2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试第三章 3.2 3.2.1第2课时 函数的最大(小)值（解析版）

3.2.1 第2课时　函数的最大(小)值
一、单项选择题
1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)
A．f(－2)，0
B．0,2
C．f(－2)，2
D．f(2)，2
2．函数f(x)＝2－在区间[1,3]上的最大值是(　　)
A．2 B．3 C．－1 D．1
3．若一次函数y＝kx＋5在[－1,2]上的最小值和最大值分别为－1和8，则k的值是(　　)
A．6 B．3 C．－3 D．－4
4．函数f(x)＝的最大值是(　　)
A. B. C. D.
5．函数f(x)＝的最大值为(　　)
A．1 B．2 C. D.
6．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域是(　　)
A．[21，＋∞) B．(－∞，49]
C．[21,49] D．[21,50]
7．已知函数g(x)＝x＋a的定义域M＝{x|1≤x≤4}，对任意的x∈M，存在x0∈M使得g(x)≥g(x0)，且g(x0)＝，则g(x)在集合M上的最大值为(　　)
A. B．2 C. D．3
8．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是 (　　)
A．(0,4] B.
C. D.
二、多项选择题
9．下列关于函数f(x)＝x＋|x－1|的四种说法正确的是(　　)
A．有最小值，最小值为1 B．没有最小值
C．有最大值，最大值为10 D．没有最大值
10．对于函数f(x)＝，有下列结论，其中正确的是(　　)
A．函数f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减
B．函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减
C．函数f(x)在(0，＋∞)上既没有最小值也没有最大值
D．设a>0，则函数f(x)在(a，＋∞)上有最大值f(a)
11．已知函数f(x)＝x2＋bx，若f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等，则实数b的值可能是(　　)
A．－4 B．1 C．0 D．3
12．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，则函数f(x)的最小值可能是(　　)
A．3＋2a B．2 C．2－a2 D．6－2a
三、填空题
13．函数g(x)＝2x－的值域为________．
14．若函数f(x)在[m，n]上是单调函数，则函数f(x)在[m，n]上的最大值与最小值之差是________．
15．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a＜b＜3)上有最大值9，最小值－7，则a＝________，b＝________.
16．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，且函数f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
17．已知不等式ax2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
18. 如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m，问每间笼舍的宽度x为多少时，才能使得每间笼舍面积y达到最大？每间最大面积为多少？
19．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
20．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1.
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若a≤，设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
3.2.1 第2课时　函数的最大(小)值
一、单项选择题
1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)
A．f(－2)，0
B．0,2
C．f(－2)，2
D．f(2)，2
答案　C
解析　由图象可知，此函数的最小值是f(－2)，最大值是2.
2．函数f(x)＝2－在区间[1,3]上的最大值是(　　)
A．2 B．3 C．－1 D．1
答案　D
解析　函数f(x)＝2－在[1,3]上单调递增，∴f(x)的最大值为f(3)＝2－＝2－1＝1.故选D.
3．若一次函数y＝kx＋5在[－1,2]上的最小值和最大值分别为－1和8，则k的值是(　　)
A．6 B．3 C．－3 D．－4
答案　C
解析　检验法或将－1,2代入计算即可．
4．函数f(x)＝的最大值是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为1－x(1－x)＝x2－x＋1＝2＋≥，所以≤.故f(x)的最大值为.
5．函数f(x)＝的最大值为(　　)
A．1 B．2 C. D.
答案　B
解析　当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2，故选B.
6．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域是(　　)
A．[21，＋∞) B．(－∞，49]
C．[21,49] D．[21,50]
答案　C
解析　因为f(x)在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，所以函数f(x)＝4x2－mx＋1的对称轴方程为x＝＝－2，即m＝－16.又[1,2] [－2，＋∞)，且f(x)在[－2，＋∞)上递增．所以f(x)在[1,2]上递增，所以当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝4－m＋1＝21；当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝16－2m＋1＝49.所以f(x)在[1,2]上的值域为[21,49]．
7．已知函数g(x)＝x＋a的定义域M＝{x|1≤x≤4}，对任意的x∈M，存在x0∈M使得g(x)≥g(x0)，且g(x0)＝，则g(x)在集合M上的最大值为(　　)
A. B．2 C. D．3
答案　B
解析　由最值的定义可知，g(x)≥g(x)min＝g(x0)，又g(x)＝＋a在[1,4]上单调递增，故g(x)min＝g(1)，g(x)max＝g(4)，则有＋a＝，解得a＝1，故最大值g(4)＝2，故选B.
8．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是 (　　)
A．(0,4] B.
C. D.
答案　C
解析　∵f(x)＝x2－3x－4＝2－，∴f＝－，又f(0)＝－4，故由二次函数图象可知(如图)：m的值最小为，最大为3，即m的取值范围是，故选C.
二、多项选择题
9．下列关于函数f(x)＝x＋|x－1|的四种说法正确的是(　　)
A．有最小值，最小值为1 B．没有最小值
C．有最大值，最大值为10 D．没有最大值
答案　AD
解析　f(x)＝当x≥1时，f(x)为增函数，f(x)min＝f(1)＝1，f(x)无最大值；当x<1时，f(x)＝1，∴f(x)min＝1，f(x)无最大值．
10．对于函数f(x)＝，有下列结论，其中正确的是(　　)
A．函数f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减
B．函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减
C．函数f(x)在(0，＋∞)上既没有最小值也没有最大值
D．设a>0，则函数f(x)在(a，＋∞)上有最大值f(a)
答案　AC
解析　结合f(x)＝的图象可得A，C正确．
11．已知函数f(x)＝x2＋bx，若f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等，则实数b的值可能是(　　)
A．－4 B．1 C．0 D．3
答案　ACD
解析　由于f(x)＝x2＋bx，x∈R，则当x＝－时，f(x)min＝－，又函数y＝f(f(x))的最小值与函数y＝f(x)的最小值相等，则函数y必须要能够取到最小值，即－≤－，得到b≤0或b≥2，所以b的值可能是－4,0,3.故选ACD.
12．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，则函数f(x)的最小值可能是(　　)
A．3＋2a B．2 C．2－a2 D．6－2a
答案　AC
解析　f(x)＝(x－a)2＋2－a2的图象开口向上，且对称轴为直线x＝a.
当a≥1时，函数f(x)的大致图象如图1中的实线部分所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；
当－1当a≤－1时，函数f(x)的大致图象如图3中的实线部分所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.
于是f(x)min＝
三、填空题
13．函数g(x)＝2x－的值域为________．
答案　
解析　设＝t(t≥0)，则x＋1＝t2，即x＝t2－1，
∴y＝2t2－t－2＝22－，t≥0，
∴当t＝时，ymin＝－，
∴函数g(x)的值域为.
14．若函数f(x)在[m，n]上是单调函数，则函数f(x)在[m，n]上的最大值与最小值之差是________．
答案　|f(m)－f(n)|
解析　因为函数f(x)在[m，n]上是单调函数，所以f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)或f(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m)，所以函数f(x)在[m，n]上的最大值与最小值之差为|f(m)－f(n)|.
15．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a＜b＜3)上有最大值9，最小值－7，则a＝________，b＝________.
答案　－2　0
解析　y＝－(x－3)2＋18，∵a∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，
解得b＝0(b＝6不符合题意，舍去)．
－a2＋6a＋9＝－7，解得a＝－2(a＝8不符合题意，舍去)．
16．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，且函数f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
答案　(1,3]
解析　∵函数f(x)＝x2－6x＋8的图象的对称轴为直线x＝3，且在区间[1，a]上，f(x)min＝f(a)，∴a≤3.又a＞1，∴1＜a≤3.
四、解答题
17．已知不等式ax2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
解　解法一：若a<0，二次函数y＝ax2－x＋a的图象开口向下，y不可能恒大于0.
若a＝0，ax2－x＋a＝－x<0，不符合题意．
若a>0，二次函数y＝ax2－x＋a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝>0，
要使ax2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需ymin＝>0，解得a>.
综上，实数a的取值范围是.
解法二：ax2－x＋a>0可化为a>.
要使a>对任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需a>max，
又max＝，∴a>.
即实数a的取值范围是.
18. 如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m，问每间笼舍的宽度x为多少时，才能使得每间笼舍面积y达到最大？每间最大面积为多少？
解　由题意知笼舍的宽为x m，
则笼舍的总长为(30－3x) m，
每间笼舍的面积为
y＝x(30－3x)＝－(x－5)2＋37.5，x∈(0,10)．
当x＝5时，y取得最大值37.5，
即每间笼舍的宽度为5 m时，每间笼舍面积y达到最大，最大面积为37.5 m2.
19．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解　(1)f(x)是增函数．证明如下：
x1，x2∈[3,5]且x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为3≤x1所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数，
则f(x)max＝f(5)＝，f(x)min＝f(3)＝.
20．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1.
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若a≤，设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
解　(1)当a＝1时，
f(x)＝x2－|x|＋1
＝函数图象如图所示．由图象可知函数f(x)的单调递增区间为，.
(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.
若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，
g(a)＝f(2)＝－3.
若a≠0，则f(x)＝a2＋2a－－1，f(x)图象的对称轴为直线x＝.
当a<0时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3；
当1≤≤2，即≤a≤时，g(a)＝f＝2a－－1；
当2<，即0g(a)＝f(2)＝6a－3.
综上，g(a)＝