2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试第二章 2.2 第1课时基本不等式（解析版）

2.2　基本不等式
第1课时　基本不等式
一、单项选择题
1．已知(x>1)在x＝t时取得最小值，则t的值为(　　)
A．1＋ B．2 C．3 D．4
2．已知实数x，y满足x>0，y>0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
3．设x>0，则3－3x－的最大值是(　　)
A．3 B．3－2
C．3－2 D．－1
4．设x>0，则x＋－的最小值为(　　)
A．0 B. C．1 D.
5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)
A．3 B．4
C. D.
6．若a≥0，b≥0且a＋b＝2，则(　　)
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
7．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)
A．9 B．12 C．18 D．24
8．若a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a－b＞－ B.＜
C.> D.＞
二、多项选择题
9．下列关于基本不等式的说法，正确的是(　　)
A．若a>0，b>0，则≥成立
B．对任意的a，b∈R，ab≤2成立
C．若a≥0，b≥0，则≥不一定成立
D．若ab>0，则＋≥成立
10．下列不等式一定成立的是(　　)
A．2x－5＋≥2
B．x2＋≥1(x∈R)
C．x2＋1≤2x(x∈R)
D．x2＋5x＋6≥－(x∈R)
11．设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么(　　)
A．a＋b有最小值2(＋1)
B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最大值3＋2
D．ab有最小值3＋2
12．已知x＋y＝1，y>0，x≠0，则＋的值可能是(　　)
A. B. C. D.
三、填空题
13．已知当x＝3时，代数式4x＋(x>0，a>0)取得最小值，则a＝________.
14．已知2m＋n＝1，其中mn>0，则＋的最小值为________．
15．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________，此时x＋y＝________.
16．给出下列不等式：①≥2；②≥2；③>xy；④≥.其中正确的是________(写出序号即可)．
四、解答题
17．已知y＝x＋.
(1)已知x>0，求y的最小值；
(2)已知x<0，求y的最大值．
18．(1)已知m，n>0，且m＋n＝16，求mn的最大值；
(2)已知x>3，求x＋的最小值．
19．已知x>－1，求的最小值．
20．已知a>b>c，求(a－c)的最小值．
2.2　基本不等式
第1课时　基本不等式
一、单项选择题
1．已知(x>1)在x＝t时取得最小值，则t的值为(　　)
A．1＋ B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　因为＝＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．所以t的值为2.故选B.
2．已知实数x，y满足x>0，y>0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案　D
解析　因为x>0，y>0，且＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当＝时等号成立．故选D.
3．设x>0，则3－3x－的最大值是(　　)
A．3 B．3－2
C．3－2 D．－1
答案　C
解析　3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．故选C.
4．设x>0，则x＋－的最小值为(　　)
A．0 B. C．1 D.
答案　A
解析　因为x>0，所以x＋>0，所以x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立，所以所求的最小值为0.
5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)
A．3 B．4
C. D.
答案　B
解析　∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝>0，∴06．若a≥0，b≥0且a＋b＝2，则(　　)
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
答案　C
解析　当a>0，b>0时，ab≤2＝1；当a＝0或b＝0时，ab＝0，∴ab≤1.∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，∴a2＋b2≥2，故选C.
7．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)
A．9 B．12 C．18 D．24
答案　B
解析　∵a>0，b>0，∴由不等式＋≥恒成立，得m≤(a＋3b)＝6＋＋恒成立．∵＋≥2＝6，当且仅当a＝3b时等号成立，∴6＋＋≥12，∴m≤12.即m的最大值为12.故选B.
8．若a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a－b＞－ B.＜
C.> D.＞
答案　C
解析　逐一考查所给的选项：当a＝2，b＝时，a－b＝，－＝，不满足a－b＞－，A错误；当c＝0时，＝＝0，不满足＜，B错误；当a＝2，b＝1时，＝，＝2，不满足＞，D错误；若a＞b＞0，则a＋b>2，即a＋b>，整理可得>，C正确．故选C.
二、多项选择题
9．下列关于基本不等式的说法，正确的是(　　)
A．若a>0，b>0，则≥成立
B．对任意的a，b∈R，ab≤2成立
C．若a≥0，b≥0，则≥不一定成立
D．若ab>0，则＋≥成立
答案　AB
解析　A就是基本不等式，正确；由2－ab＝≥0，知B正确；由A知C错误；当a<0，b<0时，ab>0，但＋<，D错误，故选AB.
10．下列不等式一定成立的是(　　)
A．2x－5＋≥2
B．x2＋≥1(x∈R)
C．x2＋1≤2x(x∈R)
D．x2＋5x＋6≥－(x∈R)
答案　BD
解析　对于A，当x＞时才成立；对于B，∵x2＋1＋≥2，∴x2＋≥1，当且仅当x＝0时等号成立；对于C，应为x2＋1≥2x(x∈R)；对于D，x2＋5x＋6＝2－≥－，正确．综上所述，应选BD.
11．设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么(　　)
A．a＋b有最小值2(＋1)
B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最大值3＋2
D．ab有最小值3＋2
答案　AD
解析　由题意得ab≤2，故(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，解得a＋b≥2＋2或a＋b≤－2＋2(舍去)，即a＋b≥2＋2(当且仅当a＝b＝＋1时取等号)，A正确；因为a＋b≥2，所以－(a＋b)≤－2，ab－(a＋b)≤ab－2，又因为ab－(a＋b)＝1，所以1≤ab－2 2≤ab－2＋1,2≤(－1)2 －1≥，≥＋1 ab≥3＋2，即ab有最小值3＋2，D正确．故选AD.
12．已知x＋y＝1，y>0，x≠0，则＋的值可能是(　　)
A. B. C. D.
答案　CD
解析　由x＋y＝1，y>0，x≠0，得y＝1－x>0，则x<1且x≠0.当0三、填空题
13．已知当x＝3时，代数式4x＋(x>0，a>0)取得最小值，则a＝________.
答案　36
解析　4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，所以＝3，即a＝36.
14．已知2m＋n＝1，其中mn>0，则＋的最小值为________．
答案　8
解析　因为2m＋n＝1，mn>0，所以m>0，n>0，所以＋＝＋＝4＋≥8.
15．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________，此时x＋y＝________.
答案　　
解析　因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，所以xy＝(2x·3y)≤2＝×2＝.当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.此时x＋y＝.
16．给出下列不等式：①≥2；②≥2；③>xy；④≥.其中正确的是________(写出序号即可)．
答案　①
解析　因为x与同号，所以＝|x|＋≥2，①正确；当x，y异号时，②不正确；当x＝y时，＝xy，③不正确；当x＝1，y＝－1时，④不正确．
四、解答题
17．已知y＝x＋.
(1)已知x>0，求y的最小值；
(2)已知x<0，求y的最大值．
解　(1)因为x>0，所以x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．所以y的最小值为2.
(2)因为x<0，所以－x>0.
所以y＝－≤－2＝－2，
当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立．
所以y的最大值为－2.
18．(1)已知m，n>0，且m＋n＝16，求mn的最大值；
(2)已知x>3，求x＋的最小值．
解　(1)∵m，n>0且m＋n＝16，
∴由基本不等式可得mn≤2＝2＝64，
当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.
∴mn的最大值为32.
(2)∵x>3，∴x－3>0，>0，
于是x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝7，
当且仅当x－3＝，即x＝5时，x＋取到最小值7.
19．已知x>－1，求的最小值．
解　因为x>－1，所以x＋1>0.
所以＝＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9.
当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．
所以当x＝1时，(x>－1)取得最小值9.
20．已知a>b>c，求(a－c)的最小值．
解　(a－c)＝(a－b＋b－c)
＝1＋1＋＋.
∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
∴2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号，
∴(a－c)的最小值为4.