2023-2024学年广东省重点大学附中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省重点大学附中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果是最简二次根式，则可能是( )
A. B. C. D.
2. 在下列四组数中，不是勾股数的一组是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3. 如图，在 中，，则的大小是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列曲线中表示是的函数的是( )
A. B.
C. D.
5. 若二次函数有最大值，则“”中可填的数是( )
A. B. C. D.
6. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A. 对角线互相垂直 B. 两组对角分别相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对边分别平行
7. 如果，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 若一次函数都是常数的图象经过第一、二、三象限，则一次函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
9. 期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，邱老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考分以上，一半的学生考不到分，”张老师：“我班大部分的学生都考在分到分之间，“依照上面两位老师所叙述的话你认为邱者师、张者师所说的话分别针对( )
A. 平均数、众数 B. 中位数、众数 C. 中位数、方差 D. 平均数、中位数
10. 将四个全等的直角三角形作为叶片按图摆放成一个风车形状，形成正方形和正方形现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且，，，得到图所示的“新型数学风车”的四个叶片，即，，若平分，正方形和正方形的边长比为：若”新型数学风车”的四个叶片面积和是，则正方形的面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 使有意义的的取值范围是______．
12. 图形的变换就是点的变换，例如将直线向右平移个单位，求平移后直线的解析式，我们不妨先在直线上任意取两点和，平移后这两点分别为和，则平移后直线的解析式为，现将直线关于轴对称，则对称后直线的解析式为______．
13. 最近国家出台了一系列的政策，全国各地房市遇冷，以上海某地一处小区二手房为例，原价万元，经过连续两次降价，现价为万元，则平均降价率为______ ．
14. 已知，是方程的两个实数根，则的值为______ ．
15. 如图，已知正方形的顶点在直线上，点在第一象限若正方形的面积是，则点的坐标为______ ．
16. 如图，将一张的纸按如下操作：先把矩形对折，得折痕，再把点折向使点落在上，得到，延长线段交于点，过点作于点，交于点对于图得到以下结论：；；；其中正确的是______ 填序号
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：；
解方程：．
18. 本小题分
已知二次函数．
将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值；
当时，求的值．
19. 本小题分
如图，在 中，．
尺规作图：作的角平分线交线段于点不写作法，保留作图痕迹；
在所作的图形中，连接，求证：．
20. 本小题分
在平面直角坐标系中，点在轴上，点在第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，已知点的坐标为，长为．
求，的长．
请判断的形状，并说明理由．
21. 本小题分
为了解某年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分满分为分，并制作了如下所示的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
本次随机抽查的学生人数为______ ， ______ ；
抽取得分数据中，平均数为______ 分，众数为______ 分，中位数为______ 分；
若该年级有名学生，估计该年级理化生实验操作得满分的有多少人？
22. 本小题分
如图，矩形中，对角线，交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，这两条平行线交于点．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．
23. 本小题分
如图，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．
填空： ______ ； ______ ； ______ ；
在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
若动点在射线上从点开始以每秒个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒是否存在的值，使和的面积比为：？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数经过点和点，点在此抛物线上，其横坐标为．
求该抛物线的解析式；
当点在轴下方时，直接写出的取值范围；
当点在轴右侧时，将抛物线、两点之间的部分包括、两点记为图象，设图象上最高点与最低点的纵坐标的差为．
求与之间的函数关系式；
点在此抛物线的对称轴上，点在坐标平面内，当时，以、、、为顶点的四边形为矩形，且为矩形的一边，直接写出点的坐标．
25. 本小题分
已知在正方形中．
如图，点、分别为、边上的动点，且，连接、交于点点，点为正方形对角线的交点．
猜想线段与之间有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想，不需证明；
下列结论：甲同学认为的值不变；乙同学认为的值不变，其中只有一个结论正确，请选择正确的结论并求其值．
如图，是等腰三角形，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由于，因此不可能为，所以选项A不符合题意；
B.由于是最简二次根式，因此可以为，所以选项B符合题意；
C.由于，因此不可能是，所以选项C不符合题意；
D.由于，因此不可能为，所以选项D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义以及二次根式的性质逐项进行判断即可．
本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义，掌握二次根式的性质即化简方法是正确解答的前提．
2.【答案】
【解析】解：、，
，，是一组勾股数，本选项不符合题意；
B、，
，，不是一组勾股数，本选项符合题意；
C、，
，，是一组勾股数，本选项不符合题意；
D、，
，，是一组勾股数，本选项不符合题意；
故选：．
根据勾股数的概念判断即可．
本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．
3.【答案】
【解析】解：四边形为平行四边形，
．
故选：．
由平行四边形的性质可求得答案．
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．根据函数的定义解答即可．
【解答】
解：、对于的每一个确定的值，有个或个值与其对应，故不能表示是的函数，故此选项不合题意；
B、对于的每一个确定的值，有个或个值与其对应，故不能表示是的函数，故此选项不合题意；
C、对于的每一个确定的值，有唯一值与其对应，故能表示是的函数，故此选项合题意；
D、对于的每一个确定的值，有个或个值与其对应，故不能表示是的函数，故此选项不符合题意；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：设处为，由题意得二次函数为，
二次函数有最大值，
二次函数的图象开口向下即，
，
可以是，
中可填的数是．
故选：．
先设处为，然后根据二次函数的性质得，最后根据可得中可填的数是．
本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．
6.【答案】
【解析】解：、正确．对角线互相垂直是菱形具有而平行四边形不具有的性质；
B、错误．两组对角分别相等，是菱形和平行四边形都具有的性质；
C、错误．对角线互相平分，是菱形和平行四边形都具有的性质；
D、错误．两组对边分别平行，是菱形和平行四边形都具有的性质；
故选：．
本题考查菱形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，属于中考基础题．
根据菱形、平行四边形的性质一一判断即可．
7.【答案】
【解析】解：，
，
解得，
故选：．
根据二次根式的性质，可得答案．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
8.【答案】
【解析】根据一次函数都是常数的图象经过第一、二、三象限和一次函数的性质可以得到、的正负情况，从而可以得到一次函数的图象经过哪几个象限．
解：一次函数都是常数的图象经过第一、二、三象限，
，，
一次函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是判断出、的正负情况．
9.【答案】
【解析】解：有一半的学生考分以上，一半的学生考不到分，
分是这组数据的中位数，
大部分的学生都考在分到分之间，
众数在此范围内．
故选：．
根据两位老师的说法中的有一半的学生考分以上，一半的学生考不到分，可以判断分是中位数，大部分的学生都考在分到分之间，可以判断众数．
本题考查了统计量的选择，解题的关键是抓住题目中的关键词语．
10.【答案】
【解析】解：将四个全等的直角三角形作为叶片按图摆放成一个风车形状，形成正方形和正方形正方形和正方形的边长比为：．
设正方形的边长为，则正方形的边长为，设，
在中，，
即，
，
，
舍去或，
，，，
平分，
边上的高为，
则，
即，
，
，
，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是，
，
，
，
，
，
，
故选：．
设正方形的边长为，则正方形的边长为，设，根据勾股定理得出舍去或，得出，，，由平分，得边上的高为，根据，得出，由，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是，得出，求出，从而得出结果．
本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积，全等三角形的性质，正方形的性质，正确识图是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数为非负数．
根据二次根式的被开方数为非负数，即可得出的范围．
【解答】
解：有意义，
，
解得：．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：在直线上任意取两点和，
直线关于轴对称，
点的对称点为，点的对称点为，
设对称后直线的解析式为，
解得
对称后直线的解析式为．
故答案为：．
在直线上任意取两点和，对称后这两点分别为和，然后利用待定系数法即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，利用待定系数法求解是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设平均降价率为，
由题意可得，
，舍去；
，
故答案为：．
直接利用降低率公式列出方程进行计算即可求解．
本题考查了增长率问题，牢记增长率或降低率公式，其中是原来的量，是平均增长率或平均降低率，是增长或降低的次数，是现在的量是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，
，
．
故答案为：．
由于、是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到，并且，然后把可以变为，把前面的值代入即可求出结果．
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
15.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，交轴于点，如图所示：
则，
，
在正方形中，，，
，
，
≌，
，，
正方形的面积是，
，
根据勾股定理，可得，
点在直线上，
设点坐标为，
，，
根据勾股定理，可得，
解得或舍，
，，
设，
则，，
，
解得，
，，
点坐标为，
故答案为：．
过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，交轴于点，易证≌，可得，，根据已知条件可得点坐标，设，根据列方程，求解即可．
本题考查了正方形的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质等，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：把矩形对折，得折痕，
，
把点折向使点落在上，得到，
，
垂直平分，
，所以正确；
四边形为矩形，
，
，
，
，所以正确；
，，
平分，
即，
把点折向使点落在上，得到，
，
，
为等边三角形，
，所以正确；
，
平分，
即，
，
，
，
，所以错误．
故答案为：．
利用折叠的性质得到，，即垂直平分，所以，则可对进行判断；再证明，加上，则可对进行判断；根据等腰三角形的性质得到，根据折叠的性质得到，所以，于是可判断为等边三角形，则可对进行判断；然后计算出得到，加上，则可对进行判断．
本题考查了作图轴对称变换：熟练掌握对称轴的性质、等边三角形的判定与性质和矩形的性质是解决问题的关键．
17.【答案】解：原式
；
，
，
或，
，．
【解析】根据平方的意义、平方根的定义以及零指数幂的意义解答；
根据因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，乘方、零指数幂，算术平方根等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
18.【答案】解：由得，，
，，．
由题意，将代入，
，即．
【解析】依据题意，根据完全平方公式展开合并即可得解；
依据题意，将代入所得解析式即可得解．
本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
19.【答案】解：如图所示，即为所求：
证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
．
【解析】根据角平分线的作图方法作图即可；
根据平行四边形得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形 的判定定理即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质和角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题关键．
20.【答案】解：点的坐标为，轴，
，，
，；
是直角三角形，理由如下：
，，轴，
，
由得，
，
，，
，
即，
是直角三角形．
【解析】由题意可得，，利用勾股定理即可求解；
由勾股定理可求得，利用勾股定理的逆定理进行判断即可．
本题主要考查坐标与图形，解答的关键是对勾股定理及其逆定理的掌握与运用．
21.【答案】
【解析】解：本次随机抽查的学生人数为人，
，即；
故答案为：，；
平均数为：分，
由图表得知，众数是分；
名同学，中位数为从小到大排名第和第名同学的平均数，
由图表得知，排名后第和第名同学得分均为分，
因此，中位数为分；
故答案为：，，；
根据题意得：
人，
答：估计该校理化生实验操作得满分的学生有人．
把各个分数段的人数相加，得出调查的总人数，再用整体减去其它分数段所占的百分比，即可得出的值；
平均数为名学生成绩总和除以，众数从条形图中能直接得到是分，中位数需将得分从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数；
用总人数乘以理化生实验操作得满分的学生所占的百分比即可．
本题考查扇形统计图及相关计算．考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
解：四边形是矩形，
，，，
，
，
．
【解析】先证四边形是平行四边形，再由矩形的性质推出，即可得出结论；
易证，再由，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、三角形面积和菱形面积计算等知识；熟练掌握菱形的判定与菱形的面积计算是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：直线：与轴交于点，且经过定点，
，
，
直线：，
直线：经过点，
，
，
把代入，得到．
，，．
故答案为：，，；
作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则的周长最小．
，，
直线的解析式为，
令，得到，
，
存在一点，使的周长最短，；
点在射线上从点开始以每秒个单位的速度运动，直线：，
，
，
，
点的运动时间为秒．
，
分两种情况：点在线段上，
和的面积比为：，
，
，
，
；
点在线段的延长线上，
和的面积比为：，
，
，
，
．
综上：存在的值，使和的面积比为：，的值为或．
利用待定系数法求解即可．
作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则的周长最小．求出直线的解析式，即可解决问题；
分两种情况：点在线段上，点在线段的延长线上，由和的面积比为：，可得，根据比例的性质即可求解．
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
24.【答案】解：将点，代入，
得：，解得：，
抛物线的解析式为：，
对于，当时，，解得：，，
抛物线与轴的两个交点，，
又抛物线的开口向下，
当点在轴下方的抛物线上时，的取值范围是：或．
，
抛物线的点为，对称轴为，
点在轴右侧的抛物线上，且横坐标为，
点的坐标为，
分两种情况讨论如下：
(ⅰ)当点在轴右侧，对称轴右侧时，即：，
点为最低点，点为最高点，
，其中，
(ⅱ)当点在对称轴的右侧时，即：，
此时最高点为抛物线的顶点，最低点为点，
，其中，
综上所述：与之间的函数关系式是：，
点的坐标为：或．
理由如下：
由可知：当时，，
，解得：，不合题意，舍去，
当时，，
点的坐标为，
设直线的解析式为：，
将点，代入，
得：，解得：，
直线的解析式为：，
以、、、为顶点的四边形为矩形，且为矩形的一边，
有以下两种情况：
(ⅰ)当点在轴上方时，设的解析式为：，
，
，
的解析式为：，
将点代入得：，
的解析式为：，
点在抛物线的对称轴上，
点的横坐标为，
当是，，
此时点的坐标为，
(ⅱ)当点在轴的下方时，设的解析式为：，
同理：的解析式为：，
将点代入得：，
的解析式为：，
当时，，
此时点的坐标为．
综上所述：点的坐标为或．
【解析】将点，代入之中得到关于，的方程组，解方程组求出，即可得到抛物线的解析式；
先求出抛物线与轴的两个交点，，再根据抛物线的开口向下可得出当点在轴下方的抛物线上时，的取值范围；
先求出抛物线的点为，对称轴为，点，分两种情况进行讨论：(ⅰ)当点在轴右侧，对称轴右侧时，即，点为最低点，点为最高点，据此可求出与之间的函数关系式；(ⅱ)当点在对称轴的右侧时，即，此时最高点为抛物线的顶点，最低点为点，据此可求出与之间的函数关系式；
由可知当时，，据此可求出点，再求出直线的解析式为，分两种情况进行讨论：(ⅰ)当点在轴上方时，先求出的解析式，再根据点在抛物线的对称轴上可求出点的坐标；(ⅱ)当点在轴的下方时，先求出的解析式为，再根据点在抛物线的对称轴上可求出点的坐标．
此题主要考查了求二次函数的解析式，顶点坐标、对称轴，矩形的性质等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，以及求二次函数顶点坐标、对称轴的方法，理解矩形的四个角都是直角，难点是分类讨论思想在解题中的应用．
25.【答案】解：，；理由如下：
四边形是正方形，
，，
又，
≌，
，，
又，
，
，
，
综上，，；
结论正确的是：；理由如下：
如图，分别在边、上取点、，使，交点分别为、、、，连接，
由可得：，，
同理可证：，，，，，，
四边形是矩形，
，，，
≌，
，，
同理可得：，，
，
矩形为正方形，
点为正方形对角线的交点，
为正方形对角线交点，
，
，
，
，
即；
证明：如图，将绕点逆时针旋转至，连接，
则是等腰直角三角形，
，，
由旋转可知：，
又，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【解析】根据正方形的性质和已知条件推出判定≌的条件，然后根据全等三角形的性质即可推出线段与之间的数量和位置关系；
分别在线段、上截取，根据中结论可知，同理证得四边形的几个内角都是直角，判定四边形是矩形，然后判定≌，推出，判定矩形是正方形，再根据正方形的性质可以推出的值不变；
将绕点逆时针旋转至，根据旋转的性质推出，再推出后判定四边形为平行四边形，推出，最后根据是等腰直角三角形即可得证．
本题是四边形综合题，主要考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
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