2023-2024学年广东省深圳实验学校中学部九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省深圳实验学校中学部九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 把多项式分解因式等于( )
A. B.
C. D.
2. 如图，在中，已知点在上，且，则点在( )
A. 的垂直平分线上
B. 的平分线上
C. 的中点
D. 的垂直平分线上
3. 用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是( )
A. B. C. D.
4. 一辆汽车开往距出发地的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行，则提前小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是，根据题意所列方程是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点是中点，连接，则下列结论中不一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于( )
A. B. C. D.
8. 准备两张大小一样，分别画有不同图案的正方形纸片，把每张纸都对折、剪开，将四张纸片放在盒子里，然后混合，随意抽出两张正好能拼成原图的概率是( )
A. B. C. D.
9. 如图，正方形的边长为，将等腰直角三角板的角的顶点放在处，两边与及其延长线交于，，若，则的长为( )
A. B. C. D.
10. 如图，将矩形沿图中虚线其中剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形，若，则的值等于( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 不透明袋子中装有个红球和若干个绿球，这些球除了颜色外无其他差别经过大量重复试验后发现摸到红球的频率稳定在，则绿球的个数约是______ ．
12. 若是方程的一个解，则代数式的值是______．
13. 仔细观察下图，各块图形面积之和为，则因式分解 ______ ．
14. 某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______ ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边，分别在轴，轴上，点在边上，将该长方形沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则所在直线的表达式为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
17. 本小题分
解方程：
；
；
；
．
18. 本小题分
如图，在正方形网格中，点坐标为，点坐标为．
在网格中画出平面直角坐标系坐标原点为，并写出点坐标；
求证：．
19. 本小题分
如图，是菱形的对角线的交点，，，、交于．
求证：四边形是矩形；
若菱形的边长，，求矩形的周长．
20. 本小题分
关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
若两根为、且，求的值．
21. 本小题分
“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为元件时，日销售量为件，售价每降低元，日销售量增加件．
当销售量为件时，产品售价为______ 元件；
直接写出日销售量件与售价元件的函数关系式；
该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利元？
22. 本小题分
如图，在直角梯形中，，点为底上一点，将沿直线折叠，点落在梯形对角线上的处，的延长线交直线于点．
点可以是的中点吗？为什么？
求证：∽；
设，，
当四边形为平行四边形时，求，，应满足的关系；
在的条件下，当时，的值是唯一的，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选C．
先把转化为，然后提取公因式，整理即可．
本题主要考查了提公因式法分解因式，整理出公因式是解题的关键，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
点在的垂直平分线上，
故选：．
根据线段垂直平分线的判定定理判断即可．
本题考查的是线段垂直平分线的判定，到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
3.【答案】
【解析】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得．
故选：．
在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
本题考查了配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
4.【答案】
【解析】解：这辆汽车比原计划每小时多行，且这辆汽车原计划的速度是，
这辆汽车提速后的速度是．
依题意得：，
故选：．
根据提速后及原计划车速间的关系，可得出这辆汽车提速后的速度是，利用时间路程速度，结合提速后可提前小时到达目的地，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，
解得：，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，故选项A不合题意，
点是的中点，
，故选项B不合题意；
，故选项D不合题意；
故选：．
由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：作于，
平分，，，
，
的面积．
故选：．
作于，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设分成的四张纸片中，和为一张；和为一张；那么
共有种情况，正好能拼成的占种，概率是，故选：．
列举出所有情况，看随意抽出两张正好能拼成原图的情况占总情况的多少即可．注意本题是不放回实验．
如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
9.【答案】
【解析】解：如图将绕点逆时针旋转得到与交于点．
四边形是正方形，
，，
，
，
，，，
≌，
，设，则，，
在中，，
，
，
，
易证≌，
，
，
故选：．
如图将绕点逆时针旋转得到与交于点首先证明，设，在中，利用勾股定理求出，再证明，求出即可解决问题．
本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：如图所示，四块图形拼成一个正方形边长为，
根据剪拼前后图形的面积相等可得，
，
，
，
整理得，，
解得，舍去．
故选：．
观察图形可得，两个直角梯形的斜腰重合在一起可以组成一个长为，宽为的矩形，两个直角三角形的斜边重合可以组成一个长为，宽为的矩形，两个矩形放在一起恰好可以组成一个边长为的正方形，然后根据剪拼前后两个图形的面积不变列式求解即可．
本题考查了图形的剪拼，根据四块图形的特点，找出可以重合的边，拼接出正方形并得到正方形的边长是解题的关键．
11.【答案】个
【解析】解：设绿球的个数有个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
绿球的个数约有个．
故答案为：个．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在，列出方程求解即可．
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
12.【答案】
【解析】解：把代入方程，得，
所以，
则．
故答案为：．
把代入方程可得，即然后化简代数式，注意整体代入，从而求得代数式的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意解题中的整体代入思想．
13.【答案】
【解析】解：经过观察发现：是这个大长方形的面积，
而这个大长方形的长为，宽为，面积为，
，
故答案为：．
经过观察发现：是这个大长方形的面积，观察图形得到这个大长方形的长和宽，得到大长方形的面积为长宽，根据面积相等即可得出答案．
本题考查了因式分解的应用，体现了数形结合的数学思想，根据面积相等得到等式是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：设该药品平均每次降价的百分率是，根据题意得，
整理得，
解得或不合题意，舍去；
即该药品平均每次降价的百分率是．
故答案为：．
设该药品平均每次降价的百分率是，则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的为，解方程即可求解．
本题需注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设，则，
由题意可得，，
，，
，
，
解得，，
设，
，
，
，
，
，
解得，
点的坐标为，
由题意知点的坐标为，
设所在直线的表达式为，
，
解得，
，
所在直线的表达式为．
故答案为：．
根据勾股定理可以得到、的长度，从而可以得到点的坐标，由待定系数法即可求出所在直线的表达式．
本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化对称，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】直接将括号里面通分运算进而利用分式的乘除运算法则化简，把的值代入求出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
或，
，；
，
，
，即，
，
，；
，
这里，，，
，
，
，．
【解析】利用直接开平方法进行求解一元二次方程即可；根据配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先移项，然后根据因式分解法进行求解一元二次方程即可；
利用配方法求解一元二次方程即可；
利用公式法求解一元二次方程即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．
18.【答案】解：如图所示：
的坐标为：，
如图，连接，
由勾股定理得：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
【解析】根据题意画出平面直角坐标系，进而解答即可；
根据勾股定理及逆定理可得是等腰直角三角形，得，再由三角形外角的性质可得结论；如果学习了相似，可以证明两个三角形相似来解答．
本题考查了点的坐标和勾股定理及其逆定理，作辅助线构建等腰直角是解题的关键．
19.【答案】解：证明：，
四边形是平行四边形，
是菱形的对角线的交点，
，
四边形是矩形；
在菱形中
可知
是等边三角形
矩形的周长．
【解析】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了矩形的判定，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据，的关系求得，的值是解题的关键．
易证四边形为平行四边形，菱形对角线互相垂直，根据有一个内角为的平行四边形可以证明四边形为矩形；
解直角三角形求出、即可解决问题．
20.【答案】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：．
，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，即，
整理得：，
解得：，．
又，
．
【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之取其小于等于的值即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．
21.【答案】
【解析】解：
元件，
当销售量为件时，产品售价为元件．
故答案为：；
根据题意得：，
该产品的进货价为元件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元件，
日销售量件与售价元件的函数关系式为；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该产品的售价每件应定为元．
利用售价，即可求出结论；
利用日销售量售价，即可找出日销售量件与售价元件的函数关系式；
利用电商每天销售该产品获得的利润每件的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22.【答案】解：不可以．
据题意得：，，
中，，
，
故，点不可以是的中点；
方法一：
证明：，
，
≌，
，
，
，
为等腰三角形．
，，
，
在等腰和中，，
，
，
∽，
方法二：见方法一，
证得两边对应成比例：，
由此可得出结论．
方法一：四边形为平行四边形，
，
证明两个角相等，得∽，
，
即，
；
方法二：如图，过点作，
四边形为平行四边形
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
；
方法三：证明∽，则有，
，则有，
四边形为平行四边形，
，
，
∽，
，
，
；
方法一：解关于的一元二次方程，得：
，分
由题意，，即，
，
，
，
为的中点，且为正方形，，；
方法二：设关于的一元二次方程两根为，，
，，
，，
由题意，，即，
，
，
，
为的中点，且为正方形，，．
【解析】根据折叠的性质可得，，再根据直角三角形斜边大于直角边可得，从而判断点不可能是的中点；
方法一：根据两直线平行，内错角相等可得，再根据折叠的性质可以判定出，然后得到，从而判断出为等腰三角形，再根据等角的余角相等求出，然后根据等腰三角形的两个底角相等求出，然后根据两角对应相等，两三角形相似即可证明；
方法二：与方法一相同求出后，根据等腰三角形的两腰相等，然后根据两边对应成比例且夹角相等判断出两个三角形相似；
方法一：根据勾股定理求出的长度，再利用两角对应相等，两三角形相似得到和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
方法二：过点作于点，然后求出，再根据直角相等，判断出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
方法三：先求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出的长度，再求出和相似，根据平行四边形的对边相等表示出，再表示出，然后根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；
方法一：把代入、、的关系式，利用求根公式求出的两个根，再根据是唯一的，可以判定，然后求出，再代入根求出，然后判断出是的中点，利用解直角三角形求出；
方法二：把代入、、的关系式，利用根与系数的关系判断出关于的方程的解是正数，再根据是唯一的，可以判定，然后求出，再代入根与系数的关系求出，然后判断出是的中点，利用解直角三角形求出．
本题综合考查了相似三角形的性质与判定，根的判别式，根与系数的关系，平行四边形的性质，折叠的性质，综合性较强，难度较大，需仔细分析，认真研究，结合图形理清题目边长之间的关系，角度之间的关系是解题的关键，本题对同学们的能力要求较高．
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