2023-2024学年江西省部分学校高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省部分学校高二（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. ( )
A. B. C. D.
2. 已知复数为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3. 已知全集，，，则( )
A. B. C. D.
4. 若向量，，且，则实数的取值集合为( )
A. B. C. D.
5. 年夏天，国产动画电影长安三万里热映，点燃“唐诗热”，为此某市电视台准备在该电视台举办的“我爱背唐诗”前三届参加总决赛的名选手假设每位选手只参加其中一届总决赛中随机抽取名参加一个唐诗交流会，若按前三届参加总决赛的人数比例分层随机抽样，则第一届抽取人，若按性别比例分层随机抽样，则女选手抽取人，则下列结论错误的是( )
A. 是样本容量
B. 第二届与第三届参加总决赛的选手共有人
C. 名选手中男选手有人
D. 第一届参加总决赛的女选手最多有人
6. 已知且，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
7. 已知在三棱锥中，平面平面，是边长为的正三角形，，点为的中点，若点，，，都在球的表面上，点，，，都在球的表面上，则球与球的体积之比为( )
A. B. C. D.
8. 在棱长为的正方体中，已知为的中点，点为底面上的动点，若，则点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若角的终边经过点，则下列结论正确的是( )
A. 是第二象限角 B. 是钝角
C. D. 点在第二象限
10. 已知，，则( )
A. B.
C. D.
11. 下列“若，则”形式的命题中，满足“是的充分不必要条件”的有( )
A. 若事件，相互独立，则事件，也相互独立
B. 若，则在上单调递增
C. 若，则
D. 若点，到平面的距离都为，则直线与平行或相交
12. 已知，若方程在上恰有个不同实根，，，则当取最小值时，下列结论正确的有( )
A. B.
C. 的图象关于直线对称 D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数的单调递增区间为______ ．
14. 若，则 ______ ．
15. 函数是奇函数，则实数 ______ ．
16. 黄金分割比例在几何原本中称为中末比，中末比有很多神奇的性质，在几何原本中有大量与中末比有关的命题，如第十三章命题可叙述为：在正五边形中，连接，，交于点，则，若，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
求在上的值域；
若，求的值．
18. 本小题分
已知是平面内不共线的单位向量，，，，是该平面内的点，且，，．
若，求；
若，，三点共线，求实数的值．
19. 本小题分
在菱形中，，，将沿对角线翻折至的位置，使得．
证明：；
求三棱锥的体积．
20. 本小题分
已知年年中国网民规模单位：亿人依次为，，，，，，，，，．
求这组数据的分位数；
求这组数据的平均数与方差；
从不小于分位数的数据中，任选个不同数据，记事件“两数之和大于”，事件“两数之和为整数”，求．
21. 本小题分
已知在正三棱柱中，，点为的中点，点在的延长线上，且．
证明：平面；
求二面角的正切值．
22. 本小题分
已知中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，点，分别在线段，上，从下面两个条件中选一个，求的最小值．
的周长为周长的；
的面积为面积的．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用诱导公式直接化简求解即可．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：为纯虚数，
，解得：．
故选：．
根据复数运算法则和纯虚数定义可直接构造方程组求得结果．
本题考查了纯虚数的定义，考查转化思想，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，，所以，
因为，所以．
故选：．
根据补集的运算求解集合，然后利用交集运算求解即可．
本题考查了集合的补集和交集的运算，补集和全集的定义，考查了计算能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由得：；
当时，方程无实根；
当时，，解得：舍或；
综上所述：实数的取值集合为．
故选：．
根据向量垂直的坐标表示可直接构造方程求得结果．
本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对于，由样本容量定义知：样本容量为，故A正确；
对于，第一届参加总决赛的选手有人，第二届与第三届参加总决赛的选手共有人，故B正确；
对于，女选手共有人，男选手有人，故C错误；
对于，由知：第一届参加总决赛的选手共人，第一届参加总决赛的女选手最多有人，故D正确．
故选：．
根据样本容量定义、分层抽样原则依次判断各个选项即可．
本题主要考查了样本容量定义，考查了分层抽样的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由且，可得，，A正确；
由，可得，B正确；
取，，则不成立，C错误；
，D正确．
故选：．
根据不等式的性质、特殊值以及配方法求得正确答案．
本题主要考查了不等式的基本性质，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，交于点，
是边长为的正三角形，，，
，，，，，
平面平面，平面平面，，平面，平面，
又平面，，，
点即为球的球心，球的半径，
，，为中点，，
点为球的球心，球的半径，
球与球的体积之比为．
故选：．
取的中点，根据面面垂直关系和线面垂直性质可证得，由此可求得，得到为球的球心，根据直角三角形的性质可知为球的球心，所求体积之比为半径的立方之比，由此可求得结果．
本题考查了球的体积计算，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：取的中点，的中点，的中点，连接，，，，
因为，分别为，中点，所以，所以，，，四点共面；
因为平面，平面，所以，
因为四边形为正方形，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以；
在与中，，所以，
又，所以，即，
因为，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以；
因为，，平面，所以平面，
因为，为底面上的动点，平面平面，
所以点的轨迹为线段，且点轨迹长度为．
故选：．
取，中点，，可知，，，四点共面；可分别证得平面，平面，得，，由线面垂直的判定可知平面，由此知点的轨迹为线段．
本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：由点在第二象限，可得是第二象限角，但不一定是钝角，A正确，B错误；
，C正确；
由，，则点在第四象限，D错误．
故选：．
根据点的坐标、象限角，三角函数的定义等知识确定正确答案．
本题主要考查了象限角，三角函数的定义等知识的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，，
对于，，，又，，A错误；
对于，，B正确；
对于，，，
，C正确；
对于，，D正确．
故选：．
根据指对互化可得，再利用换底公式、对数运算法则依次验证各项即可．
本题主要考查对数的大小比较，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，若事件，相互独立，则；
，事件与事件互斥，
，
，
事件相互独立，充分性成立；
若事件相互独立，则，
，事件与事件互斥，
，
，
事件，相互独立，必要性成立；
事件，相互独立是事件相互独立的充要条件，A错误；
对于，在上单调递增，
当时，在上单调递增，充分性成立；
若在上单调递增，则，必要性不成立；
是在上单调递增的充分不必要条件，B正确；
对于，当时，，，，充分性成立；
当时，，，必要性不成立；
是的充分不必要条件，C正确；
对于，点，在平面同侧时，若到平面距离均为，则；
点，在平面异侧时，若到平面距离均为，则与相交；充分性成立；
当与平行或相交时，两点到平面的距离未必相等，必要性不成立；
点，到平面的距离都为是直线与平行或相交的充分不必要条件，D正确．
故选：．
根据独立事件和对立事件概率公式推导可知A错误；根据二次函数的性质可确定B正确；根据三角函数在各象限内的符号，结合反例可知C正确；根据点与面、直线与平面位置关系可知D正确．
本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得：的最小正周期，解得，
且，则，解得，所以，故A正确；
此时，
因为，则，
又因为，则，
所以，解答，故B错误；
由，得为最大值，
故的图象关于直线对称，故C正确；
由，，可得，，
且，则，
可得，，
所以，D正确．
故选：．
对于、：根据题意结合正弦函数性质求，；对于、：可得，进而以为整体，结合正弦函数的对称性判断．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：的定义域为，
令，则其在上单调递增，
在上单调递增，
根据复合函数单调性可知，的单调递增区间为．
故答案为：．
求出内层函数的增区间，结合复合函数单调性得答案．
本题考查复合函数的单调性的求法，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以，，．
故答案为：．
由复数除法以及复数相等的概念即可求解．
本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为是奇函数，
所以，
，
所以．
故答案为：．
根据是奇函数，由求解．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由正五边形性质知：，，又，
四边形为菱形，，
由得：，
又，，
在中，由余弦定理得：，
，
．
故答案为：．
易知四边形为菱形，根据比例关系可求得，，结合余弦定理可求得，将所求数量积利用向量线性运算化为，根据向量数量积定义可求得结果．
本题考查了余弦定理和向量线性运算，属于中档题．
17.【答案】解：当时，，
当或时，；当时，；
在上的值域为．
，，
，
．
【解析】利用的范围可求得的范围，由整体代换法，结合正弦函数性质可求得值域；
利用二倍角余弦公式可求得，根据诱导公式可得结果．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：，，，
，，
．
三点共线，，即，
，可得，．
．
【解析】根据向量线性运算可得，利用可构造方程求得结果；
根据向量线性运算可得，由三点共线可直接构造方程求得结果．
本题考查三点共线的性质的应用，属于基础题．
19.【答案】证明：如图，设，
四边形为菱形，，即；
，即，为中点，；
，，平面，平面，
平面，．
解：由平面可得：是三棱锥的高，
，，为等边三角形，，，
又，，又，
，，
．
【解析】根据菱形的性质和等腰三角形三线合一性质可证得，，由线面垂直的判定和性质可证得结论；
根据长度关系可证得，并求得，利用体积桥可求得结果．
本题主要考查线线垂直的证明，棱锥体积的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，
因为，所以第分位数为第个数据．
，
．
不小于分位数的数据有，，，，，，从中任取个不同数据，结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，共有种，
，，，，
，，，，
，，
所以
【解析】根据百分位数的概念求解即可；
根据数据的平均数与方差的概念求解即可；
根据古典概型的公式求解概率即可．
本题主要考查统计与概率的知识，属于基础题．
21.【答案】解：证明：因为，所以，
又为的中点，所以，所以，又，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．
取的中点，连接，，
因为三棱柱是正三棱柱且，故BG，
因为为的中点，所以，故为等腰直角三角形，，
因为，所以为等腰直角三角形，故，
所以，又，所以，
又因为平面平面，交线为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，因为平面，，
所以就是二面角的平面角，
因为，，所以，
即二面角的正切值为．
【解析】由线段比例关系得到四边形为平行四边形，所以，进而证明出线面平行；
作出辅助线，证明出线面垂直，得到线线垂直，找到就是二面角的平面角，再由线段之间的关系得到二面角的正切值．
本题考查空间直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．利用向量这一工具，解决空间几何体问题，能够降低思维难度，是中档题．
22.【答案】解：由正弦定理得：，所以，，
设，则，，
由余弦定理得：，
又，所以．
若选条件，因为，所以由得：，解得：，所以，，
所以的周长为；
设，，
由余弦定理得：，
所以，
因为，
所以当且仅当时取等号，
所以，
即，所以当且仅当时取等号，
所以的最小值为；
若选条件，因为，所以由得：，解得：，所以，，
设，，
所以，则，
由余弦定理得：当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
【解析】利用正弦定理角化边可求得，设，利用余弦定理可得，进而得到；
设，，
若选，利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，进而得到，由此可得最小值；
若选，根据面积比可得，由余弦定理可得，利用基本不等式可求得最小值．
本题主要考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
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