2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试第二章 2.3 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式（解析版）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式
一、单项选择题
1．不等式4x2－12x＋9≤0的解集是(　　)
A． B．R
C. D.
2．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是(　　)
A. B.
C. D.
3．不等式x2－|x|－2＜0的解集是(　　)
A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2或x＞2}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜－1或x＞1}
4．当m>1时，关于x的不等式x2＋(m－1)x－m≥0的解集是(　　)
A．{x|x≤1或x≥－m} B．{x|1≤x≤－m}
C．{x|x≤－m或x≥1} D．{x|－m≤x≤1}
5．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a＜0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(　　)
A．{x|x＜－1或x＞2} B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|－1＜x＜2} D．{x|－1≤x≤2}
6．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A．0C．x<－2或x>1 D．－17．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1A. B. C. D.
8．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　　)
A. B．R
C. D．
二、多项选择题
9．下列四个不等式中，解集为R的是(　　)
A．－x2＋x－1<0 B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1
10．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则下列说法正确的是(　　)
A．B＝{x|－3C．a＝－2，b＝－1 D．a＋b＝－3
11．对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为(　　)
A． B．{x|－1C．{x|aa}
12．不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1A．{x|0C．{x|x>3} M D．{x|－2三、填空题
13．不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是________．
14．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．
15．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为－16．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围是________．
四、解答题
17．解下列不等式：
(1)－4x2＋18x－≥0；
(2)－2x2＋3x－2<0；
(3)－x2＋3x－5>0.
18．已知关于x的不等式x2－x＋1≤0.
(1)当a＝时，求关于x的不等式的解集；
(2)若a>0，求关于x的不等式的解集．
19．已知关于x的不等式x2－3x＋m<0的解集是{x|1(1)求实数m，n的值；
(2)若正数a，b满足ma＋2nb＝3，求ab的最大值．
20．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式
一、单项选择题
1．不等式4x2－12x＋9≤0的解集是(　　)
A． B．R
C. D.
答案　D
解析　原不等式可化为(2x－3)2≤0，故x＝.故选D.
2．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　原不等式等价于(x－2)≤0，解得≤x≤2，故选A.
3．不等式x2－|x|－2＜0的解集是(　　)
A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2或x＞2}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜－1或x＞1}
答案　A
解析　令t＝|x|，则原不等式可化为t2－t－2＜0，即(t－2)(t＋1)＜0.∵t＝|x|≥0，∴t－2＜0，∴t＜2.
∴|x|＜2，解得－2＜x＜2.
4．当m>1时，关于x的不等式x2＋(m－1)x－m≥0的解集是(　　)
A．{x|x≤1或x≥－m} B．{x|1≤x≤－m}
C．{x|x≤－m或x≥1} D．{x|－m≤x≤1}
答案　C
解析　不等式x2＋(m－1)x－m≥0可化为(x－1)(x＋m)≥0，∵m>1，∴－m<－1<1，∴不等式的解集为{x|x≤－m或x≥1}．
5．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a＜0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(　　)
A．{x|x＜－1或x＞2} B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|－1＜x＜2} D．{x|－1≤x≤2}
答案　D
解析　由题意知，－＝1，＝－2，∴b＝－a，c＝－2a，又a＜0，∴不等式ax2＋bx＋c≥0可化为x2－x－2≤0，∴－1≤x≤2.
6．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A．0C．x<－2或x>1 D．－1答案　B
解析　根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故x的取值范围为－27．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1A. B. C. D.
答案　A
解析　由不等式的解集为{x|x10，所以a＝.故选A.
8．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　　)
A. B．R
C. D．
答案　A
解析　因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B，C，D.
二、多项选择题
9．下列四个不等式中，解集为R的是(　　)
A．－x2＋x－1<0 B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1
答案　AC
解析　A中，Δ＝12－4×(－1)×(－1)＝－3<0，满足条件；B中，Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；C中，Δ＝62－4×10<0，满足条件；D中，不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数的图象开口向上，显然不可能．故选AC.
10．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则下列说法正确的是(　　)
A．B＝{x|－3C．a＝－2，b＝－1 D．a＋b＝－3
答案　AD
解析　由题意得，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}，故A正确，B错误；由题意知，－1,2为方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可知a＝－1，b＝－2，则a＋b＝－3，故C错误，D正确．故选AD.
11．对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为(　　)
A． B．{x|－1C．{x|aa}
答案　ABCD
解析　对于a(x－a)(x＋1)>0，当a>0时，y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向上，与x轴的交点为a，－1，故不等式的解集为{x|x<－1或x>a}；当a<0时，二次函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向下，若a＝－1，不等式的解集为 ；若－112．不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1A．{x|0C．{x|x>3} M D．{x|－2答案　BC
解析　因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－10，所以x<0或x>3，所以a(x2＋1)＋b(x－1)＋c<2ax的解集为{x|x<0或x>3}，故M＝{x|x<0或x>3}．故选BC.
三、填空题
13．不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是________．
答案　{x|－3≤x＜－2或0＜x≤1}
解析　∵即
∴－3≤x＜－2或0＜x≤1.
14．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．
答案　{x|2≤x<8}
解析　由题意解得<[x]<，又[x]表示不大于x的最大整数，所以[x]的取值为2,3,4,5,6,7，故2≤x<8.
15．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为－答案　－12　－2
解析　∵不等式ax2＋bx＋2>0的解集为－16．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围是________．
答案　－3≤k<2
解析　由x2－x－2＞0，解得x＞2或x＜－1，又由2x2＋(2k＋5)x＋5k＜0可得，(2x＋5)(x＋k)＜0，如图所示，由已知条件可得解得－3≤k＜2.
四、解答题
17．解下列不等式：
(1)－4x2＋18x－≥0；
(2)－2x2＋3x－2<0；
(3)－x2＋3x－5>0.
解　(1)原不等式可化为2≤0，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
(3)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为 .
18．已知关于x的不等式x2－x＋1≤0.
(1)当a＝时，求关于x的不等式的解集；
(2)若a>0，求关于x的不等式的解集．
解　(1)当a＝时，有x2－x＋1≤0，
即2x2－5x＋2≤0，
解得≤x≤2，故不等式的解集为.
(2)x2－x＋1≤0 (x－a)≤0，
①当0不等式的解集为；
②当a＝1时，a＝＝1，不等式的解集为{1}；
③当a>1时，a>，不等式的解集为.
综上，当0当a＝1时，不等式的解集为{1}；
当a>1时，不等式的解集为.
19．已知关于x的不等式x2－3x＋m<0的解集是{x|1(1)求实数m，n的值；
(2)若正数a，b满足ma＋2nb＝3，求ab的最大值．
解　(1)由题意可知，1，n是方程x2－3x＋m＝0的两根，所以解得m＝2，n＝2.
(2)把m＝2，n＝2代入ma＋2nb＝3，得a＋2b＝，
因为a＋2b≥2，所以≥2，
所以ab≤.
当且仅当a＝2b＝，即a＝，b＝时等号成立．
所以ab的最大值为.
20．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
解　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，
解得x>1.
②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1.
③当a>0时，原不等式化为(x－1)<0.
若a＝1，即＝1时，不等式无解；
若a>1，即<1时，解得若01时，解得1综上可知，当a<0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为.