2023年海南省中考数学试卷（含解析）

2023年海南省中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，数轴上点表示的数的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 若代数式的值为，则等于( )
A. B. C. D.
3. 共享开放机遇，共创美好生活年月日至日，第三届中国国际消费品博览会在海南省海口市举行，以“打造全球消费精品展示交易平台”为目标，进场观众超万人次，数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 如图是由个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 下列计算中，正确的是( )
A. B. C. D.
6. 水是生命之源为了倡导节约用水，随机抽取某小区户家庭上个月家里的用水量情况单位：吨，数据为：，，，，，，这组数据的中位数和众数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7. 分式方程的解是( )
A. B. C. D.
8. 若反比例函数的图象经过点，则的值是( )
A. B. C. D.
9. 如图，直线，是直角三角形，，点在直线上若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
11. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转，得到，则点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
12. 如图，在 中，，，平分，交边于点，连接，若，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 因式分解： ______ ．
14. 设为正整数，若，则的值为______ ．
15. 如图，为的直径，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则 ______ 度
16. 如图，在正方形中，，点在边上，且，点为边上的动点，连接，过点作，交射线于点，则 ______ 若点是线段的中点，则当点从点运动到点时，点运动的路径长为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：；
解不等式组：．
18. 本小题分
年月日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功，为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共辆，租用辆甲型客车需元，辆乙型客车需元，租车费共元，问甲、乙两种型号客车各租多少辆？
19. 本小题分
某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务，随机抽取若干名学生进行了问卷调查调查问卷如下：
调查问卷
在下列课外活动中，你最喜欢的是单选( )
A.文学科技艺术体育
填完后，请将问卷交给教务处．
根据统计得到的数据，绘制成下面两幅不完整的统计图．
请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题：
本次调查采用的调查方式为______ 填写“普查”或“抽样调查”；
在这次调查中，抽取的学生一共有______ 人；扇形统计图中的值为______ ；
已知选择“科技”类课外活动的名学生中有名男生和名女生若从这名学生中随机抽取名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是______ ；
若该校共有名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有______ 人
20. 本小题分
如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上已知港口在灯塔的正北方向上．
填空： ______ 度， ______ 度；
求灯塔到轮船航线的距离结果保留根号；
求港口与灯塔的距离结果保留根号．
21. 本小题分
如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，点为线段上的动点不与点，重合，连接并延长交边于点，交的延长线于点．
当点恰好为的中点时，求证：≌；
求线段的长；
当为直角三角形时，求的值；
如图，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，在点的运动过程中，的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
22. 本小题分
如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点点是抛物线上一个动点．
求该抛物线的函数表达式；
当点的坐标为时，求四边形的面积；
当动点在直线上方时，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
如图，点是抛物线的顶点，过点作直线轴，交轴于点，当点在第二象限时，作直线，分别与直线交于点和点求证：点是线段的中点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：点表示的数为，
数轴上点所表示的数的相反数是．
故选：．
根据数轴得出点表示的数，根据相反数的定义即可求解．
本题考查了相反数的定义，在数轴上表示有理数，数形结合是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
根据题意列出方程，求出方程的解即可得到的值．
此题考查了解一元一次方程方程，根据题意列出方程是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4.【答案】
【解析】解：俯视图如选项C所示，
故选：．
根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．
5.【答案】
【解析】解：，故A符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握同底数幂的乘法的计算方法，幂的乘方与积的乘方的运算性质以及合并同类项法则是解答的关键．
6.【答案】
【解析】解：将户家庭上个月家里的用水量情况单位：吨由小到大排列：，，，，，，，
个数据处于中间的是，
中位数为：，
数据出现次，是出现次数最多的数据，
众数为：，
故选：．
根据中位数和众数的意义确定即可．
本题考查中位数，众数，掌握中位数和众数的确定方法，以及找中位数时，必须先排列顺序是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
经检验，是原方程的解，
方程的解是．
故选：．
根据解方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为，得出方程的解，注意检验．
此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是关键．
8.【答案】
【解析】解：由题意，将点代入，
可得：，
解得：．
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求解即可得出的值．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，牢记“函数图象上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：延长交直线于点，
，，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质可以得到，然后直角三角形的性质，即可求得的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.【答案】
【解析】解：由作图得：垂直平分，
，
，
，
故选：．
根据线段的垂线平分线的性质及三角形的外角定理求解．
本题考查了基本作图，掌握线段的垂线平分线的性质及三角形的外角定理是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：作轴于，
点的坐标为，
，
，
，，
，
故选：．
作轴于，再利用旋转的性质求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，利用勾股定理列式求出，然后求出点的横坐标，再写出点的坐标即可．
本题考查了坐标与图形变化旋转，解直角三角形，求出、的长度是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
如图，过点作于点，
则，
，
，
，，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，，，再证，则，过点作于点，则，然后由含角的直角三角形的性质得，则，，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
提公因式即可．
此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
14.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
先估算出的范围，再得出选项即可．
本题考查了估算无理数的大小，能估算出的大小是解此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：是的切线，为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由切线的性质得，则，再由直角三角形的性质得，然后由等腰三角形的性质得，即可解决问题．
本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：过作交延长线于，如图：
设，
四边形是正方形，，，
，，，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
，，
∽，
；
过点作，交于，交于，如图：
，，
．
在和中，
，
≌，
．
点的运动轨迹是一条平行于的线段，
当点与重合时，，
当点与点重合时，，，
．
，
∽．
，即：，
，
是的中位线，
，即点运动的路径长为；
故答案为：；．
过作交延长线于，设，证明∽，有，，而∽，有，可得，，根据∽，知；过点作，交于，交于，证明≌，得故点的运动轨迹是一条平行于的线段，当点与重合时，，当点与点重合时，可证∽，得，，从而，即点运动的路径长为．
本题考查正方形性质及应用，点的轨迹，解题的关键是掌握三角形相似的判定与性质，能求出线段．
17.【答案】解：原式
．
由得，；
由得．
原不等式组的解集为：．
【解析】依据题意，根据实数的运算法则进行计算可以得解；
依据题意，分别解出组成不等式组的两个不等式然后可以得解．
本题主要考查了解一元一次不等式组、实数的运算，解题时要熟练掌握并准确计算是关键．
18.【答案】解：设租用甲型车辆，乙型车辆，
根据题意得：，
解得，
答：租用甲型车辆，乙型车辆．
【解析】设租用甲型车辆，乙型车辆，可得：，即可解得答案．
本题考二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列方程组．
19.【答案】抽样调查
【解析】解：本次调查采用的调查方式为抽样调查；
故答案为：抽样调查；
人，，
在这次调查中，抽取的学生一共有人；扇形统计图中的值为；
故答案为：，；
恰好抽到女生的概率是；
故答案为：；
估计选择“文学”类课外活动的学生有人，
故答案为：．
根据抽样调查的定义即可得出答案；
由喜欢文学的人数除以其所占百分比可得总人数，用喜欢体育的人数除以总人数可求出的值；
根据概率公式求解即可；
用乘以选择“文学”类的百分比即可．
本题主要考查了全面调查与抽样调查，条形统计图，扇形统计图和概率公式，正确利用条形统计图和扇形统计图得出正确信息是解题关键．
20.【答案】
【解析】解：分别过点、，作，，垂足分别为、．
，，
．
、都是正北方向，
．
，
．
故答案为：，．
由知，
海里．
在中，
，
海里．
答：灯塔到轮船航线的距离为海里．
，，、都是正北方向，
四边形是矩形．
海里，．
在中，
，
．
海里．
在中，
，
海里．
海里．
答：港口与灯塔的距离为海里．
先说明，再利用外角与内角的关系、平行线的性质得结论；
先利用等腰三角形的性质先说明与的关系，再在中利用直角三角形的边角间关系得结论；
先说明四边形是矩形，再利用等腰三角形的性质、直角三角形的边角间关系得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解决本题的关键．
21.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
点是的中点，
，
又，
≌；
解：四边形是菱形，
，，，，
，，
；
解：为直角三角形，
，
四边形是菱形，
，，
，，
，，
，
，
∽，
，
；
解：的度数是定值，
如图，取的中点，连接，，，
是的垂直平分线，
，，
，
又点是的中点，
，
点是的中点，，
，
点，点，点三点共线，
点是的中点，，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
．
【解析】由“”可证≌；
由菱形的性质可得，，，，由直角三角形的性质可求解；
由直角三角形的性质可求，，的长，通过证明∽，可得，即可求解；
先证点，点，点三点共线，由直角三角形的性质可得，可求，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22.【答案】解：由题意可得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
连接，过点作于点，如图，
点的坐标为，
，．
令，则，
或，
，
．
，，
，．
四边形的面积
；
在平面直角坐标系内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形，如图，四边形为符合条件的矩形，交轴于点，交轴于点，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
四边形为矩形，
，
，
和为等腰直角三角形，
，
四边形为正方形，
，，
四边形为矩形，
．
，，
和为全等的等腰直角三角形，
．
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为．
，
或，
，
，
，
，
．
综上，在平面直角坐标系内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形，此时点的坐标为；
证明：，
抛物线的顶点的坐标为，对称轴为直线．
设，直线的解析式为，
，
．
直线的解析式为，
当时，
，
，
．
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
当时，
，
，
，
，
点是线段的中点．
【解析】利用待定系数法解答即可；
连接，过点作于点，利用点的坐标表示出线段，，，，的长度，再根据四边形的面积，利用三角形的面积公式解答即可；
画出符合题意的矩形，交轴于点，交轴于点，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，利用等腰直角三角形的判定与性质和矩形的判定与性质，得到，利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线解析式联立求得点坐标，则，进而得到，的长度，则结论可求；
利用配方法求得抛物线的顶点坐标，对称轴，利用待定系数法求得直线，的解析式，进而得到点，的坐标，利用点的坐标表示出线段，的长度，则结论可得．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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