2.2 基本不等式（第一课时） 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
2.2 基本不等式
（第一课时）
人教A版2019必修第一册
学习目标
1．了解基本不等式的证明过程．
2．能利用基本不等式求解简单的最值问题.
情景导入
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．
思考：
把上图的“风车”抽象成右图（正方形中有4个全等的直角三角形），你能在这个图中找出些正方形面积与直角三角形面积的相等关系和不等关系吗
设直角三角形的两直角边的长分别为 a，b
那么正方形的边长为 ，这样4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为 ，由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式：
D
A
B
C
a
b
E(FGH)
当且仅当E、F、G、H四点重合即a=b时，四个直角三角形面积和等于正方形面积，即：
情景导入
新课讲解
重要不等式:
a, b∈R，有a2+b2 ≥ 2ab （当且仅当a=b时，等号成立）
另证：因为a2+b2－2ab =(a－b)2 ≥ 0 ,
所以a2+b2 ≥ 2ab.
（当且仅当a=b时，等号成立）
如果a>0，b>0，我们用 分别代替上式中的a，b，可得到:
通常把上式写作：
（当且仅当a=b时，等号成立）
a, b∈R，有a2+b2 ≥ 2ab （当且仅当a=b时，等号成立）
重要不等式 → 基本不等式
通常称上述不等式为基本不等式．其中， 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数．
新课讲解
重要不等式与基本不等式的异同：
不等式
适用范围 a, b∈R a>0,b>0
文字叙述 两数的平方和不小于他们积的两倍 两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数
“=”成立的条件 a=b 新课讲解
证明： （当且仅当a=b时，等号成立）
证明：要证
当且仅当a=b时，不等式中的等号成立．
只要证
只要证
只要证 显然成立.
所以原不等式成立．
该证明 方法称为分析法
当且仅当a=b时等号成立.
综合法
基本不等式证明(代数法)
新课讲解
半径
半弦
几何意义：①圆的半径大于或等于半弦；
②直角三角形的斜边上的中线大于或等于斜边上的高.
新知讲解
基本不等式证明(几何法)
新知讲解
几何
平均值
算术
平均值
（当且仅当a=b时，等号成立）
基本不等式（均值不等式）:
基本不等式的推广
①三元不等式：
当为正实数时，
.
当且仅当时成立
②n元基本不等式：
当且仅当时成立
新知讲解
典例分析
利用基本不等式求最值
典例分析
【例2】已知都是正数，求证：
（1）如果等于定值P，那么当时，有最小值
【证明】所以
（1）等于定值P时， ，所以
当且仅当时，上式等号成立，此时有最小值
（2）如果等于定值S，那么当时，有最大值
（2）时， ，两边平方，所以
，当且仅当时，上式等号成立，此时有最大值
利用基本不等式求最值
归纳小结
①当时，，，
当且仅当时，等号成立.
②当时，，
当且仅当时，等号成立.
利用基本不等式求最值
【1】利用基本不等式解决最值问题要牢记三个关键词：一正二定三相等.
一正：各项必须为正
二定：各项之和或各项之积为定值
三相等：必须验证取等号时的条件十分具备
【2】利用基本不等式求最值的关键：根据定值求最值，配凑变换不可少.
【3】基本不等式求最值模型：若，，则有
，当且仅当时等号成立
利用基本不等式求最值
归纳小结
典例分析
基本不等式的实际应用
【例3】(1)用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形的边长
为多少时，所用的篱笆最少，最短长度是多少？
【解】由题意设篱笆的长和宽分别为米，且
所以米
当且仅当米，即围成正方形时，有最短长度40米
典例分析
【例3】(2)用一段长为36米的铁丝网围成一个矩形菜园，当这个矩形的长和
宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【解】由题意设篱笆的长和宽分别为米，且
所以为平方米，根据基本不等式，
，即
当且仅当，即围成正方形时，有最大面积81平方米.
基本不等式的实际应用
典例分析
利用基本不等式证明不等式
变式训练
变式：已知都是正数，且，求证：
（1） （2）
【证明】（1）∵ ， ，∴ ，
∴ ，
由于，等号取不到，所以
（2）∵ ， ， ，∴，
∴ ，∴ ，
∴
当堂检测
答案:D
当堂检测
2. 已知a>0,b>0,如果ab=1,那么a+b的最小值为　　　　　;
如果a+b=1,那么ab的最大值为　　　　　.
当堂检测
3. 取何值时，取得最小值？最小值是多少？
【解】由题意∵ ， 所以，
∴,
当且仅当，即时，取得最小值，最小值为
课堂小结
重要不等式
基本不等式
等号成立的条件
当且仅当a=b时，等号成立
已知x ,y都是正数，
(1)若xy 等于定值P，那么当x =y时，x +y取得最小值 ；
(2)若x +y等于定值S，那么当x =y时，xy 取得最大值 .
谢谢
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