2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用（解析版）

第二章 第2课时　基本不等式的应用
一、单项选择题
1．下列不等式中正确的是(　　)
A．a＋≥4(a≠0) B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2(x≠0)
2．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　)
A．x＝ B．x≤
C．x> D．x≥
3．若a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　)
A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|
4．制作一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材量少)是(　　)
A．4.6 m B．4.8 m C．5 m D．5.2 m
5．已知m＝a＋(a>2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)
A．m>n B．m6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a，b(a≠b)，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大还是小？(　　)
A.　大 B.　小
C.　大 D.　小
7．设a，b是两个非零实数，且a≠b，①a5＋b5＞a3b2＋a2b3；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③＋＞2.上述三个式子恒成立的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买的货物为(　　)
A．10吨 B．20吨 C．30吨 D．40吨
二、多项选择题
9．设a，b为非零实数，下列不等式中恒成立的是(　　)
A.≥ab B.≥2
C.＋≥2 D.≥
10．某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时．若该货轮从甲地到乙地的运输成本为y(元)，航行速度为x(海里/时)，则下列说法正确的是(　　)
A．每小时燃料费用为0.5x2元
B．y＝150(0C．从甲地到乙地，货轮以25海里/时的速度航行比以50海里/时的速度航行的运输成本低
D．要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以40海里/时的航行速度行驶
11．设0A．a2＋b2C．a<2ab< D.12．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(aA．v＝ B．v<
C．v>a D．v三、填空题
13. 如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.
14．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
15．若a>0，b>0，给出以下不等式：
①≥；②≤ ；③＋≤a＋b.
其中正确的是________(填序号)．
16．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
四、解答题
17．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋＞a＋b＋c.
18．设a＞b＞0，求证：a2＋＋≥4.
19．某种商品原来每件售价为25元，年销售量为8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
20．某厂家拟在明年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(也是该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．预计明年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)设明年该产品的利润为y万元，将y表示为m的函数；
(2)该厂家明年的促销费用投入多少万元时获得的利润最大？
第二章 第2课时　基本不等式的应用
一、单项选择题
1．下列不等式中正确的是(　　)
A．a＋≥4(a≠0) B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2(x≠0)
答案　D
解析　若a＜0，则a＋≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则＜，故C错误；由基本不等式可知D正确．
2．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　)
A．x＝ B．x≤
C．x> D．x≥
答案　B
解析　由条件知A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，所以(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2，所以1＋x≤1＋，故x≤.
3．若a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　)
A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|
答案　A
解析　由基本不等式得a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a|·|b|＝2|ab|，当且仅当|a|＝|b|时，等号成立．故选A.
4．制作一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材量少)是(　　)
A．4.6 m B．4.8 m C．5 m D．5.2 m
答案　C
解析　设三角形两直角边长分别为a m，b m，则ab＝2，周长L＝a＋b＋≥2＋＝(2＋)·，当且仅当a＝b时等号成立，即L≥2＋2≈4.828，故选C.
5．已知m＝a＋(a>2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)
A．m>n B．m答案　A
解析　因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4.由b≠0得b2≠0，所以4－b2<4，即n<4.所以m>n.故选A.
6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a，b(a≠b)，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大还是小？(　　)
A.　大 B.　小
C.　大 D.　小
答案　D
解析　设物体真实重量为m，天平左、右两臂长分别为l1，l2，则ml1＝al2　①，ml2＝bl1　②，①×②得m2l1l2＝abl1l2，∴m＝.又∵≥且a≠b，∴等号不能取得，故m<.
7．设a，b是两个非零实数，且a≠b，①a5＋b5＞a3b2＋a2b3；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③＋＞2.上述三个式子恒成立的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案　B
解析　①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)＞0不恒成立；②(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；③＋＞2或＋＜－2.故选B.
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买的货物为(　　)
A．10吨 B．20吨 C．30吨 D．40吨
答案　B
解析　每年购买次数为.所以总费用＝·4＋4x≥2＝160，当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立．
二、多项选择题
9．设a，b为非零实数，下列不等式中恒成立的是(　　)
A.≥ab B.≥2
C.＋≥2 D.≥
答案　AB
解析　≥＝＝|a||b|≥ab，可知A正确；＝＝≥＝＝2，可知B正确；当a＝1，b＝－1时，显然C不正确；当a＝b＝－1时，D中不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知D不正确．
10．某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时．若该货轮从甲地到乙地的运输成本为y(元)，航行速度为x(海里/时)，则下列说法正确的是(　　)
A．每小时燃料费用为0.5x2元
B．y＝150(0C．从甲地到乙地，货轮以25海里/时的速度航行比以50海里/时的速度航行的运输成本低
D．要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以40海里/时的航行速度行驶
答案　ABD
解析　由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，A正确；又从甲地到乙地所用的时间为小时，则y＝0.5x2·＋800·＝150(011．设0A．a2＋b2C．a<2ab< D.答案　ABCD
解析　∵00，∴a＝，a2＋b212．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(aA．v＝ B．v<
C．v>a D．v答案　BCD
解析　设小王从甲地到乙地行驶的路程为s，则v＝＝，∵02>0.∴v＝<＝，故B正确；由基本不等式，可知v<，故A错误；∵v－a＝－a＝＝>0，∴v>a，故C正确；∵v－b＝－b＝＝<0，∴v三、填空题
13. 如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.
答案　56
解析　设阴影部分的高为x dm，
则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.
由题意，得y＝(x＋4)－72＝8＋2
≥8＋2×2＝56(dm2)．
当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立．
14．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
答案　5　8
解析　每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
15．若a>0，b>0，给出以下不等式：
①≥；②≤ ；③＋≤a＋b.
其中正确的是________(填序号)．
答案　①②
解析　－＝＝，因为a>0，b>0，所以≥0，所以≥，①正确；因为a>0，b>0，2－2＝－＝≥0，所以≤ ，②正确；a＋b－＝＝＝－，因为a>0，b>0，所以a＋b－＝－≤0 ＋≥a＋b，③不正确．
16．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
答案　1760
解析　设水池池底的一边长为x m，则其邻边长为 m，则总造价为：y＝120×4＋80××2＝480＋320≥480＋320×2＝1760.
当且仅当x＝，即x＝2时，y取最小值1760.
所以水池的最低总造价为1760元．
四、解答题
17．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋＞a＋b＋c.
证明　∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋≥2 ＝2c，＋≥2＝2a，
＋≥2＝2b.
又a，b，c不全相等，故上述等号不能同时成立．
∴＋＋＞a＋b＋c.
18．设a＞b＞0，求证：a2＋＋≥4.
证明　∵a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋ab＋＋
≥2＋2
＝4，
当且仅当a(a－b)＝且ab＝，
即a＝，b＝时，等号成立．
∴a2＋＋≥4.
19．某种商品原来每件售价为25元，年销售量为8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
解　(1)设每件定价为x元，
依题意得x≥25×8，
整理得x2－65x＋1000≤0，解得25≤x≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x>25时a≥＋x＋有解，
因为＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，所以a≥10.2.所以当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
20．某厂家拟在明年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(也是该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．预计明年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)设明年该产品的利润为y万元，将y表示为m的函数；
(2)该厂家明年的促销费用投入多少万元时获得的利润最大？
解　(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，即k＝2.∴x＝3－.
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m
＝4＋8－m＝28－－m(m≥0)．
(2)y＝28－－m＝29－，
∵m≥0，∴(m＋1)＋≥2＝8，
当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤29－8＝21，即当m＝3时，ymax＝21.
∴该厂家明年的促销费用投入为3万元时获得的利润最大，最大利润为21万元．