备战2008中考开放性问题专题(广西壮族自治区桂林市全州县)

中考百分百——备战2008中考专题
（开放性问题专题）
一．知识网络梳理
教育部于1999、2000年接连印发的《关于初中毕业、升学考试改革的指导意见》中明确要求，数学试题应设计一定的“开放性问题”．此后，开放型试题成为各地中考的必考试题．所谓的开放型试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题，常见的类型有条件观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论，对激发学习兴趣、培养想像、扩散、概括、隐喻等水平思维能力的探索创新能力十分有利，是今后中考的必考的题型．
开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题．观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用．
开放题是中考题多样化和时代发展要求的产物，单一的题型和测试目标限制了考生应用知识解决实际问题的能力，不利于激发学生的创造性．开放性试题能为考生提供更大的考虑问题的空间，在解题途径方面也是多样的，这样的试题是十分有利于考生发挥水平的，也有利于考生创新意识的培养．
开放题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结构的多样性，它是开放题的目标；思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径；知识的综合性，它是开放题的深化；情景的模拟性，它是开放题的实践；内涵的发展性，它是开放题的认识．过程开放或结论开放的问题能形成考生积极探究问题情景，鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题，有助于充分调动学生的潜在能力．
题型1?条件开放与探索
条件开放探索题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是得出结论的必要条件，所需补充的条件不能由结论推出．
题型2?结论开放与探索
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力．
题型3?解题方法的开放与探索
策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程．
二、知识运用举例
（一）条件开放
例1.(04苏州) 已知（x1，y1），(x2，y2)为反比例函数图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为___________（只需写出符号条件的一个k的值）
解： 答案不唯一，只要符合k＜0即可，如k＝ —1，或k＝ —2……．
例2.(05深圳市) 如图，已知，在△ABC和△DCB中，AC＝DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是__．
例2图
解：答案不惟一.如：AB＝DC；∠ACB＝∠DBC；∠A＝∠D＝Rt∠…．
例3（07南京市）已知点位于第二象限，并且，为整数，写出一个符合上述条件的点的坐标： ．
答：，，，，，六个中任意写出一个即可
例4（05梅州）如图，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点．
（1）如果__________ ，则ΔDEC≌ΔBFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；
（2）证明你的结论．
分析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件．
解：（1）AE＝CF（OE＝OF；DE⊥AC；BF⊥AC；DE∥BF等等）
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DCE＝∠BAF
又∵AE＝CF，∴AC－AE＝AC－CF，∴AF＝CE，∴ΔDEC≌ΔBAF
说明：考查了矩形的性质及三角形全等的判定．
例5（06泰州市）已知：∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x．
（1）如图（1）当x取何值时，⊙O与AM相切；
（2）如图（2）当x为何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°．
( http: / / blog. / user / 925 / index.html )
【解答】（1）在图（1）中，当⊙O与AM相切时，设切点为F．
连结OF，则OF⊥AM，∵在Rt△AOF中，∠MAN＝30°，
∴OF＝OA．∴2＝（x＋2），∴x＝2，
∴当x＝2时，⊙O与AM相切．
（2）在图（2）中，过点O作OH⊥BC于H．
当∠BOC＝90°时，△BOC是等腰直角三角形，
∴BC＝＝2，
∵OH⊥BC，∴BH＝CH，∴OH＝BC＝．
在Rt△AHO中，∠A＝30°，
∴OH＝OA，∴＝（x＋2），∴x＝2－2．
∴当x＝2－2时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°．
【点评】解答这类问题往往是把结论反过来当条件用，本例利用了圆的切线性质和垂径定理，构造特殊直角三角形，使问题得以求解．
（二）、结论开放
例1（05湖南湘潭）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，D为垂足．由以上两个条件可得________．(写出一个结论)
解：∠1＝∠2或BD＝DC或△ABD≌△ACD等．
例2（04徐州）如图，◎Ol与◎O2相交于点A、B，顺次连结0l、A、02、B四点，得四边形01A02B．
（1）根据我们学习矩形、菱形、正方形性质时所获得的经验，探求图中的四边形有哪
些性质 (用文字语言写出4条性质)
性质1．________________________________； ( http: / / blog. / user / 925 / index.html )
性质2．________________________________；
性质3．________________________________；
性质4．________________________________．
（2）设◎O1的半径为尺，◎O2的半径为r(R＞r)，0l，02的距离为d．当d变化时，
四边形01A02B的形状也会发生变化．要使四边形01A02B是凸四边形(把四边
形的任一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线同一旁的四边形)．则d的取
值范围是____________________________
解：（1）是开放性问题，答案有许多，如：
性质1：相交两圆连心线垂直公共弦；
性质2：相交两圆连心线平分公共弦；
性质3：线段01A＝线段01B；
性质4：线段02B＝线段02A；
性质5：∠01A02＝∠01B02；
等等．
（2）实质是相交两圆的d与R＋r的关系，应为R—r＜d＜R＋r．
例3（06莆田市）已知矩形ABCD和点P，当点P在边BC上任一位置（如图①所示）时，易证得结论：PA2＋PC2＝PB2＋PD2，请你探究：当P点分别在图②、图③中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图②证明你的结论．
答：对图②的探究结论为__________．
对图③的探究结论为_________．
证明：如图2．
结论均是：PA2＋PC2＝PB2＋PD2．
证明：如图②过点P作MN⊥AD交AD于点M，交BC于点N．
∵AD∥BC，MN⊥AD，∴MN⊥BC
在Rt△AMP中，PA2＝PM2＋MA2
在Rt△BNP中，PB2＝PN2＋BN2
在Rt△DMP中，PD2＝DM2＋PM2
在Rt△CNP中，PC2＝PN2＋NC2
∴PA2＋PC2＝PM2＋MA2＋PN2＋NC2
PB2＋PD2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2
∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC．
∴四边形MNCD是矩形．
∴MD＝NC．
同理 AM＝BN．
∴PM2＋MA2＋PN2＋NC2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2．
即PA2＋PC2＝PB2＋PD2．
【评析】本题也是一道结论开放题，通过阅读题目已知条件及要求，不难探究出正确结论，但是说明理由时，有一定的难度．正确作出辅助线，创造使用勾股的条件，是解决问题的关键．
（三）、综合开放
例1（05宁波）如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G.试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．
解：△BCF≌△CBD. △BHF≌△CHD. △BDA≌△CFA. (注意答案不唯一)
证明△BCF≌△CBD．
∵AB＝AC.　　∴∠ABC＝∠ACB. －
∵BD、CF是角平分线.　　∴∠BCF＝∠ACB，∠CBD＝∠ABC．
∴∠BCF＝∠CBD. 又BC＝CB.　　∴△BCF≌△CBD．
例2（05江西省）已知抛物线与轴的交点为A、B（B在A的右边），与轴的交点为C．
（1）写出时与抛物线有关的三个正确结论；
（2）当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）请你提出一个对任意的值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分有差异）．
解：当m＝1时，抛物线解析式为y＝－＋1，可从对称轴、顶点坐标、开口方向、最值、增减性等多方面去写出许多正确结论，任写三个就可；（2）存在．m＝2；（3）是结论开放题，答案有许多，如：抛物线y＝－＋1与x轴总有交点，顶点纵坐标为1或函数最大值为1等．
例3（07福州市）如图9，直线，连结，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连结，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角．）
（1）当动点落在第①部分时，求证：；
（2）当动点落在第②部分时，是否成立（直接回答成立或不成立）？
（3）当动点在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
解：（1）解法一：如图9－1
延长BP交直线AC于点E
∵ AC∥BD ， ∴ ∠PEA ＝ ∠PBD ．
∵ ∠APB ＝ ∠PAE ＋ ∠PEA ，
∴ ∠APB ＝ ∠PAC ＋ ∠PBD ．
解法二：如图9－2
过点P作FP∥AC ，
∴ ∠PAC ＝ ∠APF .
∵ AC∥BD ， ∴FP∥BD .
∴ ∠FPB ＝∠PBD .
∴ ∠APB ＝∠APF ＋∠FPB ＝∠PAC ＋ ∠PBD ．
解法三：如图9－3，
∵ AC∥BD ， ∴ ∠CAB ＋∠ABD ＝ 180°
即 ∠PAC ＋∠PAB ＋∠PBA ＋∠PBD ＝ 180°．
又∠APB ＋∠PBA ＋∠PAB ＝ 180°，
∴ ∠APB ＝∠PAC ＋∠PBD .
（2）不成立.
（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是
∠PBD＝∠PAC＋∠APB ．
(b)当动点P在射线BA上，
结论是∠PBD ＝∠PAC ＋∠APB ．
或∠PAC ＝∠PBD ＋∠APB 或 ∠APB ＝ 0°，
∠PAC ＝∠PBD（任写一个即可）．
(c) 当动点P在射线BA的左侧时，
结论是∠PAC ＝∠APB ＋∠PBD ．
选择(a) 证明：
如图9－4，连接PA，连接PB交AC于M
∵ AC∥BD ，
∴ ∠PMC ＝∠PBD ．
又∵∠PMC ＝∠PAM ＋∠APM ，
∴ ∠PBD ＝∠PAC ＋∠APB ．
选择(b) 证明：如图9－5
∵ 点P在射线BA上，∴∠APB ＝ 0°．
∵ AC∥BD ， ∴∠PBD ＝∠PAC ．
∴ ∠PBD ＝∠PAC ＋∠APB
或∠PAC ＝∠PBD＋∠APB
或∠APB ＝ 0°，∠PAC ＝∠PBD.
选择(c) 证明：
如图9－6，连接PA，连接PB交AC于F
∵ AC∥BD ， ∴∠PFA ＝∠PBD ．
∵ ∠PAC ＝∠APF ＋∠PFA ，
∴ ∠PAC ＝∠APB ＋∠PBD ．
三、知识巩固训练
1（05十堰）代数式的三个实际意义是：___________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
2（05荆门市）多项式x2＋px＋12可分解为两个一次因式的积，整数p的值是＿＿＿＿＿（写出一个即可）
3（05常德）请写出一个开口向上，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式___________________________．
4（05绍兴市）平移抛物线，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式____________________
5（05海安）请给出一元二次方程________＝0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根．
6（05资阳）已知a＝sin60°，b＝cos45°，c＝，d＝，从a、b、c、d这4个数中任意选取3个数求和；
7（05资阳）甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：① 比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；② 若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③ 计分规则如下：a. 得分为正数或0；b. 若8次都未投进，该局得分为0；c. 投球次数越多，得分越低；d. 6局比赛的总得分高者获胜 ．
（1） 设某局比赛第n(n＝1，2，3，4，5，6，7，8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案；
（2） 若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：
第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 第六局
甲 5 × 4 8 1 3
乙 8 2 4 2 6 ×
根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜．
8. （2006年山东省）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD．
（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；
（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形． ( http: / / blog. / user / 925 / index.html )
9（2006年绵阳市）在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．
（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P在DC的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；
（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．
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10（07甘肃省白银等7市新课程）探究下表中的奥秘，并完成填空：
一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解
x2－2x＋1＝0 x1＝1 ， x2＝1 x2－2x＋1＝（x－1）（x－1）
x2－3x＋2＝0 x1＝1 ， x2＝2 x2－3x＋2＝（x－1）（x－2）
3x2＋x－2＝0 x1＝， x2＝－1 3x2＋x－2＝2（x－）（x＋1）
2x2＋5x＋2＝0 x1＝－， x2＝－2 2x2＋5x＋2＝2（x＋）（x＋2）
4x2＋13x＋3＝0 x1＝_____， x2＝_____ 4x2＋13x＋3＝4（x＋_____）（x＋_____）
将你发现的结论一般化，并写出来．
11（07甘肃省陇南市）在平面几何中，我们可以证明：周长一定的多边形中，正多边形面积最大．
使用上面的事实，解答下面的问题：
用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的五根木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求能够围成的三角形的最大面积．
12（07安徽省）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；
（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大．
（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；
【解】
（2）若按关系式y＝a(x－h)2＋k　(a＞0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式．（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）
【解】
四、知识巩固训练答案：
1．、（长：m＋n、宽m－n）；摩托车每辆m元，自行车每辆n元，m辆摩托车比n辆自行车贵多少钱；
2．±7，±8，±13（写出其中一个即可）；
3．y＝(x－2)2＋3等；
4．y＝＋2x等；
5．12(答案不唯一)；
6．a＋b＋c＝， a＋b＋d＝， a＋c＋d＝，
b＋c＋d＝
7．（1）计分方案如下表：
n(次) 1 2 3 4 5 6 7 8
M(分) 8 7 6 5 4 3 2 1
(用公式或语言表述正确，同样给分.)
（2） 根据以上方案计算得6局比赛，甲共得24分，乙共得分23分，
所以甲在这次比赛中获胜．
8.答案不惟一，符合题意即可
9．（1）①BE＝DF＋EF，②BE＝DF－EF，③EF＝BE＋DF．
（2）证明略．
10．填空：，3；4x2＋13x＋3＝4(x＋)(x＋3)．
发现的一般结论为：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1、x2，则
ax2＋bx＋c＝a（x x1）（xx2）．
11．因为周长一定（2＋3＋4＋5＋6＝20cm）的三角形中，以正三角形的面积最大．
取三边尽量接近，使围成的三角形尽量接近正三角形，则面积最大．
此时，三边为6、5＋2、4＋3，这是一个等腰三角形．
可求得其最大面积为6
12．（1）当P＝时，y＝x＋，即y＝．
∴y随着x的增大而增大，即P＝时，满足条件（Ⅱ）
又当x＝20时，y＝＝100．而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P＝时，这种变换满足要求；
（2）本题是开放性问题，答案不唯一．若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x＝20，100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求．
如取h＝20，y＝，
∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大
令x＝20，y＝60，得k＝60 　 ①
令x＝100，y＝100，得a×802＋k＝100 ②
由①②解得， ∴．
D
C
B
A
D
H
F
E
G
B
C
①
②
③
①
②
③
④
①
②
③
④
图9
④