t3
t3=t1+t2=1.5s=T ④
设从t=0时刻到Q点第一次处于波峰时，质点P运动的路程s1
⑤
设从t=0时刻到Q点处于波峰时，质点P运动的路程s
s=15A+4NA=0.45+0.12n(m)其中：n=0，1，2，3 ⑥
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3.2 波的描述
一、考点精讲
考点一、波的图像
1．对波的图像的理解
（1）波的图像是某一时刻介质中各个质点运动情况的“定格”．可以将波的图像比喻为某一时刻对所有质点拍摄下的“集体照”．
（2）简谐波的图像是正(余)弦曲线，是最简单的一种波，各个质点振动的最大位移都相等，介质中有正弦波传播时，介质中的质点做简谐运动．
（3）横波的图像形状与波在传播过程中介质中各质点某时刻的分布相似，波形中的波峰即图像中的位移正向的最大值，波谷即图像中的位移负向的最大值，波形中通过平衡位置的质点在图像中也恰处于平衡位置．
2．波的图像的周期性
在波的传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动，不同时刻质点的位移不同，则不同时刻波的图像不同．质点的振动位移做周期性变化，则波的图像也做周期性变化．经过一个周期，波的图像复原一次．
3．波的传播方向的双向性
如果只知道波沿x轴传播，则有可能沿x轴正向传播，也可能沿x轴负向传播，具有双向性．
注意：（1）波的传播方向不一定沿x轴正方向，有可能沿x轴负方向，由题意判定．
（2）坐标原点不一定是波源位置，要根据波的传播方向判定．
【典例1】(多选)如图所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在某个时刻的波形图，由图象可知( )
A．质点b此时位移为零
B．质点b此时向－y方向运动
C．质点d的振幅是2 cm
D．质点a再经过通过的路程是4 cm，偏离平衡位置的位移是4 cm
【答案】AC
【解析】由题目中波形图知，质点b在平衡位置，所以此时其位移为零，选项A正确；因波沿x轴正方向传播，波源在左侧，由质点振动方向与波的传播方向的关系可知质点b此时向＋y方向运动，选项B错误；简谐波在传播过程中，介质中各质点的振幅相同，所以质点d的振幅是2 cm，选项C正确；再经过的时间，质点a将运动到负向最大位移处，偏离平衡位置的位移是－2 cm，故选项D错误．
【典例2】(多选)如图所示为一列简谐横波在某时刻的波形图，传播方向向左，则此时刻有( )
A．各质点的位移都为5 cm
B．x＝2 m处的质点速度沿y轴正方向
C．x＝4 m处的质点加速度方向为正方向
D．x＝8 m处的质点速度为正的最大值
【答案】CD
【解析】从波的图象可以看出，选项A错误；根据波的传播方向和波的图象可以得出，此时刻x＝2 m处的质点速度方向沿y轴负方向，选项B错误；x＝4 m处的质点此时处于负向最大位移处，加速度方向为正，选项C正确；x＝8 m处的质点位于平衡位置，速度方向沿y轴正方向，所以速度为正的最大值，选项D正确．
练习1、如图所示是一列向右传播的简谐横波在某一时刻的波动图像．绳上有A、B、C、D、E、F、G、H、I九个质点，下列说法错误的是( )
A．A、C、E、F、H具有相同的位移
B．A、C位移相同，H、F位移方向相反
C．B、I振幅相同
D．A、B振幅相同
【答案】A
【解析】在波动图像中纵坐标表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移，故A说法错误，B说法正确；在简谐波中各质点都做简谐运动，振幅都等于波源的振幅，故C、D说法正确．
练习2、(多选)如图所示为某一向右传播的横波在某时刻的波形图，则下列叙述中正确的是( )
A．经过半个周期，质点C将运动到E点处
B．M点和P点的振动情况时刻相同
C．A点比F点先到达最低位置
D．B点和D点的振动步调相反
【答案】CD
【解析】各质点在各自的平衡位置附近振动，不随波迁移，所以经过半个周期，质点C会回到平衡位置，但不会运动到E点，A错误；M点和P点的振动情况不会相同，B错误；波向右传播，F点和A点都向上振动，A点先到达最低位置，C正确；B点和D点的振动相差半个周期，所以振动步调相反，D正确．
考点二、质点的振动方向与波传播方向的关系
1．质点带动法
由波的形成原理可知，后振动的质点总是重复先振动质点的运动，若已知波的传播方向而判断质点振动方向时，可在波源一侧找与该质点距离较近的前一质点，如果前一质点在该质点下方，则该质点将向下运动，否则该质点向上运动．
2．上下坡法
如图所示，沿波的传播方向，“上坡”的质点向下振动，如D、E、F；“下坡”的质点向上振动，如A、B、C.
3．微平移法
原理：波向前传播，波形也向前平移．
方法：作出经微小时间Δt后的波形，就知道了各质点经过Δt时间到达的位置，此刻质点振动方向也就知道了．如图5.
4．振动图象和波的图象的比较
振动图象 波的图象
图象
坐标 横坐标 时间 波线上各质点的平衡位置
纵坐标 某一质点在不同时刻的振动位移 各质点在同一时刻的振动位移
研究对象 一个质点 沿波传播方向上的各质点
物理意义 一个质点在不同时刻的振动位移 介质中各质点在同一时刻的振动位移
两种图象的比较：
(1)波的图象与振动图象外形上很相似，辨别它们时要看图象的横坐标是时间t还是位移x.
(2)简谐波中的所有质点都做简谐运动，它们的振幅、周期均相同．
(3)判断波的图象中质点的运动方向可根据带动法、上下坡法、微平移法；判断振动图象中质点的振动方向根据质点下一时刻的位置．
【典例1】简谐横波某时刻的波形图如图所示．由此可知：
(1)若质点a向下运动，则波向什么方向传播？
(2)若质点b向上运动，则波向什么方向传播？
(3)若波从右向左传播，则质点c向什么方向运动？
【答案】(1)向左 (2)向右 (3)向上
【解析】(1)若质点a向下运动，则质点a处于“上坡”，故波向左传播；
(2)若质点b向上运动，则质点b处于“下坡”，故波向右传播；
(3)若波从右向左传播，则质点c处于“下坡”，故质点c振动方向向上．
【典例2】(多选)根据图甲、乙所示，分别判断下列说法正确的是( )
A．甲是振动图象，乙是波动图象
B．甲是波动图象，乙是振动图象
C．甲中A质点向下振动，乙中B时刻质点向下振动
D．甲中A质点向上振动，乙中B时刻质点向下振动
【答案】BD
【解析】波动图象的横坐标为波的传播方向上各质点的平衡位置，振动图象的横坐标为时间，故A错，B对；甲中A质点被其左侧的质点带动向上振动，乙中B时刻后位移由零变为负值，故向下振动，所以C错，D对．
练习1、一列沿x轴正方向传播的简谐横波，某时刻的波形如图所示．P为介质中的一个质点，从该时刻开始的一段极短时间内，P的速度v和加速度a的大小变化情况是( )
A．v变小，a变大
B．v变小，a变小
C．v变大，a变大
D．v变大，a变小
【答案】D
【解析】由波的传播方向及P质点位置，可知P质点此时正向平衡位置振动，速度增大，加速度减小．
练习2、一列横波沿x轴正向传播，a、b、c、d为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置．某时刻的波形如图甲所示，此后，若经过周期开始计时，则如图乙所示描述的可能是( )
A．a处质点的振动图象
B．b处质点的振动图象
C．c处质点的振动图象
D．d处质点的振动图象
【答案】B
【解析】经T，a质点振动到波谷，c质点振动到波峰，b质点振动到平衡位置且向下振动，d质点振动到平衡位置且向上振动，故B项正确，A、C、D项错误．
练习3、某横波在介质中沿x轴传播，图甲为t＝0.75 s时的波形图，图乙为P点的振动图象．那么下列说法正确的是( )
A．质点L与质点N的运动方向总相同
B．该波沿x轴正方向传播
C．在0.5 s时间内，质点P向右运动了1 m
D．t＝1.0 s时，质点P处于平衡位置，并正在往y轴负方向运动
【答案】D
【解析】由波动图象可知，质点L与质点N的运动方向总是相反，故A错误；由振动图象可知，t＝0.75 s时，P点振动方向向下，所以该波沿x轴负方向传播，故B错误；质点P在其平衡位置附近来回振动，并不随波迁移，故C错误；由振动图象可知，t＝1.0 s时，质点P处于平衡位置，并正在往y轴负方向运动，故D正确．
考点三、波长、频率和波速的关系
1.对波长的理解
（1）波长在数值上等于一个周期内振动在介质中传播的距离，振源振动一个周期，能且仅能产生一个波长的波形．
（2）相距一个(或整数个)波长的两个质点的振动位移在任何时刻都相同，而且振动速度的大小和方向也相同，即相距一个(或整数个)波长的两个质点的振动状态相同．
（3）物理意义：表示波在空间上的周期性．
2．波长、频率和波速的关系
（1）波速：机械波在介质中传播的距离跟所用时间的比值叫作波速，它是描述振动(或波形)在介质中传播快慢的物理量，v＝.
（2）波速由介质决定，与波的频率、波长、质点的振幅无关．不同频率的机械波在相同的介质中传播的速度相等；相同频率的横波和纵波在相同介质中传播速度不相同．波在同一均匀介质中匀速传播，波速不变；但波中各个质点的振动是变加速运动，振动速度随时间做周期性变化．
（3）波的周期(或频率)：波的频率就是波源振动的频率．波传播时，介质中各个质点的振动频率都等于波源的频率．与介质无关，只由振源决定，且满足f＝.
（4）波速、波长、频率间的关系：在一个周期的时间内，振动在介质中传播的距离等于一个波长．故v＝＝λf.
【典例1】如图，两种不同材料的弹性细绳在O处连接，t＝0时刻开始从平衡位置向上抖动O点，形成以O点为波源向左和向右传播的简谐横波①和②，5 s时O点第二次到达波峰，此时绳上距离O点5 m处的质点A第一次到达波峰，已知波②的传播速度为1.5 m/s，OB间距离为9 m，下列说法正确的是( )
A.B点的振动周期为5 s
B.波①的传播速度为1 m/s
C.波②的波长为9 m
D.B点起振时，A点处于平衡位置
【答案】D
【解析】各质点振动周期和波源振动周期一致，波源的振动周期为T，根据O点t＝0时刻开始从平衡位置上振，5 s时O点第二次到达波峰可知，T＝5 s，解得：T＝4 s，故A错误；5 s时距离O点5 m处质点A第一次到达波峰，即波①从O传播到A用了4 s，即v1＝ m/s＝1.25 m/s，故B错误；波②的波长为λ2＝v·T＝1.5×4 m＝6 m，故C错误；传播到B点，需用时t＝ s＝6 s，此时A振动了2 s，即半个周期，刚好回到平衡位置，故D正确.
【典例2】如图所示，图甲是t＝5 s时刻一简谐横波沿x轴正方向传播的波形图，图乙为这列波上某质点的振动图象，则( )
A.该列波的波速为4 m/s
B.图乙可能是质点b的振动图象
C.质点c的振动方程为y＝6sin(＋π) cm
D.t＝10 s时，a点的振动方向向上
【答案】C
【解析】由题图甲可得λ＝8 m，由题图乙可得T＝4 s，所以横波的波速为v＝＝2 m/s，故A错误；由题图甲可知t＝5 s时，质点b位于平衡位置且向上振动，由题图乙可知，5 s时质点处于波峰位置，故B错误；由题图甲可知，质点c的振动方程y＝6sin(t＋π) cm，故C正确；t＝5 s时质点a处于波峰，经过5 s＝(1＋)T，质点a运动到平衡位置且向下振动，故D错误.
练习1、在均匀介质中坐标原点O处有一波源做简谐运动，其表达式为y＝5sin，它在介质中形成的简谐横波沿x轴正方向传播，某时刻波刚好传播到x＝12 m处，波形图像如图所示，则( )
A．此后再经6 s该波传播到x＝24 m处
B．M点在此后第3 s末的振动方向沿y轴负方向
C．波源开始振动时的运动方向沿y轴负方向
D．此后M点第一次到达y＝－3 m处所需时间是2 s
【答案】A
【解析】根据表达式y＝5sin，得ω＝，因此波的周期T＝＝4 s。由波形图像可得波长λ＝8 m。从x＝12 m的位置到x＝24 m的位置传播距离为1.5λ，所用的时间为1.5T＝6 s，选项A正确；M点经过T时振动方向沿y轴正方向，选项B错误；波刚好传到12 m处时，起振方向沿y轴正方向，则波源开始振动的方向也沿y轴正方向，选项C错误；M点从此位置第一次到达y＝－3 m处所需的时间小于＝2 s，选项D错误。
练习2、(多选)如图所示是一列向右传播的简谐横波在某一时刻的波形图，下列说法中正确的是( )
A．质点A、C、E、G、I在振动过程中位移总是相同
B．质点B、F在振动过程中位移总是相同
C．质点D、H的平衡位置间的距离是一个波长
D．质点A、I在振动过程中位移总是相同，它们的平衡位置间的距离是一个波长
【答案】BC
【解析】从题图可以看出质点A、C、E、G、I在该时刻的位移都是零，由于波的传播方向是向右的，容易判断出质点A、E、I的速度方向是向下的，而质点C、G的速度方向是向上的，因而这五个质点的位移不总是相同，A错误；质点B、F是同处在波峰的两个点，它们的振动步调完全相同，在振动过程中位移总是相同，B正确；质点D、H是同处在相邻的两个波谷的质点，它们的平衡位置之间的距离等于一个波长，C正确；虽然质点A、I在振动过程中位移总是相同，振动步调也完全相同，但由于它们不是相邻的振动步调完全相同的两个点，它们的平衡位置之间的距离不是一个波长而是两个波长，D错误．
练习3、(多选)一列简谐横波在t＝0时的波形图如图所示．介质中x＝2 m处的质点P沿y轴方向做简谐运动的表达式为y＝10 sin (5πt) cm.关于这列简谐波，下列说法正确的是( )
A．周期为4 s B．振幅为20 cm
C．传播方向沿x轴正向 D．传播速度为10 m/s
【答案】CD
【解析】ω＝5π rad/s ，周期为T＝＝0.4 s．由题目中波的图象得：振幅A＝10 cm，波长λ＝4 m，故波速为v＝＝10 m/s.P点在t＝0时振动方向为y轴正方向，故波沿x轴正方向传播．
考点四、波的多解问题
由于振动具有周期性，介质中振动的质点会在不同时刻多次达到同一位置，故波在传播过程中容易出现多解问题．
1．造成波的多解的主要因素
（1）周期性
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解．
②空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解．
（2）双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定．
②振动方向双向性：质点振动方向不确定．
2．波动问题的几种可能性
（1）质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能．
（2）质点由平衡位置开始振动，则有起振方向向上、向下(或向左、向右)两种可能．
（3）只告诉波速不指明波的传播方向时，应考虑波沿两个方向传播的可能．
（4）只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能．
【典例1】(多选)一列简谐横波沿x轴传播，a、b为x轴上的两质点，平衡位置分别为x＝0，x＝xb(xb>0)．a点的振动规律如图所示．已知波速为v＝10 m/s，在t＝0.1 s时b的位移为0.05 m，则下列判断可能正确的是( )
A．波沿x轴正向传播，xb＝0.5 m
B．波沿x轴正向传播，xb＝1.5 m
C．波沿x轴负向传播，xb＝2.5 m
D．波沿x轴负向传播，xb＝3.5 m
【答案】BC
【解析】由a点振动图象可知，振动周期T＝0.2 s，所以λ＝vT＝10×0.2 m＝2 m；由题意可知在t＝0.1 s时，a在平衡位置且向上振动，b在正向最大位移处，这时如果波沿x轴正向传播，根据“同侧法”，a、b之间的距离为(n＋)λ(n＝0,1,2,3，…)，所以xb＝(n＋)λ＝(2n＋1.5) m (n＝0,1,2,3，…)，A错，B对；这时如果波沿x轴负向传播，根据“同侧法”，a、b之间的距离为(n＋)λ (n＝0,1,2,3，…)，所以xb＝(n＋)λ＝(2n＋0.5) m (n＝0,1,2,3，…)，C对，D错
【典例2】(多选)一列横波沿直线传播，在波的传播方向上有A、B两点．在t时刻A、B两点间形成如图甲所示波形，在(t＋3 s)时刻A、B两点间形成如图乙所示波形，已知A、B两点平衡位置间距离a＝9 m，则以下说法中正确的是( )
A．若周期为4 s，波一定向右传播
B．若周期大于4 s，波可能向右传播
C．若波速为8.5 m/s，波一定向左传播
D．该波波速可能的最小值为0.5 m/s
【答案】ACD
【解析】若波向右传播，3 s＝(n＋)T1(n＝0,1,2，…)，T1＝ s≤4 s，B错误；若波向左传播，3 s＝(n＋)T2(n＝0,1,2，…)，T2＝ s，由于n是整数，当n＝0，T＝4 s时，符合T1通项，波向右传播，故A正确；由题图知波长λ＝6 m，若波速为8.5 m/s，波在3 s内传播的距离为x＝vt＝8.5×3 m＝25.5 m＝4λ，根据波形的平移，波一定向左传播，故C正确；波在3 s内传播的最小距离为向左传播1.5 m，波速可能的最小值为vmin＝ m/s＝0.5 m/s，故D正确．
练习1、一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s，问：
(1)这列波的可能波速的表达式？
(2)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速多大？
(3)若波速v＝68 m/s，则波向哪个方向传播？
【答案】（1）当波向右传播时：
v右＝＝ m/s＝4(4n＋1) m/s(n＝0,1,2…) ①
当波向左传播时：
v左＝＝ m/s＝4(4n＋3) m/s(n＝0,1,2…)． ②
(2)v左＝4(4n＋3) m/s＝4×(4×3＋3) m/s＝60 m/s.
(3)波向右传播．
【解析】(1)未明确波的传播方向和Δt与T的关系，故有两组系列解．
当波向右传播时：
v右＝＝ m/s＝4(4n＋1) m/s(n＝0,1,2…) ①
当波向左传播时：
v左＝＝ m/s＝4(4n＋3) m/s(n＝0,1,2…)． ②
(2)明确了波的传播方向，并限定3T＜Δt＜4T，设此时间内波传播距离为s，则有3λ＜s＜4λ
即n＝3，代入②式
v左＝4(4n＋3) m/s＝4×(4×3＋3) m/s＝60 m/s.
(3)给定的波速v＝68 m/s，则给定时间Δt内波传播距离x＝v·Δt＝68×0.5 m＝34 m＝ λ，故波向右传播．
练习2、如图中实线是一列简谐横波在t1＝0时刻的波形，虚线是这列波在t2＝0.5 s时刻的波形.
(1)写出这列波的波速表达式；
(2)若波速大小为74 m/s，波速方向如何？
【答案】见解析
【解析】(1)由题图可知λ＝8 m
当波向右传播时，在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离为
s＝nλ＋λ＝(8n＋3)m(n＝0,1,2…)
波速为v＝＝ m/s＝(16n＋6) m/s(n＝0,1,2…).
当波向左传播时，在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离为
s＝nλ＋λ＝(8n＋5) m(n＝0,1,2…)
波速为v＝＝ m/s＝(16n＋10)m/s(n＝0,1，2…).
(2)若波速大小为74 m/s，在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离为s＝v·Δt＝74×0.5 m＝37 m.
因为37 m＝4λ＋λ，所以波向左传播.
练习3、(多选)一列简谐横波沿直线由P向Q传播，相距21 m的P、Q两处的质点振动图像如图中P、Q所示，则( )
A．该波的振幅是20 cm
B．该波的波长可能是12 m
C．该波的波速可能是10 m/s
D．该波由P传播到Q最短历时3 s
【答案】BD
【解析】由题图读出，该波的振幅为A＝10 cm，在t＝0时刻，质点Q经过平衡位置向上运动，质点P位于波谷，波由P向Q传播，结合波形得到：P、Q间距离与波长的关系为Δx＝λ(n＝0,1,2…)，得到波长为λ＝＝ m＝ m(n＝0,1,2…)，当n＝1时，λ＝12 m；波速为v＝＝ m/s＝ m/s(n＝0,1,2，…)，因n为整数，v不可能等于10 m/s，故选项A、C错误，B正确；该波由P传播到Q的时间为t＝T＝(4n＋3) s(n＝0,1,2…)，则n＝0时，t最短为3 s，故选项D正确．
夯实小练
1、如图所示为简谐横波在某一时刻的波形图线。已知波的传播速度为2m/s，质点a的运动方向如图。则下列说法中正确的是（ ）
波沿x轴的正方向传播
B.波的波长 ，频率f=2Hz
C.质点b再经过0.5s达到c的位置
D.质点d再经过1.5s第一次到达波谷
【答案】D
【解析】A．图中质点a沿y轴负方向运动，根据传播规律“左传左上，右传右上”判断可得，波沿x轴的负方向传播，A不符合题意；
B．由图可知波长 ，则周期大小为
所以频率为f=0.5Hz，B不符合题意；
C．质点只在平衡位置附近振动，并不随波迁移，C不符合题意；
D．质点d此时向上运动，再经过1.5s第一次到达波谷，D符合题意。
2、如图甲所示为一简谐横波在 时的波形图，P是平衡位置在 处的质点，Q是平衡位置在 处的质点；如图乙所示为质点Q的振动图像。下列说法正确的是（ ）
A.这列波沿x轴负方向传播
B.这列波的传播速度为2m/s
C.Q质点做简谐运动的表达式为
D.从 到 ，P质点通过的路程为 m
【答案】D
【解析】A．由乙图可知，在t=2s时，质点Q沿着y轴负方向运动，因此波沿x轴正方向传播，A不符合题意；
B．由甲图可知波长
由乙图可知振动周期
因此波速
B不符合题意；
C．由乙图可知，Q质点做简谐运动的表达式为
C不符合题意；
D． 时P点离平衡位置的距离
时，波向右传播了1.5m，P点恰好运动到负的最大位移处，因此P质点通过的路程为
3、一列沿x轴正方向传播的简谐波，波速为4m/s。某时刻波形如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.这列波的振幅为4cm
B.这列波的频率为1Hz
C.此时x = 4m处质点沿y轴负方向运动
D.此时x = 8m处质点的加速度为0
【答案】D
【解析】A．振幅等于y的最大值，由题图可得这列波的振幅为2cm，A不符合题意；
B．由题图得，波长λ = 8m，由T = = 2s，f = = 0.5Hz
B不符合题意；
C．由“上坡、下坡”法可知，此时x = 4m处的波处于下坡，则质点沿y轴正方向运动，C不符合题意；
D．由波动与振动的关系得，此时x = 8m处的质点正处在平衡位置，故加速度a = 0，D符合题意。
4、一列简谐横波沿直线由a向b传播，相距10.5 m的a、b两处的质点振动图像如图中a、b所示，则( )
A．该波的振幅可能是20 cm
B．该波的波长可能是8.4 m
C．该波的波速可能是10.5 m/s
D．该波由a传播到b可能历时7 s
【答案】D
【解析】题中给出了两个质点的振动图像，从图中直接可以看出振动的振幅为10 cm，周期为4 s，选项A错误；因为波是沿着a向b传播，所以从振动图像可以看出，T＝4 s，b比a至少晚振动个周期，则a、b间距离与波长的关系为s＝λ，(n＝0,1,2，…)，波由a传播到b历时t＝nT＋T(n＝0,1,2，…)，再利用v＝，可得选项B、C错误，D正确．
(多选)一列横波在t＝0时刻的波形如图实线所示，在t＝1 s时的波形如图中虚线所示．由此可以判定此波的( )
A．波长一定是4 cm
B．周期一定是4 s
C．振幅一定是2 cm
D．传播速度一定是1 cm/s
【答案】AC
【解析】解有关波动图像的题目，一般可分为两类：一类是读图，可以直接从图上读出振幅和波长，此题便可读出波长是4 cm，振幅是2 cm，故A、C选项正确；另一类是根据图像给定的条件，去计算波速、周期，判定波传播的方向，判定某一质点的运动情况及判定某一时刻的波形图．这类问题的解决，是建立在正确读图和对波动的正确理解上的，是较深层次的考查．此题表示出在1 s时间内图像的变化，这1 s时间与周期的关系是nT＋T＝1 s(n＝0,1,2,3，…)是不确定解．因此B选项错误．同理传播速度v＝也不确定，D选项也错误．
6、两列简谐横波在同一根绳上沿x轴相向传播，如图所示是两列波在 时刻的各自波形图，实线波A向右传播，虚线波B向左传播。已知实线波的振幅为 ，虚线波的振幅为 ，两列波沿绳传播的速度为 。则下列说法正确的是（ ）
A.两列波在相遇区域内会发生干涉现象
B. 时刻实线波A中振幅最大的点，再经过 向右移动
C. 时刻虚线波B中振幅最大的点，再经过 发生的路程为
D.实线波和虚线波的频率之比为
【答案】D
【解析】AD．实线波长 ，虚线波长 ，根据 可知，两列波的频率之比为
频率不同，不能发生干涉现象，A不符合题意，D符合题意；
B．横波的质点只可在平衡位置附近振动，不会沿波的传播方向移动，B不符合题意；
C．虚线波B的周期为
再经过 发生的路程为 ，C不符合题意。
7、图（a）为一列波在t=2s时的波形图，图（b）是平衡位置在x=1.5m处的质点的振动图像，P是平衡位置为x=2m的质点，下列说法正确的是（ ）
A.波速为2m/s
B.0～2s时间内，P运动的路程为8cm
C.质点P的振动方程为
D.该波传播过程中若遇到频率为4Hz的横波，可能发生干涉现象形成稳定的干涉图样
【答案】B
【解析】A．由图（a）可知该简谐横波波长为2m，由图（b）知周期为4s，则波速为
A不符合题意；
B．由于t=2s时，质点P在波谷，且2s=0.5T
所以在0～2s时间内，质点P的路程为2A=8cm
B符合题意；
C．图（a）为一列波在t=2s时的波形图，因为T=4s，可知
且t=2s时，质点P在波谷位置，则t=0s时，质点P在波峰位置，其振动方程为
C不符合题意；
D．由图（b）知周期为4s，可得其频率为
故该波传播过程中若遇到频率为4Hz的横波，不可能发生干涉现象形成稳定的干涉图样，D不符合题意；
8、一列简谐横波在均匀介质中沿x轴正方向传播，t=0时刻的波动图像如图甲所示，质点M的振动图像如图乙所示。已知t=0时刻质点M恰好完成一次全振动，M、N两质点的平衡位置均在x轴上，两者相距s=19m。求∶
①此简谐横波的传播速度的大小；
②t=11s时质点N运动的路程。
【答案】① ②
【解析】①由图甲可知此波的波长为 ；由图乙可知，此波的周期
所以波速
②此波传播到N点所需的时间
由图乙可知此波的振幅 ，质点N每个周期运动的路程为0.8m s时质点N运动的时间为
所以 s时质点N运动的路程为
9、如图所示，一列沿x轴正方向传播的简谐横波波速大小v=5m/s，介质中质点P的平衡位置坐标 m，此时该波刚好传播到距O点4m的位置。求：
（i）从图示时刻到质点P第一次到达波峰的时间t；
（ii）从图示时刻到质点P第二次到达波峰的过程中，质点P通过的路程s。
【答案】（i）
（ⅱ）
【解析】（i）介质中质点振动的周期为
从图示时刻到质点P开始振动的时间为
质点P开始起振的方向向下，则从质点P开始振动到质点P第一次到达波峰的时间为
故
（ⅱ）从质点P开始振动到质点P第二次到达波峰的时间为
质点P通过的路程为
10、一列简谐横波沿 轴正方向传播， 时刻的波形如图所示，介质中质点 、 分别位于 、 处．从 时刻开始计时，当 时质点Q刚好第4次到达波峰．
①求波速．
②写出质点 做简谐运动的表达式（不要求推导过程）
【答案】① ．
②
【解析】①根据波形图得到波长 ； 时刻，质点Q正向下运动；从 时刻开始计时，当 时质点Q刚好第4次到达波峰，故有 ，
解得
故波速为 ．
② 时刻，质点P正在向上运动，振幅为： ，
角速度为：
故质点P做简谐运动的表达式为：
三、培优练习
1、(多选)一列简谐波在某时刻的波形如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．此列波的振幅是0.1 m
B．x＝15 m处质点的位移是0.1 m
C．若A质点的速度沿y轴正方向，则B质点的速度也沿y轴正方向
D．A质点的加速度沿y轴负方向，B、C两质点的加速度沿y轴正方向
【答案】ACD
【解析】从波形图中可以直接读出振幅、某质点的位移，并判断某质点运动的方向．故选项A、C、D正确．
2、在平静的介质中，从波源O发出的一列简谱横波沿x轴正方向传播，秒时刻的波形用实线表示，秒时刻的波形用虚线表示。介质中的质点Q位于处，则下列说法正确的是( )
A．该简谐横波的波长可能为
B．该波的波速大小一定为
C．在秒时刻至秒时刻这段时间内，介质中的质点M的运动过程是由先加速、后减速两段过程组成
D．根据图像无法判断质点Q的起振方向
【答案】D
【解析】A．由波形图可知，波长，故A错误；
B．波沿x轴正方向传播，位移为(n=0,1,2,3…)，则波速为(n=0,1,2,3…)，则当n=0时，波速为，不是一定为，故B错误；
C．在t1~t2时间内，若是在一个周期内，则质点M是先加速、后减速，若是包含多个周期则由多个运动阶段组成，不仅是两段过程组成，故C错误；
D．t1、t2时刻不是0时刻的图像，故无法判断O点的起振方向，故也就无法判断质点Q的起振方向，故D正确。故选D。
3、一列简谐横波在均匀介质中沿x轴传播，图甲为t=2.0s时的波形图，图乙为x=2m处的质点P的振动图像，质点Q为平衡位置x=3.5m的质点。下列说法正确的是( )
A．波的传播周期是2s
B．波沿x轴负方向传播
C．t=2.0s时刻后经过0.5s，质点P通过的路程等于5cm
D．t=3.5s时刻，质点Q经过平衡位置
【答案】D
【解析】A．根据振动图像直接得到波的传播周期是4s，故A错误；
B．t=2.0s时，x=2m处的质点P从平衡位置向上运动，故波沿x轴正方向传播，故B错误；
C．t=2.0s时刻，质点P位于平衡位置处，再经，质点P通过的路程，故C错误；
D．Q点平衡位置距P点平衡位置的距离为1.5m，因此Q点运动滞后于P点，因此Q点t=3.5s时刻与P点2.0s时刻相对平衡位置的位移一样，图中t=2.0s时P点刚好经过平衡位置，故t=3.5s时刻质点Q经过平衡位置，故D正确。故选D。
4、图甲为一列简谐横波在t=0时刻的波形图，图乙为x=2m处质点的振动图像．下列判断正确的是( )
A．波沿x轴负方向传播
B．传播速度为20m/s
C．t=0.1s时,x=2m处质点的加速度最大
D．波源在一个周期内走过的路程为4m
【答案】B
【解析】A、由乙图读出时刻x=2m质点的振动方向沿y轴负方向，由甲图判断出波的传播方向沿x轴正方向，故A错误；
B、由甲图读出波长，由乙图读出周期，则波速，故B正确；
C、在时刻，图甲中x=2m质点位于平衡位置，速度最大，加速度为零，故C错误；
D、波源在一个周期内走过的路程为：s=4×0.2m=0.8m，故D错误；故选B．
6、(多选)一列简谐横波沿直线由P向Q传播，相距21 m的P、Q两处的质点振动图像如图中P、Q所示，则( )
A．该波的振幅是20 cm
B．该波的波长可能是12 m
C．该波的波速可能是10 m/s
D．该波由P传播到Q最短历时3 s
【答案】BD
【解析】由题图读出，该波的振幅为A＝10 cm，在t＝0时刻，质点Q经过平衡位置向上运动，质点P位于波谷，波由P向Q传播，结合波形得到：P、Q间距离与波长的关系为Δx＝λ(n＝0,1,2…)，得到波长为λ＝＝ m＝ m(n＝0,1,2…)，当n＝1时，λ＝12 m；波速为v＝＝ m/s＝ m/s(n＝0,1,2，…)，因n为整数，v不可能等于10 m/s，故选项A、C错误，B正确；该波由P传播到Q的时间为t＝T＝(4n＋3) s(n＝0,1,2…)，则n＝0时，t最短为3 s，故选项D正确．
7、(多选)一列简谐波在某一时刻的波形如图所示，经过一段时间，波形变成如图中虚线所示，已知波速大小为1 m/s.则这段时间可能是( )
A．1 s B．2 s
C．3 s D．4 s
【答案】AC
【解析】如果这列波向右传播，则传播的距离为nλ＋λ(n＝0,1,2，…)，λ＝4 m．则这段时间可能为1 s、5 s、9 s、…，故选项A正确；如果这列波向左传播，则传播的距离为nλ＋λ(n＝0,1,2，…)，则这段时间可能为3 s、7 s、11 s、…，故选项C正确．
8、一列简谐横波在x轴上传播，a、b是x轴上相距sab＝6 m的两质点．t＝0时，b点正好到达最高点，且b点到x轴的距离为4 cm，而此时a点恰好经过平衡位置向上运动，已知这列波的频率为25 Hz.
(1)求经过时间1 s，a质点运动的路程；
(2)设a、b在x轴上的距离大于一个波长，求该波的波速．
【答案】(1)s＝ns0＝4 m.
(2)若波由a传向b，则sab＝λ，v＝λf＝ m/s(n＝1,2，…)；若波由b传向a，则sab＝λ，v＝λf＝ m/s(n＝1,2，…)．
【解析】(1)质点a一个周期运动的路程s0＝4A＝0.16 m,1 s内的周期数n＝ft＝25，则1 s内运动的路程s＝ns0＝4 m.
(2)若波由a传向b，则sab＝λ，v＝λf＝ m/s(n＝1,2，…)；若波由b传向a，则sab＝λ，v＝λf＝ m/s(n＝1,2，…)．
9、在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4 m的A、B两点，如图甲、乙分别是A、B两质点的振动图象.已知该波波长大于2 m，求这列波可能的波速.
【答案】见解析
【解析】由振动图象得质点振动周期T＝0.4 s，
若波由A向B传播，B点比A点晚振动的时间Δt＝nT＋T(n＝0,1,2,3，…)，
所以A、B间的距离为Δs＝vΔt＝Δt＝nλ＋λ(n＝0,1,2,3，…)，
则波长为λ＝＝ m，
因为λ>2 m，所以n＝0,1
当n＝0时，λ1＝ m，v1＝＝ m/s，
当n＝1时，λ2＝ m，v2＝＝ m/s.
若波由B向A传播，A点比B点晚振动的时间Δt＝nT＋T(n＝0,1,2,3，…)，
所以A、B间的距离为
Δs＝nλ＋λ(n＝0,1,2,3，…)，
则波长为λ＝＝ m
因为λ>2 m，所以n＝0,1
当n＝0时，λ1＝16 m，v1＝40 m/s，
当n＝1时，λ2＝ m，v2＝8 m/s.
10、一列周期的简谐横波沿x轴正方向传播，在时刻的波形如图所示。此时这列波恰好传播到的质点P，求：
(1)该波的振幅与波速；
(2)经过多少时间，坐标为的质点Q开始振动；
(3)从时刻到Q点处于波峰时，质点P运动的路程s。
【答案】(1)3cm；5m/s；(2)1.2s；(3)0.45+0.12n(m)(其中：n=0，1，2，3)
【解析】(1)从图中可读得质点的振幅A=3cm
由图可知波长λ=2m
波速、波长与周期之间的关系得 ①
解得v=5m/s
(2)波从P传到Q的距离为x=8m-2m=6m
又因为x=vt1 ②
解得t1=1.2s
(3)设从Q点开始振动到第一次到达波峰的时间为t2
t2=T=0.3s ③
设从t=0时刻到Q点第一次处于波峰的时间为t3
t3=t1+t2=1.5s=T ④
设从t=0时刻到Q点第一次处于波峰时，质点P运动的路程s1
⑤
设从t=0时刻到Q点处于波峰时，质点P运动的路程s
s=15A+4NA=0.45+0.12n(m)其中：n=0，1，2，3 ⑥
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