2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试第三章3.1.2函数的表示法（解析版）

第三章 3.1.2　函数的表示法
一、单项选择题
1．已知f(x)＝则f(f(－7))的值为(　　)
A．100 B．10 C．－10 D．－100
2．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是(　　)
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
3．函数y＝的图象的大致形状是(　　)
4．已知f(1－2x)＝，则f的值为(　　)
A．4 B. C．16 D.
5．已知函数f(x)由下表给出，则满足f(f(x))>f(3)的x的值为(　　)
x 1 2 3
f(x) 2 3 1
A．1或3 B．1或2 C．2 D．3
6．若函数f(x)＝则满足f(a)＝1的实数a的值为(　　)
A．－1 B．1 C．－2 D．2
7．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是(　　)
8．已知f(x)＝则f＋f等于(　　)
A．－2 B．4 C．2 D．－4
二、多项选择题
9．下列给出的式子是分段函数的是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
10．若一次函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为(　　)
A. B.
C．(－1,2) D．(－2,1)
11．若函数f(x)＝则下列给出的x值不满足f(x)＝2的是(　　)
A．1 B．4 C．－1 D.
12．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少
C．甲车以80 km/h的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80 km/h.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
三、填空题
13．已知g(x－1)＝2x＋6，则g(3)＝________.
14．函数f(x)＝的定义域为________，值域为________．
15．函数f(x)＝若f(a)＜－3，则a的取值范围是________．
16．已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f＋x，则f(x)的解析式为________________．
四、解答题
17．已知f(x)＝g(x)＝
求f(g(x))的函数解析式．
18．求下列函数的解析式：
(1)已知f＝＋，求f(x)；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
19．已知函数f(x)＝
(1)求f(－1)，f，f(4)的值；
(2)求函数的定义域、值域．
20．(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)满足3f(x)＋2f(－x)＝4x，求f(x)的解析式．
第三章 3.1.2　函数的表示法
一、单项选择题
1．已知f(x)＝则f(f(－7))的值为(　　)
A．100 B．10 C．－10 D．－100
答案　A
解析　因为f(－7)＝10，所以f(f(－7))＝f(10)＝10×10＝100，故选A.
2．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是(　　)
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
答案　A
解析　解法一：设t＝x－1，则x＝t＋1，∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.
解法二：∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.故选A.
3．函数y＝的图象的大致形状是(　　)
答案　A
解析　因为y＝＝所以函数的图象为A.
4．已知f(1－2x)＝，则f的值为(　　)
A．4 B. C．16 D.
答案　C
解析　令1－2x＝可得x＝，∴f＝＝16，故选C.
5．已知函数f(x)由下表给出，则满足f(f(x))>f(3)的x的值为(　　)
x 1 2 3
f(x) 2 3 1
A．1或3 B．1或2 C．2 D．3
答案　A
解析　由表知f(3)＝1，要使f(f(x))>f(3)，必有f(x)＝1或f(x)＝2，所以x＝3或x＝1.
6．若函数f(x)＝则满足f(a)＝1的实数a的值为(　　)
A．－1 B．1 C．－2 D．2
答案　A
解析　当a＞0时，f(a)＝2不符合，当a≤0时，a2＝1，∴a＝－1，故选A.
7．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是(　　)
答案　B
解析　A中是同时到达；B中乌龟到达时，兔子还没到；C中乌龟到达时，兔子还在睡觉；D中兔子先到，乌龟后到．
8．已知f(x)＝则f＋f等于(　　)
A．－2 B．4 C．2 D．－4
答案　B
解析　∵f(x)＝∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，∴f＋f＝＋＝4.
二、多项选择题
9．下列给出的式子是分段函数的是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
答案　AD
解析　根据分段函数的定义可知A，D正确．
10．若一次函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为(　　)
A. B.
C．(－1,2) D．(－2,1)
答案　ABC
解析　设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由该函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，得解得所以此函数的解析式为y＝2x＋4，A，B，C中点的坐标符合此函数的解析式．故选ABC.
11．若函数f(x)＝则下列给出的x值不满足f(x)＝2的是(　　)
A．1 B．4 C．－1 D.
答案　BC
解析　当0≤x≤1时，由2x2＝2，得x＝1(x＝－1舍去)；1<<2，而当12，而当x≥2时，f(x)＝3恒成立．故选BC.
12．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少
C．甲车以80 km/h的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80 km/h.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
答案　BD
解析　对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，A错误；对于选项B，由图可知甲车消耗汽油最少，B正确；对于选项C，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8升汽油，C错误；对于选项D，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，D正确．故选BD.
三、填空题
13．已知g(x－1)＝2x＋6，则g(3)＝________.
答案　14
解析　解法一：令x－1＝t，则x＝t＋1，有g(t)＝2(t＋1)＋6＝2t＋8，∴g(x)＝2x＋8，∴g(3)＝2×3＋8＝14.
解法二：令x＝4，则g(3)＝2×4＋6＝14.
14．函数f(x)＝的定义域为________，值域为________．
答案　(－1,1)　(－1,1)
解析　由已知得定义域为{x|015．函数f(x)＝若f(a)＜－3，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，－3)
解析　当a≤－2时，f(a)＝a＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，此时不等式无解；
当a≥4时，f(a)＝3a＜－3，此时不等式无解．
所以a的取值范围是(－∞，－3)．
16．已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f＋x，则f(x)的解析式为________________．
答案　f(x)＝－(x≠0)
解析　∵f(x)＝2f＋x，①
∴将x换成，得f＝2f(x)＋.②
由①②消去f，得f(x)＝－－，
即f(x)＝－(x≠0)．
四、解答题
17．已知f(x)＝g(x)＝
求f(g(x))的函数解析式．
解　当x≥0时，g(x)＝x，∴f(g(x))＝f(x)＝x2.
当x<0时，g(x)＝－x2，
∴f(g(x))＝f(－x2)＝－x2，
∴f(g(x))＝
18．求下列函数的解析式：
(1)已知f＝＋，求f(x)；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
解　(1)解法一：(换元法)令t＝＝＋1，则t≠1.
把x＝代入f＝＋，
得f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.
∴所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
解法二：(配凑法)
∵f＝＋＝
2－＝2－＋1，
∴f(x)＝x2－x＋1.
又＝＋1≠1，
∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
(2)解法一：(换元法)令＋1＝t(t≥1)，
则x＝(t－1)2，
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
解法二：(配凑法)∵x＋2＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1.
又＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
19．已知函数f(x)＝
(1)求f(－1)，f，f(4)的值；
(2)求函数的定义域、值域．
解　(1)易知f(－1)＝0，f＝－×＝－，f(4)＝3.
(2)作出图象如图所示．利用“数形结合”，易知f(x)的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1,2]∪{3}．
20．(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)满足3f(x)＋2f(－x)＝4x，求f(x)的解析式．
解　(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，所以a＝2.
因为8a＋b＝21，所以b＝5，所以f(x)＝2x＋5.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝1，得c＝1.
又f(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，
所以f(x)＝－2x2－2x＋1.
(3)3f(x)＋2f(－x)＝4x，　　　　　　　　①
用－x代换x，得3f(－x)＋2f(x)＝－4x, ②
1 ×3－②×2，得5f(x)＝20x，所以f(x)＝4x.