2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试第三章 3.4函数的应用(一)（解析版）

3.4　函数的应用(一)
一、单项选择题
1．一种商品售价上涨2%后，又下降了2%，那么这种商品的最终售价y与原来的售价x之间的函数关系为(　　)
A．y＝0.96x B．y＝0.98x
C．y＝0.9996x D．y＝x
2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元．若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000，x∈N*)
B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N*)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000，x∈N*)
D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N*)
3．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为(　　)
A．40元/件 B．42元/件
C．54元/件 D．60元/件
4．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为(　　)
A．4050元 B．4000元 C．4100元 D．4150元
5. 某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差(　　)
A．10元 B．20元 C．30元 D. 元
6．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么(　　)
A．人可在7秒内追上汽车
B．人可在10秒内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5米
D．人追不上汽车，其间距最少为7米
7．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有(　　)
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
8．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4吨时，每吨为1.8元；当用水量超过4吨时，超过的部分每吨3元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨．则y关于x的函数为(　　)
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
二、多项选择题
9．一根弹簧原长13 cm，它所挂的重量不超过16 kg，并且重量每增加1 kg，弹簧就伸长 cm，则下列关于挂重量弹簧长度y(单位：cm)与所挂重量x(单位：kg)的说法正确的是(　　)
A．y随x的增大而增大 B．y的最大值为21
C．y随x的增大而减小 D．y的最小值为13
10. 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票．行李费用y(元)与行李质量x(kg)的函数关系如图所示，则(　　)
A．y与x之间的函数关系式是y＝x－6
B．旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg
C．若一旅客携带行李的质量为70 kg，则需购买8元的行李票
D．若一旅客购买了4元的行李票，则该旅客携带行李的质量为45 kg
11.某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在如图所示的两条线段上，该股票在30天内(包括30天)的日交易量M(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示：
第t天 6 13 20 27
M(万股) 34 27 20 13
下列说法正确的是(　　)
A．第10天的股价是8元
B．日交易量M(万股)关于时间t(天)的函数关系是M＝－t＋40
C．该股票第20天时，每股的交易价格达到最大值
D．第15天时，日交易额最大，为125万元
12．国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税，则(　　)
A．纳税额y(元)与稿费x(元)之间的函数关系式为
y＝
B．稿费为4800元时，应纳税560元
C．稿费为600元时，不用纳税
D．某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为3750元或3800元
三、填空题
13. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
14．某数学练习册，定价为40元．若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券．某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为________(代金券相当于等价金额)．
15．网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．
中国鞋码实际标准(mm) 220 225 230 235 240 245 250 255
中国鞋码习惯叫法(号) 34 35 36 37 38 39 40 41
习惯称为“30号”的童鞋，对应的脚实际尺寸为________mm.
16．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．一次行驶5 km，应付________元；乘坐一次出租车付费22.6元时，出租车行驶了________km.
四、解答题
17．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量(精确到1 cm3/s)．
18．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，则游客需付给旅行社每人900元；若每团人数多于30，则给予以下优惠：每多1人，每人减少10元，直到达到规定人数75为止．旅行社需付给航空公司包机费每团15000元．
(1)写出每位游客需付的费用y(单位：元)关于每团的人数x(单位：人)的函数关系式；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
3.4　函数的应用(一)
一、单项选择题
1．一种商品售价上涨2%后，又下降了2%，那么这种商品的最终售价y与原来的售价x之间的函数关系为(　　)
A．y＝0.96x B．y＝0.98x
C．y＝0.9996x D．y＝x
答案　C
解析　由题意可得y＝x(1＋2%)(1－2%)＝0.9996x.
2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元．若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000，x∈N*)
B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N*)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000，x∈N*)
D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N*)
答案　D
解析　由题意，知变速车存车数为(2000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝0.5x＋1600－0.8x＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N*)．
3．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为(　　)
A．40元/件 B．42元/件
C．54元/件 D．60元/件
答案　B
解析　设每天获得的销售利润为y元，则y＝(x－30)·(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，所以当x＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件．
4．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为(　　)
A．4050元 B．4000元 C．4100元 D．4150元
答案　A
解析　设每辆车的月租金为x(x＞3000)元，则租赁公司月收益为
y＝(x－150)－×50，
整理得y＝－＋162x－21000＝－(x－4050)2＋307050.
∴当x＝4050时，y取最大值为307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元．
5. 某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差(　　)
A．10元 B．20元 C．30元 D. 元
答案　A
解析　设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20.B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝.t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.∴A正确．
6．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么(　　)
A．人可在7秒内追上汽车
B．人可在10秒内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5米
D．人追不上汽车，其间距最少为7米
答案　D
解析　设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值7，故选D.
7．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有(　　)
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
答案　A
解析　设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，则y＝xQ－P＝x－＝x2＋(a－5)x－1000(x>0)．由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.所以
解得
8．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4吨时，每吨为1.8元；当用水量超过4吨时，超过的部分每吨3元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨．则y关于x的函数为(　　)
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
答案　B
解析　当甲的用水量不超过4吨，即5x≤4时，乙的用水量也不超过4吨，则y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，3x≤4，且5x>4，即4时，y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝f(x)＝
二、多项选择题
9．一根弹簧原长13 cm，它所挂的重量不超过16 kg，并且重量每增加1 kg，弹簧就伸长 cm，则下列关于挂重量弹簧长度y(单位：cm)与所挂重量x(单位：kg)的说法正确的是(　　)
A．y随x的增大而增大 B．y的最大值为21
C．y随x的增大而减小 D．y的最小值为13
答案　ABD
解析　设y＝13＋kx，由题意知k＝，故y＝13＋x，自变量x的取值范围是[0,16]，故y随x的增大而增大；当x＝16时，y取得最大值21；当x＝0时，y取得最小值13.故选ABD.
10. 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票．行李费用y(元)与行李质量x(kg)的函数关系如图所示，则(　　)
A．y与x之间的函数关系式是y＝x－6
B．旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg
C．若一旅客携带行李的质量为70 kg，则需购买8元的行李票
D．若一旅客购买了4元的行李票，则该旅客携带行李的质量为45 kg
答案　BC
解析　设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由图象可知，当x＝60时，y＝6；当x＝80时，y＝10.所以解得k＝，b＝－6.所以y与x之间的函数关系式为y＝故A不正确；由y＝可知，旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg，故B正确；在y＝中，令x＝70，得y＝8，故若一旅客携带行李的质量为70 kg，则需购买8元行李票，C正确；在中，令y＝4，则x－6＝4，x＝50，故若一旅客购买了4元的行李票，则该旅客携带行李的质量为50 kg，D不正确．故选BC.
11.某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在如图所示的两条线段上，该股票在30天内(包括30天)的日交易量M(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示：
第t天 6 13 20 27
M(万股) 34 27 20 13
下列说法正确的是(　　)
A．第10天的股价是8元
B．日交易量M(万股)关于时间t(天)的函数关系是M＝－t＋40
C．该股票第20天时，每股的交易价格达到最大值
D．第15天时，日交易额最大，为125万元
答案　BCD
解析　当0≤t<20时，设函数解析式为P＝at＋b，把点(0,2)和(10,4)代入得解得∴P＝t＋2，当t＝20时，P＝6，当20≤t≤30时，设函数解析式为P＝mt＋n，把点(20,6)和(30,5)代入得解得∴P＝－t＋8，∴P＝当t＝10时，P＝4，故A错误；设M＝ct＋d(c≠0)，把点(6,34)和点(13,27)代入得解得∴M＝－t＋40，故B正确；由题图知，第20天时该股票每股的交易价格达到最大值，故C正确；
∵该股票每股交易价格P＝
日交易量M＝－t＋40，∴该股票日交易额y＝PM＝
当0≤t<20时，y＝－t2＋6t＋80；当t＝15时，ymax＝125；当20≤t≤30时，y＝t2－12t＋320；当t＝20时，ymax＝120.综上所述，在这30天内第15天日交易额最大，最大值为125，故D正确．故选BCD.
12．国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税，则(　　)
A．纳税额y(元)与稿费x(元)之间的函数关系式为
y＝
B．稿费为4800元时，应纳税560元
C．稿费为600元时，不用纳税
D．某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为3750元或3800元
答案　AC
解析　由题意知，纳税额y(元)与稿费x(元)之间的函数关系式为y＝
∵4800>4000，∴稿费为4800元时，应纳税11.2%×4800＝537.6(元)；∵600元不超过800元，∴不用纳税；令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3800，令11.2%x＝420，得x＝3750(舍去)，故这个人应得稿费(扣税前)为3800元．故选AC.
三、填空题
13. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
答案　20
解析　设矩形花园的宽为y，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．
14．某数学练习册，定价为40元．若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券．某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为________(代金券相当于等价金额)．
答案　f(x)＝
解析　当0当20≤x≤40时，f(x)＝30x－20.
所以f(x)＝.
15．网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．
中国鞋码实际标准(mm) 220 225 230 235 240 245 250 255
中国鞋码习惯叫法(号) 34 35 36 37 38 39 40 41
习惯称为“30号”的童鞋，对应的脚实际尺寸为________mm.
答案　200
解析　设脚的长度为y mm，对应的鞋码为x码，则y＝5x＋50，当x＝30时，y＝5×30＋50＝200.
16．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．一次行驶5 km，应付________元；乘坐一次出租车付费22.6元时，出租车行驶了________km.
答案　13.3　9
解析　设出租车行驶x km时，付费y元，
则y＝
当x＝5时，y＝13.3.由y＝22.6，解得x＝9.
四、解答题
17．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量(精确到1 cm3/s)．
解　(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．
(2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，所以
k＝，所以流量R的函数解析式为R＝·r4.
(3)因为R＝·r4，所以当r＝5 cm时，R＝×54≈3086(cm3/s)．
18．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，则游客需付给旅行社每人900元；若每团人数多于30，则给予以下优惠：每多1人，每人减少10元，直到达到规定人数75为止．旅行社需付给航空公司包机费每团15000元．
(1)写出每位游客需付的费用y(单位：元)关于每团的人数x(单位：人)的函数关系式；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解　(1)由题意，
得y＝
即y＝
(2)设旅行社获利S(x)元，则
S(x)＝
即S(x)＝
因为S(x)＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，
所以当x＝30时，S(x)取最大值12000元．
又在区间(30,75]上，S(x)＝－10(x－60)2＋21000，
所以当x＝60时，S(x)取得最大值21000，
故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润．