2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试第三章 3.2.2　奇偶性（解析版）

第三章 3.2.2　奇偶性
一、单项选择题
1．对于定义域为R的奇函数f(x)，下列结论成立的是(　　)
A．f(x)－f(－x)＞0 B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)＞0
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B. C．－ D.
3．函数f(x)＝－x的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
4．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,2)
5．下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝－ D．y＝x|x|
6．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－2，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　)
A．－8 B．18 C．10 D．－14
7．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是(　　)
A．f(－π)＞f(3)＞f(－2)
B．f(－π)＞f(－2)＞f(3)
C．f(3)＞f(－2)＞f(－π)
D．f(3)＞f(－π)＞f(－2)
8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)
A．f(－1)＜f(3)＜f(4) B．f(4)＜f(3)＜f(－1)
C．f(3)＜f(4)＜f(－1) D．f(－1)＜f(4)＜f(3)
二、多项选择题
9．下列函数为偶函数的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋14
10．已知函数f(x)为偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则满足f(x－1)<0的x可以是(　　)
A．0 B．1 C. D.
11．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)
A．f(7)>f(4) B．f(－8)C．f(3)f(9)
12．定义在区间(－∞，＋∞)上的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与函数f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是(　　)
A．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)
B．f(b)－f(－a)C．f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)
D．f(a)－f(－b)三、填空题
13. 设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0,6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)＜0的解集用区间表示为________．
14．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________.
15．已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________，f(－4)＝________.
16．已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝－，则函数f(x)的解析式f(x)＝________.
四、解答题
17．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝－3x2＋1；
(3)f(x)＝.
18．已知f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数．求证：f(x)在(－∞，0)上是减函数．
19．已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围．
20．已知函数f(x)＝|x－a|，g(x)＝ax(a∈R)．
(1)若函数f(x)是偶函数，求实数a的值；
(2)若方程f(x)＝g(x)有两解，求实数a的取值范围．
第三章 3.2.2　奇偶性
一、单项选择题
1．对于定义域为R的奇函数f(x)，下列结论成立的是(　　)
A．f(x)－f(－x)＞0 B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)＞0
答案　C
解析　∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0.
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　B
解析　依题意得，f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，∴a＝，∴a＋b＝.故选B.
3．函数f(x)＝－x的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
答案　C
解析　∵f(－x)＝－＋x＝－f(x)，∴f(x)＝－x是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，故选C.
4．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,2)
答案　D
解析　由题意知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(2)＝0，符合条件的f(x)的大致图象如下图：
由图象知当－25．下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝－ D．y＝x|x|
答案　D
解析　A中函数不具有奇偶性；B中函数在定义域内为减函数；C中函数在定义域内不具有单调性．故选D.
6．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－2，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　)
A．－8 B．18 C．10 D．－14
答案　D
解析　由f(x)＝x5＋ax3＋bx－2，得f(x)＋2＝x5＋ax3＋bx.令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋2，∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，∴G(x)是奇函数．∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋2＝－f(3)－2，又f(－3)＝10，∴f(3)＝－f(－3)－4＝－10－4＝－14.
7．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是(　　)
A．f(－π)＞f(3)＞f(－2)
B．f(－π)＞f(－2)＞f(3)
C．f(3)＞f(－2)＞f(－π)
D．f(3)＞f(－π)＞f(－2)
答案　A
解析　∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2＜3＜π，∴f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(－π)＞f(3)＞f(－2)．
8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)
A．f(－1)＜f(3)＜f(4) B．f(4)＜f(3)＜f(－1)
C．f(3)＜f(4)＜f(－1) D．f(－1)＜f(4)＜f(3)
答案　D
解析　因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，则f(－4)＝－f(0)，又f(x)在R上是奇函数，所以f(0)＝0，故f(－4)＝－f(0)＝0，所以f(4)＝－f(－4)＝0.由f(x)＝－f(－x)及f(x－4)＝－f(x)，得f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)＞f(0)，即f(1)＞0，所以f(－1)＝－f(1)＜0，f(3)＝f(1)＞0，于是f(－1)＜f(4)＜f(3)．
二、多项选择题
9．下列函数为偶函数的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋14
答案　AD
解析　A，D两项，函数均为偶函数；B项中函数为非奇非偶函数；而C项中函数为奇函数．故选AD.
10．已知函数f(x)为偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则满足f(x－1)<0的x可以是(　　)
A．0 B．1 C. D.
答案　BD
解析　当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝－x－1.由f(x－1)<0得或解得011．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)
A．f(7)>f(4) B．f(－8)C．f(3)f(9)
答案　BCD
解析　由题意知f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，又x∈[0，＋∞)时，f(x)为减函数，且3>2,7>4,9>0，所以f(3)f(9)，即f(3)12．定义在区间(－∞，＋∞)上的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与函数f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是(　　)
A．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)
B．f(b)－f(－a)C．f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)
D．f(a)－f(－b)答案　AC
解析　由题意可知f(a)>f(b)>0，f(－a)＝－f(a)，f(－b)＝－f(b)，g(－a)＝g(a)＝f(a)，g(－b)＝g(b)＝f(b)．所以f(b)－f(－a)＝f(b)＋f(a)，f(a)－f(－b)＝f(a)＋f(b)，g(a)－g(－b)＝g(a)－g(b)＝f(a)－f(b)，g(b)－g(－a)＝g(b)－g(a)＝f(b)－f(a)，因为f(a)＋f(b)>f(a)－f(b)，f(a)＋f(b)>f(b)－f(a)，所以f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)，f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)．故选AC.
三、填空题
13. 设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0,6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)＜0的解集用区间表示为________．
答案　[－6，－3)∪(0,3)
解析　∵奇函数f(x)在[0,6]上的图象如题图，∴满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．∵函数f(x)是奇函数，∴图象关于原点对称，∴在[－6,0]上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．
14．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________.
答案　1
解析　在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(1)＋g(1)＝1.
15．已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________，f(－4)＝________.
答案　1　12
解析　因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1.f(－4)＝(－4)2－4＝12.
16．已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝－，则函数f(x)的解析式f(x)＝________.
答案　－
解析　f(x)的定义域为∪，若f(x)是奇函数，则＝0，得q＝0.故f(x)＝，又f(2)＝－，得＝－，得p＝2，因此f(x)＝＝－.
四、解答题
17．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝－3x2＋1；
(3)f(x)＝.
解　(1)f(x)＝的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．
(2)f(x)＝－3x2＋1的定义域是R，f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)f(x)＝的定义域是[－1,0)∪(0,1]，所以f(x)的解析式可化简为f(x)＝，满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
18．已知f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数．求证：f(x)在(－∞，0)上是减函数．
证明　设x1，x2是(－∞，0)上的任意两个值，且x1＜x2，则－x1＞－x2＞0，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(－x1)＜f(－x2)．
又f(x)是奇函数，∴－f(x1)＜－f(x2)，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．
19．已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围．
解　由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，
∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又f(x)在[－1,1]上单调递减，
∴
解得
∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1)．
20．已知函数f(x)＝|x－a|，g(x)＝ax(a∈R)．
(1)若函数f(x)是偶函数，求实数a的值；
(2)若方程f(x)＝g(x)有两解，求实数a的取值范围．
解　(1)因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
即|－x－a|＝|x－a|，两边平方化简得4ax＝0.
又4ax＝0在x∈R时恒成立，所以a＝0.
(2)当a＞0时，|x－a|－ax＝0有两解等价于方程(x－a)2－a2x2＝0在(0，＋∞)上有两解．
令h(x)＝(a2－1)x2＋2ax－a2，
因为h(0)＝－a2＜0，
所以解得0＜a＜1.
同理，当a＜0时，得－1＜a＜0；当a＝0时，不符合题意，舍去．
综上，可知实数a的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．