2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试第三章 3.1.1函数的概念（解析版）

第三章　函数的概念与性质
3.1　函数的概念及其表示
3．1.1　函数的概念
一、单项选择题
1．下列图象中表示函数图象的是(　　)
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．{x|x≥1} B．{x|x≠1}
C．{x|x≤1} D．{x|x≤1且x≠0}
3．已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，则在同一坐标系中，函数f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．0或1
4．函数y＝－x2＋1，－1≤x<2的值域是(　　)
A．(－3,0] B．(－3,1] C．[0,1] D．[1,5)
5．设f(x)＝，则＝(　　)
A．1 B．－1 C. D．－
6．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
7．已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为(　　)
A．R B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜5} D.
8．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞) B.
C. D.
二、多项选择题
9．下列四个图形中可能是函数y＝f(x)图象的是(　　)
10．下列说法中，正确的是(　　)
A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
11．下列函数中，值域为[1，＋∞)的是(　　)
A．y＝ B．y＝＋1
C．y＝ D．y＝
12．下列各组函数是同一函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝与g(x)＝x
C．f(x)＝与g(x)＝
D．f(x)＝x与g(x)＝
三、填空题
13．用区间表示下列集合：
(1)＝________；
(2){x|x<1或214．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域是________．
15．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
16．设函数f(x)＝，则f(1)＝________；若f(f(x))＝，则x＝________.
四、解答题
17．已知集合A＝{x|7－x≥0}，集合B＝{x||x|－2≠0}，求A∩B，并用区间表示出来．
18．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝＋＋4；
(2)f(x)＝.
19．求下列函数的值域：
(1)y＝＋1；
(2)y＝.
20．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值．
第三章　函数的概念与性质
3.1　函数的概念及其表示
3．1.1　函数的概念
一、单项选择题
1．下列图象中表示函数图象的是(　　)
答案　C
解析　根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应，而A，B，D都是一对多，只有C是多对一．故选C.
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．{x|x≥1} B．{x|x≠1}
C．{x|x≤1} D．{x|x≤1且x≠0}
答案　D
解析　由题意知解得∴函数的定义域为{x|x≤1且x≠0}．
3．已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，则在同一坐标系中，函数f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．0或1
答案　B
解析　函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，则在同一坐标系中，函数f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为1，故选B.
4．函数y＝－x2＋1，－1≤x<2的值域是(　　)
A．(－3,0] B．(－3,1] C．[0,1] D．[1,5)
答案　B
解析　由y＝－x2＋1，x∈[－1,2)，可知当x＝2时，ymin＝－4＋1＝－3；当x＝0时，ymax＝1.∵x≠2，∴函数的值域为(－3,1]，故选B.
5．设f(x)＝，则＝(　　)
A．1 B．－1 C. D．－
答案　B
解析　＝＝＝×＝－1.
6．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
答案　B
解析　要使g(x)＝有意义，需即0≤x＜1，故g(x)＝的定义域为[0,1)，选B.
7．已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为(　　)
A．R B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜5} D.
答案　D
解析　∵△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x＞0，∴x＜5.又两边之和大于第三边，∴2x＞10－2x，∴x＞，即此函数的定义域为.
8．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞) B.
C. D.
答案　C
解析　①当m＝0时，分母为4x＋3，此时定义域不为R，故m＝0不符合题意．②当m≠0时，由题意，得解得m>.由①②，知实数m的取值范围是.
二、多项选择题
9．下列四个图形中可能是函数y＝f(x)图象的是(　　)
答案　AD
解析　A，D都满足函数的定义；B中，当x＝0时有两个函数值与之对应，不满足函数对应的唯一性；C中，存在一个x有两个y与x对应，不满足函数对应的唯一性．故选AD.
10．下列说法中，正确的是(　　)
A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
答案　ACD
解析　由函数的概念知A，C，D正确．
11．下列函数中，值域为[1，＋∞)的是(　　)
A．y＝ B．y＝＋1
C．y＝ D．y＝
答案　BC
解析　因为y＝≠0，值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以A不满足题意；因为y＝＋1≥1，值域为[1，＋∞)，所以B满足题意；因为y＝≥1，值域为[1，＋∞)，所以C满足题意；因为y＝>0，值域为(0，＋∞)，所以D不满足题意．故选BC.
12．下列各组函数是同一函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝与g(x)＝x
C．f(x)＝与g(x)＝
D．f(x)＝x与g(x)＝
答案　AC
解析　对于A，f(x)＝x2－2x－1的定义域为R，g(s)＝s2－2s－1的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于B，f(x)＝＝－x的定义域为{x|x≤0}，g(x)＝x的定义域为{x|x≤0}，对应关系不同，不是同一函数；对于C，f(x)＝＝1的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝＝1的定义域为{x|x≠0}，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝＝|x|的定义域为R，对应关系不同，不是同一函数．故选AC.
三、填空题
13．用区间表示下列集合：
(1)＝________；
(2){x|x<1或2答案　(1)　(2)(－∞，1)∪(2,3]
解析　(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则＝.
(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或214．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域是________．
答案　(0,2)
解析　由题意知即从而0＜x＜2，于是函数g(x)的定义域为(0,2)．
15．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
答案　{－1,1,3,5,7}
解析　x∈{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，∴x＝1时，f(1)＝－1；x＝2时，f(2)＝1；x＝3时，f(3)＝3；x＝4时，f(4)＝5；x＝5时，f(5)＝7，∴f(x)∈{－1,1,3,5,7}．
16．设函数f(x)＝，则f(1)＝________；若f(f(x))＝，则x＝________.
答案　　－1
解析　f(1)＝＝；
由f(f(x))＝，即＝，
得f(x)＝1，由＝1，解得x＝－1.
四、解答题
17．已知集合A＝{x|7－x≥0}，集合B＝{x||x|－2≠0}，求A∩B，并用区间表示出来．
解　因为A＝{x|7－x≥0}＝{x|x≤7}，B＝{x||x|－2≠0}＝{x|x≠±2}，
所以A∩B＝{x|x＜－2或－2＜x＜2或2＜x≤7}，
用区间表示为A∩B＝(－∞，－2)∪(－2,2)∪(2,7]．
18．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝＋＋4；
(2)f(x)＝.
解　(1)要使函数式有意义，必须满足
即所以≤x≤，
即函数的定义域为.
(2)要使函数式有意义，必须满足
即解得
所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3,0)．
19．求下列函数的值域：
(1)y＝＋1；
(2)y＝.
解　(1)(观察法)因为≥0，所以＋1≥1，
所以y＝＋1的值域为[1，＋∞)．
(2)(分离常数法)y＝＝＝－1＋，故y＝的值域为{y|y∈R且y≠－1}．
20．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值．
解　(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f＝＋＝1.
f(3)＋f＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.