2023-2024学年辽宁省抚顺市雷锋高级中学高一（上）开学质检数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省抚顺市雷锋高级中学高一（上）开学质检数学试卷
一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知是完全平方式，则的值是( )
A. B. C. D.
2. 已知，则的值是( )
A. B. C. D.
3. 二次函数的最小值为( )
A. B. C. D.
4. 若两个相似三角形的面积之比为：，则它们的对应边之比为( )
A. B. C. D.
5. 已知中，为直角，，，的对边分别为，，，则其内切圆直径为( )
A. B. C. D.
6. 设，，集合，则( )
A. B. C. D.
7. 已知集合，，且，，，则下列判断不正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
8. 下面的表述中，正确的说法有( )
A. 最小的质数是
B. 既不是质数也不是合数
C. 可以分解为
D. 的两实根积等于
9. 下面的表述中，正确的说法有( )
A. 在同圆中相等的弦所对的圆周角相等
B. 圆内接四边形中，，则
C. 的半径为，的半径为，，它们有条公切线
D. 中，，，则
10. 下列说法正确的是( )
A. 方程的解集中有两个元素
B.
C. 是质数
D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 一个二次函数的图象经过点，，，则这个二次函数的表达式为______ ．
12. 已知一元二次方程的两实数根为，，则的两个实数根为______ ．
13. 如图，的半径等于，弦的长与半径相等，则弦所对的优弧长为______ 结果保留．
14. 已知集合只含有一个元素，则 ______ ．
四、解答题（本大题共3小题，共30.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
如图，中，是平分线，交于，，，求．
16. 本小题分
已知二次函数的图像为曲线，点在横轴下方的部分图像上．
求函数图像与横轴交点、在的左边的坐标；
求面积的最大值．
17. 本小题分
集合用列举法表示出来．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据是完全平方式，可得，
而，故．
故选：．
根据题意，利用完全平方公式加以计算，可得答案．
本题主要考查完全平方公式、比较系数法求参数的值等知识，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：已知，
则，，
则．
故选：．
由一元二次方程的解法求解即可．
本题考查了有理数指数幂的运算，重点考查了一元二次方程的解法，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
当且仅当时，函数取得最小值．
故选：．
将二次函数解析式化为顶点式，即可得到最小值．
本题考查二次函数的图象及性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为两个相似三角形的面积之比等于对应边的平方之比，
又因为两个相似三角形的面积之比为：，
所以对应边之比为：．
故选：．
由两个相似三角形的面积之比等于对应边的平方之比，可得对应边之比的值．
本题考查相似三角形的性质的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设内切圆的半径为，则，
可得，可得直径，
而，
所以，
所以．
故选：．
设三角形的内切圆的半径，由三角形的面积，可得三角形的边长与的关系，再由勾股定理可得半径的表达式．
本题考查三角形面积公式的应用及勾股定理的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，集合，
又，
，即，
，
；
故，，
则，
故选：．
根据题意，集合，注意到后面集合中有元素，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得，进而分析可得、的值，计算可得答案．
本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查元素与集合的关系，属基础题．
由题意可得为奇数集，为偶数集，又，，，从而可得，，，，从而得解．
【解答】
解：，，
为奇数集，为偶数集，
又，，，
，，，，
，，C正确，D错误．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由质数的定义，可知最小的质数是，既不是质数也不是合数，两项正确；
二次三项式可以分解为，故C错误；
由于的根的判别式，所以该方程没有实数根，D错误．
故选：．
根据质数的概念与一元二次方程的解法，对各项依次加以判断，可得答案．
本题主要考查质数的概念与一元二次方程的解法等知识，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：在同圆中相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以不正确；
圆内接四边形中，对角互补，，则，所以B正确；
的半径为，的半径为，，两个圆相离，它们有条公切线，所以C正确；
中，，，则，所以D正确．
故选：．
通过圆周角判断；圆内接四边形的性质判断；的半径为，的半径为，，判断两个圆的位置关系，判断；通过三角计算判断．
本题考查直线与圆的位置关系的判断，两个圆的位置关系的判断，三角形的解法，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：方程，即，解得，即方程的解集中有一个元素，选项A错误；
是自然数，，选项B错误；
是质数，是质数，选项C正确；
是有理数，，选项D正确．
故选：．
根据元素与集合的关系逐一判断选项即可．
本题考查元素与集合的关系，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为二次函数的图象经过点，，
所以可设二次函数的解析式为，
又过点，
则，解得，
所以这个二次函数的表达式为．
故答案为：．
根据题意由两点式设函数解析式为，再代入点，求得的值，即可得到答案．
本题考查二次函数解析式的求法，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，是方程的两根，
，
，，，
又，，解得：，．
故答案为：，．
根据根与系数关系可得到，，的关系，从而将所求方程转化为不含参数的一元二次方程，解方程可求得结果．
本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：的半径等于，弦的长与半径相等，可得为等边三角形，所以，
所以弦所对的优弧长为．
故答案为：．
由题意可得为等边三角形，所以，可得弦所对的优弧长．
本题考查圆中圆弧长的求法，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：集合只含有一个元素，当时，有判别式，解得．
当时，集合只含有一个元素，满足条件．
综上可得，或，
故答案为或．
当时，有判别式，解得的值，当时，集合只含有一个元素，满足条件，由此得到的值．
本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
15.【答案】解：因为，所以∽，可得，
因为，，所以，即，
因为，所以，
因为是平分线，所以，
于是，所以，
因为，
即，可得，可得．
【解析】由平行线的性质可得三角形相似，可得对应比成比例，可得，的关系，再由角平分线的性质，可得，再由的大小，可得的值．
本题考查角平分线的性质的应用及平行线性质的应用，属于基础题．
16.【答案】解：令，即，
解得，．
因为函数图像与横轴交点、在的左边，所以，．
如图，，
设点到横轴的距离为，则，
当位于抛物线顶点时，，
面积的最大值为．
【解析】令，解方程即可求解，的坐标；
当位于抛物线顶点时，面积的最大值，求出三角形的底和高即可得解．
本题主要考查二次函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：因为集合，故为的正约数，
即的值可以为，，，，
用列举法表示为．
【解析】由已知结合集合的列举法与描述法的转化即可求解．
本题主要考查了集合列举法与描述法的转化，属于基础题．
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