2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试第三章 函数的概念与性质 单元质量测评（解析版）

第三章　函数的概念与性质
单元质量测评
　　时间：120分钟　　　满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各组中的函数f(x)与g(x)是同一个关于x的函数的是(　　)
A．f(x)＝x－1，g(x)＝－1
B．f(x)＝2x－1，g(x)＝2x＋1
C．f(x)＝x2，g(x)＝
D．f(x)＝1，g(x)＝x0
2．已知函数y＝f(x＋1)定义域是[－2,3]，则y＝f(x－1)的定义域是(　　)
A．[0,5] B．[－1,4]
C．[－3,2] D．[－2,3]
3．设f(x)＝则f(5)的值是(　　)
A．24 B．21 C．18 D．16
4．有关函数单调性的叙述中，正确的是(　　)
A．y＝－在定义域上为增函数
B．y＝在[0，＋∞)上为增函数
C．y＝－3x2－6x的减区间为[－1，＋∞)
D．y＝ax＋3在(－∞，＋∞)上必为增函数
5．若函数f(x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是(　　)
A．f>f(a2－a＋1) B．f≥f(a2－a＋1)
C．f6．函数y＝ax2＋a与y＝(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(　　)
7．已知函数f(x)＝x2－4x＋10，x∈[－1，m]，并且f(x)的最小值为f(m)，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,2] B．(－1，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，－1)
8．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是(　　)
A．fB．f(－1)C．f(2)D．f(2)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9. 函数y＝f(x)的图象如图所示，则以下描述正确的是(　　)
A．函数f(x)的定义域为[－4,4)
B．函数f(x)的值域为[0，＋∞)
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应
10．已知狄利克雷函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的值域为[0,1] B．f(x)的定义域为R
C．f(x＋1)＝f(x) D．f(x)是奇函数
11．已知函数f(x)＝若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的值可以是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
12．函数f(x)＝|x|－(a∈R)的大致图象可能是(　　)
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx，若f(2)＝－3，则m的值为________．
14．已知幂函数f(x)＝x eq \s\up15( ) ，若f(10－2a)15．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调减区间是________，单调增区间是________．
16．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a的值为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设定义在[－3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数，若f(1－m)18．(本小题满分12分)(1)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋6，求f(x)的解析式；
(2)已知函数f(x)满足2f(x)－f＝mx，求函数f(x)的解析式．
19．(本小题满分12分)已知f(x)＝(a≠0)，x∈(－1，1)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若a＝1，求f(x)在上的最大值和最小值．
20．(本小题满分12分)某化学试剂厂 以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；
(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－4x－4.
(1)若x∈[0,5]，求f(x)的值域；
(2)若x∈[t，t＋1](t∈R)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式．
22．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1图象的上方，试确定实数m的取值范围．
第三章　函数的概念与性质
单元质量测评
　　时间：120分钟　　　满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各组中的函数f(x)与g(x)是同一个关于x的函数的是(　　)
A．f(x)＝x－1，g(x)＝－1
B．f(x)＝2x－1，g(x)＝2x＋1
C．f(x)＝x2，g(x)＝
D．f(x)＝1，g(x)＝x0
答案　C
解析　A中的f(x)＝x－1与g(x)＝－1定义域不同；B中的f(x)＝2x－1与g(x)＝2x＋1解析式不同；C中的f(x)＝x2与g(x)＝定义域相同，且＝x2，故是同一个函数；D中的f(x)＝1与g(x)＝x0定义域不同．故选C.
2．已知函数y＝f(x＋1)定义域是[－2,3]，则y＝f(x－1)的定义域是(　　)
A．[0,5] B．[－1,4]
C．[－3,2] D．[－2,3]
答案　A
解析　由题意知，－2≤x≤3，∴－1≤x＋1≤4.∴－1≤x－1≤4，得0≤x≤5，即y＝f(x－1)的定义域为[0,5]．
3．设f(x)＝则f(5)的值是(　　)
A．24 B．21 C．18 D．16
答案　A
解析　f(5)＝f(f(10))，∵f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，∴f(5)＝f(21)＝24.选A.
4．有关函数单调性的叙述中，正确的是(　　)
A．y＝－在定义域上为增函数
B．y＝在[0，＋∞)上为增函数
C．y＝－3x2－6x的减区间为[－1，＋∞)
D．y＝ax＋3在(－∞，＋∞)上必为增函数
答案　C
解析　对于A，其定义域为不含0的两个区间，在各自的区间上都是增函数，但不能说在整个定义域上为增函数；对于B，在[0，＋∞)上为减函数；对于C，因为y＝－3x2－6x＝－3(x＋1)2＋3，可求得减区间为[－1，＋∞)；对于D，增减性与a的取值有关．故选C.
5．若函数f(x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是(　　)
A．f>f(a2－a＋1) B．f≥f(a2－a＋1)
C．f答案　B
解析　∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且a2－a＋1＝2＋≥>0，∴f(a2－a＋1)≤f.
6．函数y＝ax2＋a与y＝(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(　　)
答案　D
解析　当a>0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝0，顶点坐标为(0，a)，可排除A，C；当a<0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向下，且对称轴为直线x＝0，顶点坐标为(0，a)，函数y＝的图象在第二、四象限，排除B.故选D.
7．已知函数f(x)＝x2－4x＋10，x∈[－1，m]，并且f(x)的最小值为f(m)，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,2] B．(－1，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，－1)
答案　A
解析　f(x)＝x2－4x＋10＝(x－2)2＋6，x∈[－1，m]，对称轴x＝2，且f(x)min＝f(m)，∴－18．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是(　　)
A．fB．f(－1)C．f(2)D．f(2)答案　D
解析　因为f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又－2<－<－1，且函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，所以f(－2)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9. 函数y＝f(x)的图象如图所示，则以下描述正确的是(　　)
A．函数f(x)的定义域为[－4,4)
B．函数f(x)的值域为[0，＋∞)
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应
答案　BD
解析　由图可知，函数f(x)的定义域为[－4,0]∪[1,4)，故A错误；函数f(x)的值域为[0，＋∞)，故B正确；函数f(x)在定义域内不是单调函数，有两个单调增区间为[－4,0]，[1,4)，故C错误；对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应，故D正确．故选BD.
10．已知狄利克雷函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的值域为[0,1] B．f(x)的定义域为R
C．f(x＋1)＝f(x) D．f(x)是奇函数
答案　BC
解析　根据分段函数的定义域为每段函数的并集可知，函数的定义域为全体有理数与无理数的并集即R，故函数的定义域为R，值域为{1,0}；当x为有理数时，x＋1也为有理数，则f(x＋1)＝f(x)＝1，当x为无理数时，x＋1也为无理数，则f(x＋1)＝f(x)＝0，从而有f(x＋1)＝f(x)；x为有理数时，－x也为有理数，则f(－x)＝f(x)＝1，不满足f(－x)＝－f(x)，故选BC.
11．已知函数f(x)＝若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的值可以是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　BCD
解析　当x>1时，f(x)＝x＋＋a≥4＋a，当且仅当x＝2时，等号成立，当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋9为二次函数，要想在x＝1处取得最小值，则对称轴要满足x＝a≥1且f(1)≤4＋a，即1－2a＋9≤a＋4，∴a≥2，故选BCD.
12．函数f(x)＝|x|－(a∈R)的大致图象可能是(　　)
答案　ABD
解析　函数的定义域为{x|x≠0}，当a＝0时，f(x)＝|x|(x≠0)，此时对应的图象为A；当x→＋∞，f(x)→＋∞，排除C；当a>0时，f(x)＝|x|－＝即当x>0时，函数f(x)为增函数，当x<0时，为对勾函数，则此时对应的图象为D；当a<0，当x>0时，函数f(x)＝x－为对勾函数，当x<0时，f(x)＝－x－为减函数，则此时对应的图象为B.故选ABD.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx，若f(2)＝－3，则m的值为________．
答案　
解析　因为f(x)是奇函数，f(2)＝－3，所以f(－2)＝－f(2)＝3，即f(－2)＝(－2)2－2m＝3，解得m＝.
14．已知幂函数f(x)＝x eq \s\up15( ) ，若f(10－2a)答案　(3,5]
解析　因为f(x)＝x eq \s\up15( ) (x≥0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(10－2a)所以解得所以315．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调减区间是________，单调增区间是________．
答案　，　，
解析　函数f(x)＝的图象如图所示，故f(x)的单调减区间为，，单调增区间为，.
16．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a的值为________．
答案　－3或
解析　f(x)的对称轴为直线x＝－1.
当a＞0时，f(x)max＝f(2)＝4，解得a＝；
当a＜0时，f(x)max＝f(－1)＝4，解得a＝－3.
综上，得a＝或a＝－3.
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设定义在[－3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数，若f(1－m)解　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,3]上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上是减函数．
所以不等式f(1－m)解得－2≤m＜.
所以实数m的取值范围为.
18．(本小题满分12分)(1)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋6，求f(x)的解析式；
(2)已知函数f(x)满足2f(x)－f＝mx，求函数f(x)的解析式．
解　(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6，于是有解得或所以f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6.
(2)以替换等式2f(x)－f＝mx中的x，得2f－f(x)＝，与2f(x)－f＝mx联立成方程组，解得f(x)＝＋.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝＋.
19．(本小题满分12分)已知f(x)＝(a≠0)，x∈(－1，1)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若a＝1，求f(x)在上的最大值和最小值．
解　(1)设－1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
∵－1∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0，
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)>f(x2)，f(x)在(－1，1)上是减函数；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(2)当a＝1时，f(x)＝，由(1)知f(x)在上是减函数，故f(x)的最大值为f＝，最小值为f＝－.
20．(本小题满分12分)某化学试剂厂 以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；
(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润．
解　(1)由题意可知，2≥30.
所以5x2－14x－3＝(5x＋1)(x－3)≥0，
所以x≤－或x≥3.
又1≤x≤10，所以3≤x≤10.
(2)易知获得的利润y＝
＝120，x∈[1,10]，
令t＝∈，则y＝120(－3t2＋t＋5)．
当t＝，即x＝6时，ymax＝610，
故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－4x－4.
(1)若x∈[0,5]，求f(x)的值域；
(2)若x∈[t，t＋1](t∈R)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式．
解　(1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8，
对称轴x＝2，开口向上，
f(x)在[0,2)上递减，在[2,5]上递增，
∴f(x)的最小值是f(2)＝－8，f(x)的最大值是f(5)＝1，故f(x)的值域为[－8,1]．
(2)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8，
即二次函数图象开口向上，对称轴为x＝2，最小值为－8，过点(0，－4)，结合二次函数的图象可知：
当t＋1<2，即t<1时，f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1](t∈R)，
在x＝t＋1处取最小值f(t＋1)＝t2－2t－7；
当即1≤t≤2时，f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1](t∈R)在x＝2处取最小值－8；
当t>2时，f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1](t∈R)在x＝t处取最小值f(t)＝t2－4t－4.
综上可得，g(t)＝
22．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1图象的上方，试确定实数m的取值范围．
解　(1)由题意设f(x)＝a(x－1)2＋1，
将点(0,3)的坐标代入得a＝2，
所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
(2)由(1)知f(x)的对称轴为直线x＝1，
所以2a＜1＜a＋1，所以0＜a＜.
即实数a的取值范围为.
(3)f(x)－2x－2m－1＝2x2－6x－2m＋2，
由题意得2x2－6x－2m＋2＞0对于任意x∈[－1,1]恒成立，
所以x2－3x＋1＞m对于任意x∈[－1,1]恒成立，
令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]，
则g(x)min＝g(1)＝－1，
所以m＜－1，故实数m的取值范围为(－∞，－1)．