2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试第三章 3.2.1 第1课时函数的单调性（解析版）

3.2　函数的基本性质
3．2.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
一、单项选择题
1．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上(　　)
A．必是增函数 B．必是减函数
C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性
2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　　)
A．y＝5－x B．y＝
C．y＝x2＋2 D．y＝－|x|
4．函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2均有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，则f(x)在(a，b)上是(　　)
A．减函数
B．增函数
C．既不是增函数也不是减函数
D．常数函数
5．若二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－2]
C．[－1，＋∞) D．[－2，＋∞)
6．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(x2－2x)A．[－1,3] B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3,3) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
7．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,1)
C．(0,1) D．(0,1]
8．已知f(x)＝是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.∪
二、多项选择题
9．关于函数f(x)＝的结论，正确的是(　　)
A．定义域是[－1,6]
B．单调递减区间是[0,6]
C．值域是(0，＋∞)
D．单调递增区间是
10．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)和g(x)在R上具有相反的单调性
B．函数f(g(x))和g(f(x))在R上具有相反的单调性
C．函数f(g(x))和g(f(x))在R上具有相同的单调性
D．函数f(g(x))和g(f(x))在R上都是单调函数
11．下列函数在区间(0，＋∞)上是增函数的是(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1
C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1
12．已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a，b的取值可以是(　　)
A．a＝1，b> B．0C．a＝－1，b＝2 D．a＝，b＝1
三、填空题
13. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象可知y＝f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
14．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调________函数．
15．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.
16．若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
17．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间．
18．若函数f(x)＝是减函数，求实数a的取值范围．
19．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．
20．函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)＞1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)<3.
3.2　函数的基本性质
3．2.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
一、单项选择题
1．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上(　　)
A．必是增函数 B．必是减函数
C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性
答案　D
解析　例如y＝－在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．
2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
答案　B
解析　易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调递减区间是(1，＋∞)．
3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　　)
A．y＝5－x B．y＝
C．y＝x2＋2 D．y＝－|x|
答案　C
解析　A，B，D中的函数在(0,2)上是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0,2)上是增函数．
4．函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2均有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，则f(x)在(a，b)上是(　　)
A．减函数
B．增函数
C．既不是增函数也不是减函数
D．常数函数
答案　A
解析　因为(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，所以或即当x1f(x2)或当x1>x2时，f(x1)5．若二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－2]
C．[－1，＋∞) D．[－2，＋∞)
答案　B
解析　二次函数的对称轴方程为x＝－，由题意知－≥1，即a≤－2，故a的取值范围是(－∞，－2]．
6．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(x2－2x)A．[－1,3] B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3,3) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
答案　B
解析　因为f(x)为R上的减函数，且f(x2－2x)3，即x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，所以满足f(x2－2x)7．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,1)
C．(0,1) D．(0,1]
答案　D
解析　由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，得a≤1.由函数g(x)＝在[1,2]上是减函数，得a>0，故a的取值范围为(0,1]．
8．已知f(x)＝是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.∪
答案　C
解析　要使f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件：①g(x)＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上为减函数；②h(x)＝－x＋1在[1，＋∞)上为减函数；③g(1)≥h(1)．
所以所以≤a＜.
二、多项选择题
9．关于函数f(x)＝的结论，正确的是(　　)
A．定义域是[－1,6]
B．单调递减区间是[0,6]
C．值域是(0，＋∞)
D．单调递增区间是
答案　AD
解析　由题意知－x2＋5x＋6≥0，所以(x－6)(x＋1)≤0，所以－1≤x≤6.函数y＝－x2＋5x＋6图象的对称轴是直线x＝，开口向下，在区间[－1,6]上，所以f(x)的单调递增区间是，单调递减区间为，易知函数f(x)的值域为.故选AD.
10．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)和g(x)在R上具有相反的单调性
B．函数f(g(x))和g(f(x))在R上具有相反的单调性
C．函数f(g(x))和g(f(x))在R上具有相同的单调性
D．函数f(g(x))和g(f(x))在R上都是单调函数
答案　ACD
解析　易知A正确；而f(g(x))＝1－2x，g(f(x))＝2－2x，故f(g(x))和g(f(x))都是单调函数且具有相同的单调性．故选ACD.
11．下列函数在区间(0，＋∞)上是增函数的是(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1
C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1
答案　ABD
解析　函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其他函数在(0，＋∞)上是增函数．
12．已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a，b的取值可以是(　　)
A．a＝1，b> B．0C．a＝－1，b＝2 D．a＝，b＝1
答案　ABD
解析　根据题意，函数f(x)＝＝＝＋，其定义域为，若函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，必有－≤－2且3－<0，即03，据此分析A，B，D符合．故选ABD.
三、填空题
13. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象可知y＝f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
答案　[－2,1)，[3,5]　[－5，－2)，[1,3)(开区间，闭区间，半开半闭区间均正确)
解析　由单调性的几何意义知，函数y＝f(x)的单调递增区间是[－2，1)，[3,5]，单调递减区间是[－5，－2)，[1,3)．
14．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调________函数．
答案　减
解析　y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，
∴a<0，b<0，y＝ax2＋bx＝a2－，
对称轴x＝－<0，
∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调减函数．
15．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.
答案　－6
解析　作出函数f(x)＝|2x＋a|的图象，大致如图，根据图象可得函数的单调递增区间为，即－＝3，a＝－6.
16．若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案　(0,3]
解析　当x≥1时，函数f(x)＝x2＋1单调递增．要使f(x)＝在R上单调递增．
则满足即故0＜a≤3，
即a的取值范围是(0,3]．
四、解答题
17．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间．
解　f(x)＝的图象如图所示，由图象可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．
18．若函数f(x)＝是减函数，求实数a的取值范围．
解　由题意可得
解得－3≤a≤－1，则实数a的取值范围是[－3，－1]．
19．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．
解　(1)由x2－1≠0，得x≠±1，
所以函数f(x)＝的定义域为{x∈R|x≠±1}．
(2)函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x2>x1>1，所以x－1>0，x－1>0，x2－x1>0，x2＋x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
20．函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)＞1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)<3.
解　(1)证明：设x1，x2∈R，且x1则x2－x1>0，f(x2－x1)＞1.
∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)
＝f(x2－x1)－1>0.
∴f(x2)>f(x1)．故f(x)在R上是增函数．
(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
∴原不等式可化为f(3m－2)∵f(x)在R上是增函数，
∴(3m－2)<2，解得m＜.
故不等式的解集为.