2022-2023学年福建省泉州市南安市蓝园高级中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州市南安市蓝园高级中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 设复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 若，则( )
A. B. C. D.
4. 函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5. 已知单位向量，的夹角为，则向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6. 给出下列命题，其中不正确的命题为( )
若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为；
回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系；
随机变量服从正态分布，，则；
甲同学所在的某校高三共有人，先剔除人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为的一个样本，则甲被抽到的概率为．
A. B. C. D.
7. 南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，则第十层有个球．( )
A. B. C. D.
8. 已知抛物线：的焦点为，点，线段与抛物线相交于点，若抛物线在点处的切线与直线垂直，则抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知，，，则下列关系式中，正确的是( )
A. B. C. D.
10. 下列说法正确的是( )
A. 残差图中若样本数据对应的点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精度越高
B. 在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于各组的频数
C. 数据，，，，，，，的第百分位数为
D. 某校共有男女学生人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为人的样本，若样本中男生有人，则该校女生人数是人
11. 如图是函数的部分图像，则( )
A. 的最小正周期为
B. 是函数的一条对称轴
C. 将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数
D. 若函数在上有且仅有两个零点，则
12. 如图，在棱长为的正方体中，是上的动点，则( )
A. 直线与是异面直线
B. 平面
C. 的最小值是
D. 当与重合时，三棱锥的外接球半径为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 曲线在点处的切线方程为______ ．
14. 某学校开设了门体育类选修课和门艺术类选修课，学生需从这门课中选修门或门课，并且每类选修课至少选修门，则不同的选课方案共有______ 种用数字作答．
15. 核桃又称胡桃、羌桃、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳，乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是______ ．
16. 以棱长为的正四面体中心点为球心，半径为的球面与正四面体的表面相交部分总长度为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，已知．
求；
若，，求的面积．
18. 本小题分
记等差数列的前项和为，已知，．
求的通项公式；
设，数列的前项和为，若，求的值．
19. 本小题分
如图，在五面体中，平面，，，．
若为线段的中点，证明平面；
若，，，求平面与平面夹角的余弦值．
20. 本小题分
某校高三名学生的一模考试数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，，，，，．
求图中的值；
根据频率分布直方图，估计这名学生的一模考试数学成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值代表；
从一模数学成绩位于，的学生中采用分层抽样抽取人，再从这人中随机抽取人，该人中一模数学成绩在区间的人数记为，求的分布列及数学期望．
21. 本小题分
已知椭圆：的左顶点为，上顶点为，右焦点为，为坐标原点，线段的中点为，且．
求的方程；
已知点，均在直线上，以为直径的圆经过点，圆心为点，直线，分别交椭圆于另一点，，证明：直线与直线垂直．
22. 本小题分
已知函数，．
当时，讨论函数的单调性；
当时，证明：对任意的，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，可得，
结合，得．
故选：．
根据题意先解不等式求出集合，用列举法算出集合，再根据集合交集运算法则即可求解．
本题主要考查了不等式的解法、集合基本运算及其应用等知识，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
故的虚部为．
故选：．
先利用复数的运算法则求出复数，然后利用复数的定义进行判断即可．
本题考查了复数的运算，涉及了复数的定义的理解，解题的关键是先利用复数的运算化简复数属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由于，
故令，可得．
故选：．
采用赋值法，即令，即可求得答案．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，且函数定义域为，关于原点对称，
所以是偶函数，其图象关于轴对称，排除，
，排除，
，排除．
故选：．
首先判断函数的奇偶性，再代入计算和的值即可得到正确答案．
本题主要考查了函数图象的变换，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为两个单位向量和的夹角为，
则，
所以，，
，
故所求投影向量为．
故选：．
根据向量的数量积公式及投影向量的定义即可求解．
本题主要考查向量的数量积公式及投影向量的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：对于，若，则，故错误；
对于，回归方程为，可知，则变量与具有负的线性相关关系，故正确；
对于，，
，
，
，
，故错误；
对于，根据简单随机抽样概率均等可知，甲被抽到的概率为，故错误．
故选：．
根据方差的性质可判断；
根据变量，的线性回归方程的系数，判断变量，是负相关关系可判断；
利用正态分布的对称性，计算求得结果可判断；
根据简单随机抽样概率均等，计算出每人被抽取的概率可判断．
本题主要考查概率与统计的知识，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意知：
，
，
，
，
所以．
故选：．
把每一层的球数看成数列的项，即可得一个数列，根据规律即可求解．
本题考查归纳推理相关知识，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题知，，设点的坐标为，
因为，所以抛物线在点处的切线斜率为，
因为抛物线在点处的切线与直线垂直，所以，即，所以，
因为点在线段上，所以，所以，解得，
所以抛物线的方程为．
故选：．
设点的坐标为，利用导数求得抛物线在点处的切线方程，利用直线垂直时斜率的关系求解即可．
本题考查抛物线的方程，要求考生了解抛物线的定义及简单几何性质．
9.【答案】
【解析】解：，，
因为，所以，所以，即．
因为，所以，即．
所以，故AC正确，B错误．
，故D错误．
故选：．
由换底公式可得，，根据可比较，，的大小，根据基本不等式可得．
本题考查了对数的换底公式，对数函数的单调性，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由残差定义，如果样本数据点分布的带状区域越狭窄，
说明该模型的似合精度越高，故A正确；
对于，在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故B错误；
对于，，
该组数据的第百分位数为第个数和第个数的平均数为，故C错误；
对于，设该校女生人数为，由已知可得，
解得，故D正确．
故选：．
根据残差的定义即可判断；根据频率分布直方图的特征即可判断；根据百分位数的定义即可判断；根据分层抽样的抽样比即可求解．
本题考查残差的定义、频率分布直方图的特征、百分位数的定义、分层抽样的抽样比等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：由图像可知，，，即，故A正确；
，此时，
又 在图像上，，解得，
，
，
，
，
当是函数的一条对称轴时，此时不符合题意，故B错误；
将的图象向右平移个单位后得到的图象对应的解析式为：
不为奇函数，故C错误；
令，解得，
当 时，，不合题意
时，；时，；时，；
又因为函数在上有且仅有两个零点，
，解得，故D正确．
故选：．
先根据图像可得，，即可判断；令解出即可判断，接下来求得，，即可得到的解析式，根据图象平移判断；令，解出函数零点，然后根据在上有且仅有两个零点列出不等式解，即可判断．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于难题．
12.【答案】
【解析】解：当在上运动时，平面，平面，，平面，
由异面直线的定义可得直线与是异面直线，故A正确；
由，且，可得四边形为平行四边形，得到，
同理可得，又，可知平面平面，得到平面，故B正确；
把平面翻折至正方体上底面与在两侧，有，
则的最小值是，故C错误；
当与重合时，三棱锥的外接球即正方体的外接球，半径为，故D正确．
故选：．
由异面直线的定义判断；证明面面平行，可得线面平行判断；由余弦定理求得的最小值判断；利用分割补形法求三棱锥的外接球半径判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中点、线、面间的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，得，
，又，
所求的直线方程为，即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：若选门，则只能各选门，有种，
如选门，则分体育类选修课选，艺术类选修课选，或体育类选修课选，艺术类选修课选，
则有，
综上共有种不同的方案．
故答案为：．
利用分类计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：设事件所取核桃产地为甲地为事件，事件所取核桃产地为乙地为事件，所取核桃为空壳为事件，
则，，，，
，
所以该核桃是空壳的概率是．
故答案为：．
利用全概率公式求解即可．
本题考查条件概率，考查全概率公式，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：将正四面体放入正方体中，则正方体的棱长为，
所以正四面体的体积为，
表面积为，
设正四面体的内切球半径为，
则，解得，
显然内切球心为，故到面的距离为，
球面与面相交部分为以的圆，
设三角形的内切圆半径为，圆心为，为的中点，
则，故，此时恰好，
即球面与各表面相交部分恰为三角形的内切圆，
故当时，圆弧总长度为．
故答案为：．
求出正四面体 内切球半径即为球心到面的距离，从而得到球被平面所截得的圆的半径，再求出的内切圆的半径，此圆恰好为球被平面所截得的圆，即球面与各表面相交部分恰为三角形的内切圆，求四个内切圆的周长即可．
本题主要考查了正四面体的结构特征，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
即，
由为三角形内角得；
由余弦定理得，
所以，
解得舍负，
所以的面积．
【解析】由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化简可求；
结合余弦定理先求出，然后结合三角形面积公式可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：设的公差为，因为，
所以，解得，
又，所以，
所以．
因为，
所以
，
由，解得，
所以．
【解析】根据下标和定理及得出，结合即可求出，进而写出通项公式；
首先写出的表达式，由裂项相消法得出，由解出即可．
本题主要考查等差数列的前项和，裂项求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：如图分别取，的中点，，
连接，，，则，
因为，，
所以，，即四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，所以，
由，为中点，知，
又，，平面，
所以平面，
所以平面；
在平面中，延长，交于一点，连接，则为平面与平面的交线，
由于，，所以为的中点，
因为为的中点，所以，
由知，平面，
所以平面，
又，平面，
所以，，
因为平面，平面，且平面，平面，
所以，则为锐角，
故即为平面与平面夹角，
在中，，，所以，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】分别取，的中点，，连接，，，易证四边形为平行四边形，从而知，再证平面，进而得证；
延长，交于一点，连接，利用定义证明即为平面与平面的夹角，再解直角三角形，得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，平面与平面夹角的定义与找法是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意得，，解得．
该名学生的数学成绩的平均分约为．
由得，一模数学成绩在区间与的人数之比为：，
所以抽取的人中数学成绩在区间内的有人，数学成绩在区间内的有人，
所以的所有可能取值为，，，
，，，
所以的分布列为：
．
【解析】利用频率分布直方图中频率之和等于，列方程求解即可；
根据平均数公式计算即可；
求得的可能取值及对应概率，完成分布列，即可求得期望．
本题考查频率分布直方图及随机变量分布列，要求考生体会频率分布直方图在统计中的重要性及理解离散型随机变量的分布列．
21.【答案】解：由题意，，，，
由，得，即，可得，
又，解得，，
椭圆的方程为；
证明：设，，可得，
以为直径的圆经过点，，即，
，
，：，
联立，得．
，得，
，则；
同理可得
，
又，
．
又，．
，即．
【解析】由题意得，，的坐标，再由，整理可得，结合隐含条件即可求得与的值，则椭圆方程可求；
设，，可得，由已知可得，推出，写出所在直线方程，与椭圆方程联立求得点坐标，同理求得点坐标，再由即可证明．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：当时，，，
令，解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
所以的增区间是，减区间是．
证明：当时，，，
设，则，
由知时，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以即在单调递增，所以，
所以在单调递增，所以．
【解析】代入，求出导函数，根据导函数，即可得出函数的单调区间；
代入，求出导函数构造函数二次求导，即可推得在单调递增，根据，即可得出的单调性，进而得出证明．
本题考查了函数的单调性，不等式的证明，利用不等式进行放缩，结合三角函数的有界性证明是解题的关键，是中档题．
第1页，共1页