2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试第三章 3.3幂函数（解析版）

第三章 3.3　幂函数
一、单项选择题
1．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，则k＋α＝(　　)
A. B．1 C. D．2
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是(　　)
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
3．函数y＝x eq \s\up15( ) 的图象是(　　)
4．下列结论中，正确的是(　　)
A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
5．当0A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>h(x)>f(x)
C．h(x)>f(x)>g(x) D．h(x)>g(x)>f(x)
6．幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m的值为(　　)
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1或2 D．m≠
7．已知幂函数f(x)＝xn的图象过点，且f(a＋1)A．(－3,1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
8．函数y＝x eq \s\up15( ) －1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
二、多项选择题
9．下列函数不是幂函数的是(　　)
A．y＝2x3 B．y＝2x2－1
C．y＝ D．y＝
10．已知当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xα的图象恒在直线y＝x的下方，则α的值可以是(　　)
A．－1 B．2 C. D．0
11．下列比较大小中，正确的是(　　)
A.0.5>0.5 B．() eq \s\up15(－) <() eq \s\up15(－)
C．1.2 eq \s\up15( ) <1.4 eq \s\up15( ) D．(－0.31)4>0.354
12．已知幂函数y＝xα的图象经过点(2,4)，则下列说法正确的是(　　)
A．该函数为偶函数
B．该函数为奇函数
C．当x>1时，y>1
D.>f(x1≠x2)
三、填空题
13．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＝________，n＝________.
14．若a＝ eq \s\up15( ) ，b＝ eq \s\up15( ) ，c＝(－2)3，则a，b，c的大小关系为________．
15．有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x eq \s\up15( ) .某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：
(1)偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上是增函数．
如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号)．
16．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f(x)的最小值为________．
四、解答题
17．已知幂函数f(x)＝x eq \s\up15( ) (m－2)(m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．
18．已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3) eq \s\up15(－) <(5－2a) eq \s\up15(－) 的a的取值范围．
19．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
20．若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上．
(1)求f(x)和g(x)的解析式；
(2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值以及单调区间．
第三章 3.3　幂函数
一、单项选择题
1．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，则k＋α＝(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　A
解析　由已知得k＝1，f(x)＝xα，∴f＝，即α＝，∴α＝－，∴k＋α＝1－＝，选A.
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是(　　)
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
答案　A
解析　当α＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当α＝1时，函数y＝x的定义域是R且为奇函数；当α＝时，函数y＝x eq \s\up15( ) 的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数．当α＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.
3．函数y＝x eq \s\up15( ) 的图象是(　　)
答案　B
解析　y＝x eq \s\up15( ) 是幂函数，过点(1,1)．当0＜x＜1时，x eq \s\up15( ) ＞x，当x＞1时，x eq \s\up15( ) ＜x.故选B.
4．下列结论中，正确的是(　　)
A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
答案　C
解析　当α＝－1时，幂函数不过原点，A错误；幂函数的图象不可能出现在第四象限，B错误；y＝x－1在(－∞，0)，(0，＋∞)上递减，在其整个定义域上不具有单调性，D错误，所以选C.
5．当0A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>h(x)>f(x)
C．h(x)>f(x)>g(x) D．h(x)>g(x)>f(x)
答案　D
解析　分别作出f(x)，g(x)，h(x)的大致图象如图所示，可知h(x)>g(x)>f(x)．故选D.
6．幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m的值为(　　)
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1或2 D．m≠
答案　A
解析　∵y＝(m2－m－1) xm2－2m－3为幂函数．∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又当x∈(0，＋∞)时，y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为减函数，∴m2－2m－3<0，解得－17．已知幂函数f(x)＝xn的图象过点，且f(a＋1)A．(－3,1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
答案　B
解析　因为幂函数f(x)＝xn的图象过点，所以2n＝，即2n＝2－2，解得n＝－2.因此f(x)＝x－2是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．由f(a＋1)2，解得a<－3或a>1.故选B.
8．函数y＝x eq \s\up15( ) －1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
答案　B
解析　函数y＝x eq \s\up15( ) －1的图象由幂函数y＝x eq \s\up15( ) 的图象沿y轴向下平移一个单位长度得到，则函数y＝x eq \s\up15( ) －1过点(0，－1)，(1,0)且单调递增，则函数关于x轴对称的函数的图象一定过点(0,1)，(1,0)且单调递减，故大致图象如B所示．
二、多项选择题
9．下列函数不是幂函数的是(　　)
A．y＝2x3 B．y＝2x2－1
C．y＝ D．y＝
答案　ABD
解析　y＝2x3中，x3的系数不是1，故A不是幂函数；y＝2x2－1不是xα的形式，故B不是幂函数；y＝＝x－1是幂函数；y＝＝3x－2中x－2的系数不是1，故D不是幂函数．
10．已知当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xα的图象恒在直线y＝x的下方，则α的值可以是(　　)
A．－1 B．2 C. D．0
答案　ACD
解析　由幂函数的图象特征知α<1.
11．下列比较大小中，正确的是(　　)
A.0.5>0.5 B．() eq \s\up15(－) <() eq \s\up15(－)
C．1.2 eq \s\up15( ) <1.4 eq \s\up15( ) D．(－0.31)4>0.354
答案　AC
解析　对于A，∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数，且>，∴0.5>0.5，故A正确；对于B，∵y＝x eq \s\up15(－) 为(0，＋∞)上的减函数，且<，∴() eq \s\up15(－) >() eq \s\up15(－) ，故B错误；对于C，∵y＝x eq \s\up15( ) 在[0，＋∞)上是增函数，∴1.2 eq \s\up15( ) <1.4 eq \s\up15( ) ，故C正确；对于D，因为x4为R上的偶函数，∴(－0.31)4＝0.314.又函数y＝x4在[0，＋∞)上是增函数，且0.31<0.35，∴0.314<0.354，即(－0.31)4<0.354，故D错误．故选AC.
12．已知幂函数y＝xα的图象经过点(2,4)，则下列说法正确的是(　　)
A．该函数为偶函数
B．该函数为奇函数
C．当x>1时，y>1
D.>f(x1≠x2)
答案　ACD
解析　∵y＝xα的图象经过点(2,4)，∴2α＝4，∴α＝2，∴y＝x2，该函数为偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，∴当x>1时，y>1.幂函数y＝x2在[0，＋∞)上的大致图象如图所示．设A(x1，0)，C(x2,0)，其中0EF＝，EG＝f，
由图易知EF>EG，即>f，同理可证，当x1>f也成立．
三、填空题
13．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＝________，n＝________.
答案　1　2
解析　∵y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，∴m＝1,2n－4＝0，即m＝1，n＝2.
14．若a＝ eq \s\up15( ) ，b＝ eq \s\up15( ) ，c＝(－2)3，则a，b，c的大小关系为________．
答案　a>b>c
解析　y＝x eq \s\up15( ) 是幂函数，在[0，＋∞)上递增．
∴ eq \s\up15( ) > eq \s\up15( ) >0>(－2)3，∴a>b>c.
15．有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x eq \s\up15( ) .某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：
(1)偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上是增函数．
如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号)．
答案　②
解析　对于函数①f(x)＝x－1，这是一个奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上是减函数，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②f(x)＝x－2，这是一个偶函数，其值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上是增函数，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件．
16．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f(x)的最小值为________．
答案　1
解析　在同一平面直角坐标系中作出函数
y＝x2与y＝x－2的图象，如图所示，则f(x)＝
∴f(x)在x＝－1与x＝1处均取得最小值1，即f(x)min＝1.
四、解答题
17．已知幂函数f(x)＝x eq \s\up15( ) (m－2)(m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．
解　由f(x)＝x x eq \s\up15( ) (m－2) (m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，得(m－2)<0，所以m<2.因为m∈N，所以m＝0或1，因为f(x)是偶函数，所以只有当m＝0时符合题意，故f(x)＝x eq \s\up15(－) .
18．已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3) eq \s\up15(－) <(5－2a) eq \s\up15(－) 的a的取值范围．
解　因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为(a＋3) eq \s\up15(－) <(5－2a) eq \s\up15(－) .
因为y＝x eq \s\up15(－) 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋3>5－2a>0或5－2a19．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
解　(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，依据函数y＝m2－2m－3的图象，解得－1又m∈Z，∴m＝0,1,2.
当m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数；
当m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x4.
(2)由(1)知f(x)＝x4，
则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋c－1.
∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立，
∴g(x)min>2，且x∈R.
又g(x)min＝g(－1)＝c－1，∴c－1>2，解得c>3.
故实数c的取值范围是(3，＋∞)．
20．若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上．
(1)求f(x)和g(x)的解析式；
(2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值以及单调区间．
解　(1)设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以()α＝2，
解得α＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，因为点在幂函数g(x)的图象上，所以2β＝，解得β＝－1，即g(x)＝x－1.
(2) 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象，可得函数h(x)的图象如图所示．
由题意及图象可知
h(x)＝
根据函数h(x)的解析式及图象可知，函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞)．