人教版2023年九年级上册第21章 一元二次方程单元检测卷 （含解析）

人教版2023年九年级上册第21章《一元二次方程》单元检测卷
一、选择题（共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项分别是（ ）
A．5，6，8 B．5，6， C．5， D．
3．用配方法解方程，变形正确的是( )
A． B． C． D．
4．方程的根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是( )
A． B． C．且 D．且
6．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m，n在数轴上的位置可以是（ ）
A． B．
C． D．
7．聚会结束，统计出一共握手55次，如果参加聚会的每个人都和其他的人握手1次，那么有（ ）人参加了聚会．
A．11 B．12 C．10
8．随着疫情影响消退和消费回暖，2023年电影市场向好．某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（ ）
A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5
10．已知和是方程的两个根，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
二、填空题（共18分）
11．方程的根是 ．
12．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
13．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ．
14．秋天到了，人容易着凉，某班有一同学患了流感，经过两轮传染后共有49名学生患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则列方程为 ．
15．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ．
16．若，是方程的两个实数根，则的值为 ．
三、解答题（共52分）
17．（6分）用直接开平方法解下列方程：
(1)； (2)．
18．（6分）若规定两数，通过运算“”得，即.例如.
(1)求的值；
(2)求中的值.
19．（6分）解下列方程：
(1)． (2)；
20．（8分）已知关于x的一元二次方程．
(1)不解方程，判断此方程根的情况；
(2)若是该方程的一个根，求代数式的值．
21．（8分）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）（平行于）的矩形花圃．如果要围成面积为的花圃，的长是多少？
22．（9分）谯城区某商场销售一款上衣每件进价元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，经市场调查发现，如果每件服装降价元；那么平均每天可多售出件．
(1)设每件衣服降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利多少元（用含的代数式表示） ；
(2)每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元；
(3)商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由．
23．（9分）如图所示，中，，，．

(1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，经过几秒，使的面积等于？
(2)在（1）的运动情况下，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
(3)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，问几秒后，的面积为？
参考答案
1．C
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”分析判断即可．
【详解】解：A、方程整理得，不是一元二次方程，本选项不符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意；
C、，是一元二次方程，本选项符合题意；
D、，有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
2．D
【分析】把方程化为一元二次方程的一般形式后，即可写出各项系数．
【详解】解：原方程化为一般形式为：，
则二次项系数、一次项系数及常数项分别是；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的各项系数，正确化为一元二次方程的一般形式是解题的关键．
3．A
【分析】把常数项移项后，在方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后配方即可．
【详解】解：，
移项得：，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得，
故选：A ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程----配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．B
【分析】利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
解得：，．
故选：B
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．D
【分析】根据一元二次方程有实数根可知道判别式大于等于零，解不等式及可求解；
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴且，
∴且．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况求参数，掌握相关知识是解题的关键．
6．C
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴实数m，n在数轴上的位置只有C选项正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
7．A
【分析】参加聚会的每个人都和其他的人握手1次，有人参加了聚会，每个人需要握次，考虑重复的情况，一共握手次，据此列方程求解即可．
【详解】解：设有人参加了聚会，根据题意列方程，
，
解得，，（舍去）
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握应用模型是解题的关键．
8．D
【分析】根据“三天累计票房6.62亿元”求解即可得出答案．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为，则根据题意可列方程为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握理解题意，找到其中蕴含的相等关系．
9．B
【分析】设，则原方程换元为，可得，，即可求解．
【详解】解：设，则原方程换元为，
，
解得，（不合题意，舍去），
的值为3．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
10．B
【分析】由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可．
【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得，
，
∴
＝
＝
＝，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
11．
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：，
∴，
即，
∴或，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
12．
【分析】根据一元二次方程的定义：含一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，且，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义求参数的值，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
13．
【分析】根据题意把代入，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值．
【详解】解：把代入，可得，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解（根）的意义，以及解一元一次方程，注意掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
14．
【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人．
依题意得，即
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
15．23
【分析】设十位上的数为x，则个位上的数位，十位上的数的平方比个位上的数也大1，再建立方程求出其解就可以得出结论．
【详解】解：设原两位数的十位数字为x，
根据题意得：
∴，
解得：，（不符合题意舍去）
答：这个两位数为23，
故答案为23．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
16．2020
【分析】先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得，，
所以，
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用整体代入法是本题的关键．
17．(1)，
(2)，
【分析】对于形如的方程，直接开平方，转化为一元一次方程，，求解．
【详解】（1）由原方程，得，
∴，
∴，．
（2），
，
，
或，
∴，．
【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；理解平方根的表示及求解是解题的关键．
18．(1)
(2)或
【分析】（1）根据给出的定义，计算即可；
（2）根据给出的定义，转化成我们熟悉的运算进行即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：变形为，
即，
∴
解得：或．
【点睛】本题是一个新定义的题目，考查了二次根式的乘法以及解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．
19．(1)，
(2)，
【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
【详解】（1）
∵，，，
，
∴方程有两个不相等的实数根，，
即，．
（2）
整理，得，
因式分解，得，
∴或，
∴，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程——公式法，以及因式分解法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用根的判别式判断即可．
（2）将代入一元二次方程，整理得，再将变形为，代入求值即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴此一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）解：将代入一元二次方程，
整理得，即，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，求代数式的值，牢记：当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程无实数根．
21．的长为
【分析】根据“围成面积为的花圃”列出一元二次方程，求解一元二次方程，并使求的得解使小于等于．
【详解】解：设花圃的一边为，
根据题意可知，，
整理得，，
解此方程得，，
当时，；
当时，，舍去，
∴当的长为时，花圃的面积为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题．
22．(1)； 元；
(2)当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元；
(3)商家不能达到平均每天盈利元，理由见解析
【分析】（1）设每件衣服降价元，根据题意找出数量关系即可解答；
（2）设每件衣服降价元，根据题意找出数量关系和等量关系即可解答；
（3）设每件衣服降价元，根据题意可得方程进而即可解答．
【详解】（1）解：设每件衣服降价元，
∴如果每件服装降价元，则每天销售量增加件，
故答案为：；
∵上衣每件进价元，销售价为元，
∴每件商品盈利元，
故答案为：元．
（2）解：设每件衣服降价元，根据题意得，
，
解得：（不符合题意舍去），，
∴当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元，
答：当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元．
（3）解：商家不能达到平均每天盈利元，理由如下：
设每件衣服降价元，根据题意得，
，
整理得：，
∴，，，
∴，
∴商家不能达到平均每天盈利元，
答：商家不能达到平均每天盈利元．
【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，根据题意找出数量关系和等量关系是解题的关键．
23．(1)经过2秒或4秒，的面积等于
(2)线段不能将分成面积相等的两部分，理由见解析
(3)经过秒或5秒或秒后，的面积为
【分析】(1) 设经过秒，使的面积等于，解方程即可．
(2) 设经过秒，线段将分成面积相等的两部分，判断方程根的情况即可．
(3) 分类求解即可．
【详解】（1）设经过秒，使的面积等于，
依题意得：，
解得：，，
经检验，均符合题意．
即经过2秒或4秒，的面积等于．
（2）设经过秒，线段将分成面积相等的两部分，
依题意得：的面积，
的面积，
整理得：，
∵，
∴此方程无实数根，
∴线段不能将分成面积相等的两部分．
（3）①点在线段上，点在线段上，
设经过秒，的面积为，依题意得：，
整理得：，解得：，，
经检验，不符合题意，舍去，
；
②点在线段上，点在射线上，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，经检验，符合题意．
③点在射线上，点在射线上，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，整理得：，
解得：，，
经检验，不符合题意，舍去，；
综上所述，经过秒或5秒或秒后，的面积为．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解一元二次方程，根的判别式，分类思想，熟练掌握解方程和根的判别式是解题的关键．