2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试第二章 单元质量测评（解析版）

第二章一元二次函数、方程和不等式
　单元质量测评
　　时间：120分钟　　　满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若不等式a＞b与＞同时成立，则必有(　　)
A．a＞b＞0 B．0＞＞
C．a＞0＞b D.＞＞0
2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　)
A. B. C. D.
3．不等式x2－2x－5＞2x的解集是(　　)
A．{x|x≥5或x≤－1} B．{x|x＞5或x＜－1}
C．{x|－1＜x＜5} D．{x|－1≤x≤5}
4．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是(　　)
A．18 B．16 C．8 D．10
5．已知m＞0，n＞0，m＋n＝1且x＝m＋，y＝n＋，则x＋y的最小值是(　　)
A．4 B．5 C．8 D．10
6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A．0 B．1 C. D．3
7．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为 (　　)
A．{x|x<－2或x>1} B．{x|1C．{x|x<－1或x>2} D．{x|－18．在R上定义运算x*y＝x(1－y)．若关于x的不等式x*(x－a)＞0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是(　　)
A．0≤a≤2
B．－2≤a<－1或－1C．0≤a<1或1D．－2≤a≤0
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是(　　)
A．ab有最大值 B.＋有最小值
C.＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值
10．已知a>0，b>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4
C.≥2 D.>
11．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ab>0，bc－ad>0，则－>0
C．若a>b，c>d，则a－d>b－c
D．若a>b，c>d>0，则>
12．关于下列四个不等式的说法，正确的有(　　)
A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x<1或x>2}
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7D．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是{x|q三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知x＞1，比较大小：x3＋2x________x2＋2.
14．不等式0≤x2－2x－3＜5的解集为________．
15．若正实数x，y满足x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是________，最小值是________．
16．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰的价格________3枝康乃馨的价格(填“＞”“<”或“＝”)．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)若实数x，y，z满足y＋z＝3x2－4x＋6，y－z＝x2－4x＋4.试确定x，y，z的大小关系．
18．(本小题满分12分)已知函数y＝ax2＋bx＋c满足x＝1时，y＝0，且a＞b＞c，求的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知a，b，x，y均为正实数且＞，x＞y，求证：＞.
20．(本小题满分12分)已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3(1)求二次函数的解析式；
(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．
21．(本小题满分12分)某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计产销量Q(万件)与年广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝(x>0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需要再投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150%”与“年广告费的50%”之和，而当年产销量相等．
(1)试将年利润P(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
22．(本小题满分12分)已知关于x的不等式(kx－k2－4)·(x－4)>0，其中k∈R.
(1)当k变化时，试求不等式的解集A；
(2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．
第二章一元二次函数、方程和不等式
　单元质量测评
　　时间：120分钟　　　满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若不等式a＞b与＞同时成立，则必有(　　)
A．a＞b＞0 B．0＞＞
C．a＞0＞b D.＞＞0
答案　C
解析　若a＞b＞0，则＜，若0＞a＞b，则＜，所以只有当a＞0＞b时，满足＞.故选C.
2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×2＝×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．
3．不等式x2－2x－5＞2x的解集是(　　)
A．{x|x≥5或x≤－1} B．{x|x＞5或x＜－1}
C．{x|－1＜x＜5} D．{x|－1≤x≤5}
答案　B
解析　不等式x2－2x－5＞2x可化为x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1.
4．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是(　　)
A．18 B．16 C．8 D．10
答案　A
解析　x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝4y时，等号成立．
5．已知m＞0，n＞0，m＋n＝1且x＝m＋，y＝n＋，则x＋y的最小值是(　　)
A．4 B．5 C．8 D．10
答案　B
解析　依题意有x＋y＝m＋n＋＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5，当且仅当m＝n＝时取等号．故选B.
6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A．0 B．1 C. D．3
答案　B
解析　因为正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.所以＝＝≤＝1(当且仅当x2＝4y2，即x＝2y时取等号)．所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1，故选B.
7．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为 (　　)
A．{x|x<－2或x>1} B．{x|1C．{x|x<－1或x>2} D．{x|－1答案　C
解析　x＝1为ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b，∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，∴a>0，故＝>0，转化为(x＋1)(x－2)>0.∴x>2或x<－1.
8．在R上定义运算x*y＝x(1－y)．若关于x的不等式x*(x－a)＞0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是(　　)
A．0≤a≤2
B．－2≤a<－1或－1C．0≤a<1或1D．－2≤a≤0
答案　D
解析　由题意，得x*(x－a)＝x[1－(x－a)]＝x[(a＋1)－x]，所以x*(x－a)＞0，即x[x－(a＋1)]＜0.当a＝－1时，不等式的解集为空集，符合题意；当a＞－1时，不等式的解集为{x|0二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是(　　)
A．ab有最大值 B.＋有最小值
C.＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值
答案　AC
解析　∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，∴ab有最大值，∴A正确；∵ab≤，∴≤，∴(＋)2＝a＋b＋2≤1＋2×＝2，∴＋≤，∴＋有最大值，∴B错误；＋＝＝≥4，∴＋有最小值4，∴C正确；∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥，∴a2＋b2有最小值，∴D错误．故选AC.
10．已知a>0，b>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4
C.≥2 D.>
答案　ABC
解析　a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；(a＋b)≥2·2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；∵a2＋b2≥2ab>0，∴≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；∵a＋b≥2，a>0，b>0，∴≤1，≤，当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立．
11．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ab>0，bc－ad>0，则－>0
C．若a>b，c>d，则a－d>b－c
D．若a>b，c>d>0，则>
答案　BC
解析　若a>0>b,0>c>d，则ac0，bc－ad>0，则>0，化简得－>0，故B正确；若c>d，则－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，故C正确；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，＝＝－1，故D错误．故选BC.
12．关于下列四个不等式的说法，正确的有(　　)
A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x<1或x>2}
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7D．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是{x|q答案　BCD
解析　对于A，由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－，∴不等式的解集为，故错误；对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥或x≤－，故正确；对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．∴－7×(－1)＝，故a＝3，故正确；对于D，依题意得q,1是方程x2＋px－2＝0的两根，∴q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故正确．故选BCD.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知x＞1，比较大小：x3＋2x________x2＋2.
答案　＞
解析　∵x＞1，∴x3＋2x－(x2＋2)＝(x－1)(x2＋2)＞0，故x3＋2x＞x2＋2.
14．不等式0≤x2－2x－3＜5的解集为________．
答案　{x|－2＜x≤－1或3≤x＜4}
解析　由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3；
由x2－2x－3＜5得－2＜x＜4，
∴－2＜x≤－1或3≤x＜4.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或3≤x＜4}．
15．若正实数x，y满足x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是________，最小值是________．
答案　4　1
解析　由x＋y＋＋＝5，得(x＋y)＋＝5.
即5＝(x＋y)＋≥(x＋y)＋，
(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0.
解得1≤x＋y≤4.∴x＋y的最大值是4，最小值是1.
16．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰的价格________3枝康乃馨的价格(填“＞”“<”或“＝”)．
答案　＞
解析　设1枝玫瑰的价格为x元，1枝康乃馨的价格为y元，由题意可得即
设2x－3y＝m(2x＋y)＋n(x＋y)＝(2m＋n)x＋(m＋n)y，则解得
所以2x－3y＝5(2x＋y)－8(x＋y)＞5×8－5×8＝0，即2x＞3y，所以2枝玫瑰的价格高．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)若实数x，y，z满足y＋z＝3x2－4x＋6，y－z＝x2－4x＋4.试确定x，y，z的大小关系．
解　因为y－z＝x2－4x＋4＝(x－2)2≥0，所以y≥z.又y＋z＝3x2－4x＋6，y－z＝x2－4x＋4，
所以z－x＝－x＝1＋x2－x＝2＋＞0，所以z＞x，所以y≥z＞x.
18．(本小题满分12分)已知函数y＝ax2＋bx＋c满足x＝1时，y＝0，且a＞b＞c，求的取值范围．
解　函数y＝ax2＋bx＋c满足x＝1时，y＝0，则a＋b＋c＝0.
根据a＞b＞c，知若a＞b＞0＞c a＞－(a＋c)＞0＞c 1>－1－＞0＞ －2＜＜－1；
若a＞0＞b＞c a＞0＞－(a＋c)＞c 1＞0＞－1－＞ －1＜＜－；
若a＞b＝0＞c a＞－(a＋c)＝0＞c ＝－1，
综上所述，的取值范围是－2＜＜－.
19．(本小题满分12分)已知a，b，x，y均为正实数且＞，x＞y，求证：＞.
证明　∵－＝，
又∵＞且a>0，b>0，∴b＞a＞0.
又∵x＞y＞0，∴bx＞ay＞0.
∴＞0，∴＞.
20．(本小题满分12分)已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3(1)求二次函数的解析式；
(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．
解　(1)因为y>0的解集为{x|－3所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，
所以解得
所以y＝－3x2－3x＋18.
(2)因为a＝－3<0，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－.
所以当c≤－时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R.
21．(本小题满分12分)某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计产销量Q(万件)与年广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝(x>0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需要再投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150%”与“年广告费的50%”之和，而当年产销量相等．
(1)试将年利润P(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
解　(1)P＝(32Q＋3)·150%＋x·50%－(32Q＋3)－x＝－－＋49.5(x>0)．
(2)P＝－＋49.5≤－2×4＋49.5＝41.5，
当且仅当x＝时，即x＝8时，P有最大值41.5万元．
22．(本小题满分12分)已知关于x的不等式(kx－k2－4)·(x－4)>0，其中k∈R.
(1)当k变化时，试求不等式的解集A；
(2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．
解　(1)当k＝0时，A＝{x|x<4}；
当k>0且k≠2时，A＝；
当k＝2时，A＝{x|x<4或x>4}；
当k<0时，A＝.
(2)由(1)知，当k≥0时，集合B中的元素的个数无限；
当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集．
因为k＋＝－≤－4，当且仅当k＝－2时取等号，所以当k＝－2时，集合B中的元素个数最少．
此时A＝{x|－4