2022-2023学年山东省临沂市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省临沂市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知，则( )
A. B. C. D.
4. 函数的导函数为，则有解是有极值的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即个点，根据和的二进制编码，一共有种不同的码假设我们秒钟用掉亿个二维码，万年约为秒，那么大约可以用参考数据：，( )
A. 万年 B. 万年 C. 万年 D. 万年
6. 将六位数“”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为( )
A. B. C. D.
7. 如图是函数的导函数的图象，则的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
8. 若，，且，则( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知随机变量，，则( )
A. B.
C. D.
10. 已知随机变量，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11. 已知事件，满足，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若与互斥，则
C. 若，则与相互独立
D. 若与相互独立，则
12. 对，表示不超过的最大整数，例如：，，，且有性质，，性质，性质十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”已知函数，则( )
A. 为偶函数 B. 的值域为
C. 在单调 D. ，
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若的展开式中的系数为，则实数 ______ ．
14. 从，，，，，，中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则 ______ ．
15. 核桃与扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”，它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为，乙地种植的核桃空壳率为将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率为______ ．
16. 若函数满足且，则称为函数已知，均为函数，当时，，，则方程在上所有根的和为______ 参考数据：，
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
某食品加工厂拟购买一批智能机器人生产花生油，以提高生产效率，降低生产成本已知购买台机器人的总成本为单位：万元．
要使所购买的机器人的平均成本最低，应购买多少台机器人？
现将按所求得的数量购买的机器人全部投入生产，并安排名工人操作这些机器人每名工人可以同时操作多台机器人已知每名工人操作水平无差异，但每台机器人每日生产花生油的质量单位：吨与操作工人的人数有关，且满足关系式：求引进机器人后，每台机器人日生产量达到最大值时，操作工人的人数的最小值．
18. 本小题分
近几年，大健康产业快速兴起，现已成为国民经济新的增长点，受益于人们对健康认识的增强和新媒体的发展，很多健康产业迎来了史无前例的发展与机遇某按摩椅厂家的一个经销商进行网络直播带货，通过次试销得到销量单位：台与销售单价单位：千元的数据如下：
根据以上数据，求关于的经验回归方程；
若使每次直播带货销量不低于台，预估销售单价最多是多少？
参考公式：参考数据：，．
19. 本小题分
已知函数．
判断的单调性，并求的极值；
若函数，求的零点个数．
20. 本小题分
为了解某班学生喜欢下中国象棋是否与性别有关，现对本班名同学问卷调查分析，得到如下的列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男
女
合计
补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢下中国象棋与性别有关联？
现从该班喜欢下中国象棋的同学中，按性别采用比例分配的分层抽样的方法抽取人，然后从这人中随机抽取人，记这人中喜欢下中国象棋的女同学人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
21. 本小题分
已知函数．
求的图象在处的切线方程；
证明：其中，使得．
22. 本小题分
甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得分；只有一人答对，该团队得分；两人都答错，该团队得分假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，．
记表示该团队一轮答题的得分，求的分布列及数学期望；
假设该团队连续答题轮，各轮答题相互独立，记表示“没有出现连续三轮每轮得分”的概率．
求，的值；
若，求，，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，解得：，
集合
．
故选：．
解不等式求集合，再根据集合的运算求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：命题：，，则为，．
故选：．
利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
本题考查命题的否定，注意量词的变化，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
令可得：，
令可得：，
，
故选：．
在所给的等式中，分别，，可得结论．
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：函数可导，则“有实根”无法得出“有极值”，只有的两侧导数符号发生变化，才有极值，
反之，“有极值”，则“有实根”．
因此“有实根”是“有极值”的必要不充分条件．
故选：．
利用函数取得极值的定义即可判断出结论．
本题考查了函数取得极值的定义、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意得大约能用万年，
而，
所以．
故选：．
由已知结合对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
个位数字为或时，首位数字不能为，可以有个偶数，
个位数字为时，其余个数字全排列即可，有个偶数，
则有个偶数．
故选：．
根据题意，按个位数字是否为，分种情况讨论，进而由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，结合导函数图象可知，在区间上，且先增大再减小，
则在区间上，为增函数，其图象先平缓再变陡峭，最后边平缓，
只有选项符合．
故选：．
根据题意，利用导数与单调性的关系，结合导函数图象，判断的单调性，进而可得结论．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的导数与单调性的关系，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由于，，且，
故，整理得，当且仅当时取等号，
即，
故，即或舍去，此时，
所以，
的最小值为．
故选：．
直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的运用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
，
，
选项A，，
，
所以，即选项A正确；
选项B，，
，
所以，即选项B错误；
选项C，，
，
所以，即选项C正确；
选项D，，
，
所以，即选项D正确．
故选：．
参考正态分布的原理，结合正态分布的对称性，逐一分析选项，即可．
本题考查正态分布的性质，熟练掌握正态分布的对称性与原理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对选项，，
当时，，选项正确；
对选项，，
当时，，
，选项错误；
对选项，，
，
，
，选项正确；
对选项，，
，
，
，选项错误．
故选：．
根据二项分布的期望与方差的结论，期望与方差的性质，即可分别求解．
本题考查二项分布的期望与方差，期望与方差的性质，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，若，
则，故A错误；
对于，与互斥，
则，
故，故B正确；
对于，，
则与相互独立，故C正确；
对于，与相互独立，
则与也相互独立，
故，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合条件概率公式，以及互斥事件的概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，以及互斥事件的概率公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，
，所以是偶函数，A正确；
对于，，
由于，所以，
所以的值域是，B正确；
对于，由于，
所以，可见在不是单调的，C错误；
对于，由上可知D正确．
故选：．
按照定义判断函数的奇偶性、值域和周期性即可．
本题主要考查函数的奇偶性和周期性，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据
的展开式中的系数为，
可得实数．
故答案为：．
由题意，把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数，再根据系数为，求出实数的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：事件：取到的两个数之和为偶数，所包含的基本事件有：、、，、，，，，，
，
事件：取到的两个数均为偶数，所包含的基本事件有，，，
，
由条件概率公式，可得．
故答案为：．
用列举法，可得事件包含的基本事件有个，事件包含的基本事件有个，用古典概型计算公式算出、，再由条件概率公式加以计算，可得的值．
本题考查了古典概型计算公式、条件概率的计算等知识，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设事件所取核桃产地为甲地为事件，事件所取核桃产地为乙地为事件，
所取核桃为空壳为事件，
则，，，，
．
所以该核桃是空壳的概率是．
故答案为：．
利用全概率公式求解即可．
本题考查条件概率，考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为函数满足且，
函数的周期为，对称轴为，
，的周期都为，对称轴都为，
由正弦函数的性质可知在上单调递增，在上单调递减，
且，，，，
由指数函数的性质可知在上单调递减，
且，，，，
又，
，即，
，
又，
，即，，
作出与在上图象，如图所示：
又，的周期都为，对称轴都为，
作出与在上的图象，如图所示．
方程在上个根的和为，
故答案为：．
根据函数满足且，可得函数的周期为，对称轴为当时，，，画出其图象，再根据其对称性与周期画出给出的区间图象，进而得出结论．
本题考查了三角函数与指数函数的图象与性质、函数的对称性与周期性、方程的解转化为函数图象的交点，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．
17.【答案】解：因为购买台机器人的总成本为，
所以每台机器人的平均成本为：，当，即时，等号成立．
所以应购买台机器人；
当时，台机器人每日生产花生油的质量为，
所以当时，台机器人每日生产花生油的质量的最大值为吨；
当时，台机器人每日生产花生油的质量为吨；
所以当时，每台机器人日生产量达到最大值，此时人数最少．
【解析】由题意可得每台机器人的平均成本为：，结合基本不等式求解即可；
分、分别求出每台机器人日生产量达到最大值，即可得答案．
本题考查了函数在实际生活中的运用、基本不等式的应用、二次函数的性质，属于中档题．
18.【答案】解：，，
，，
，
．
关于的经验回归方程为；
由，取，得，
解得：．
若使每次直播带货销量不低于台，预估销售单价最多是千元．
【解析】由已知求得与的值，可得关于的经验回归方程；
由列式求解的范围即可．
本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
仅有极小值为；
当时，；当时，，且，
同时结合，可得的图象为：
又的零点个数，即为与的交点个数，
数形结合可得：
当时，的零点个数为；
当时，的零点个数为；
当时，的零点个数为．
【解析】导数，利用导数研究函数的单调性，即可求解；
作出的图象，数形结合，即可求解．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，函数零点问题的求解，化归转化思想，数形结合思想，属中档题．
20.【答案】解：根据题意可得补全后的列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男
女
合计
，
不能认为喜欢下中国象棋与性别有关联；
由及分层抽样的概念可得：
所抽取的人中，男同学人，女同学人，
这人中喜欢下中国象棋的女同学人数为，，，
；
；
，
的分布列为：


．
【解析】先根据题意补全列联表，再计算，最后根据独立性检验原理，即可求解；
根据分层抽样，古典概型的概率公式及组合数公式，离散型随机变量的分布列的概念与期望的定义，即可求解．
本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
21.【答案】解：，
则，
又，
则的图象在处的切线方程为；
证明：设，则，
令，，
易知满足，且，
若在区间上单调递增，此时，不满足题意；
若在区间上单调递减，此时，不满足题意；
所以函数在区间上不是单调函数，
则函数在区间上必有极值点，
即，使得，即，
即其中，使得．
【解析】对函数求导，求得，，再利用导数的几何意义得解；
构造函数，分析可知函数在区间上不是单调函数，则，使得，由此容易得证．
本题考查导数的几何意义，考查导数的综合运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：由题意知，随机变量的可能取值为，，，
计算，
，
；
所以的分布列为：
数学期望为；
由题意知，，，
，
；
经分析知，
第轮 第轮 第轮
没有得分
得分 没有得分
得分 得分 没有得分
所以，
所以，，．
【解析】由题意知的可能取值，计算对应的概率值，写出的分布列，求出数学期望值；
由题意求出、，再计算和的值；
分析题意，得出与、和的递推关系，即可求出、和的值．
本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了运算求解能力，是难题．
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