2023-2024学年上海市南模中学高二（上）期初数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市南模中学高二（上）期初数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 平面向量满足，则在上投影向量为( )
A. B. C. D.
2. 已知，，，是各项均为正数的等差数列，其公差大于零，若线段，，，的长分别为，，，，则( )
A. 对任意的，均存在以，，为三边的三角形
B. 对任意的，均不存在以为，，三边的三角形
C. 对任意的，均存在以，，为三边的三角形
D. 对任意的，均不存在以，，为三边的三角形
3. 如图，空间四边形的对角线，相等，顺次连接各边中点，，，，则四边形一定是( )
A. 矩形
B. 正方形
C. 菱形
D. 空间四边形
4. 已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 已知，，为虚数单位，则______．
6. 在空间四点中，三点共线是四点共面的______条件．
7. 函数的定义域为______ ．
8. 已知向量，，若，，则 ______ ．
9. 已知，，且为第二象限角，则 ______ ．
10. 将函数的图象向右平移______ 个单位长度后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象．
11. 设和是关于的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 ______ ．
12. 已知无穷等比数列，，，则公比 ______ ．
13. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为______
14. 已知正项数列的前项和为，满足，则的最小值为______ ．
15. 如图，矩形中，，为的中点，将沿直线翻折，构成四棱锥，为的中点，则在翻折过程中，
对于任意一个位置总有平面；
存在某个位置，使得；
存在某个位置，使得；
四棱锥的体积最大值为．
上面说法中所有正确的序号是 ．
16. 已知平面向量两两都不共线．若，，则的最大值是______．
三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知复数，为虚数单位．
若为实数，求；
设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求．
18. 本小题分
三棱锥中，，分别为，中点，，．
求证：平面；
求异面直线与所成角的大小．
19. 本小题分
某公园有三个警卫室、、，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿从警卫室出发前往警卫室，同时保安乙沿从警卫室出发前往警卫室，甲的速度为千米小时，乙的速度为千米小时．
保安甲从出发小时后达点，若，求实数、的值；
若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过千米，试问有多长时间两人不能通话？精确到小时
20. 本小题分
已知数．
将函数解析式化为的形式；
若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
将图像先向左平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图像若关于的方程在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．
21. 本小题分
已知数列，若为等比数列，则称具有性质．
若数列具有性质，且，，求、的值；
若，判断数列是否具有性质并证明；
设，数列具有性质，其，，，试求数列的通项公式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
，
在上投影向量为
故选：．
先求出，再根据投影向量的定义即可求解．
本题考查了平面向量的数量积的运算，投影向量的定义，属于中档题．
2.【答案】
【解析】【分析】利用等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解答】解：：对任意的，假设均存在以，，为三边的三角形，，，，是各项均为正数的等差数列，其公差大于零，，，
而不一定大于，因此不一定存在以为，，三边的三角形，故不正确；
：由可知：当时，存在以为，，三边的三角形，因此不正确；
：对任意的，由于，，，因此均存在以，，为三边的三角形，正确；
D.由可知不正确．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：连接、，则
、、、分别为各边的中点，
，，，，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形
故选：．
利用、、、分别为各边的中点，可得这个四边形是平行四边形，再由对角线相等，即可得到结论．
本题考查了三角形的中位线的性质及特殊四边形的判定，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，其中，
处取得最大值
，即，，
，，
，，
，
得，
，
即，解得，
若，则，
，
，，
，
，这与矛盾，故应舍去．
由得，，
，在第一象限，
取，，
由，即，
，，
，，
使最小，则，
即，
若不等式恒成立，则，
故选：．
先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得，再根据，可得，联立求出的值，再根据三角函数的性质可得，，求出，根据不等式恒成立，则，即可求出答案．
本题考查了三角恒等换和同角的三角函数的关系，三角形函数的图象和性质，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于难题．
5.【答案】
【解析】解：因为，即，
由复数相等的定义可得，，即．
故答案为：．
利用复数相等的定义求解即可．
本题考查了复数相等定义的理解和应用，属于基础题．
6.【答案】充分不必要
【解析】解：空间四点中，若有三点共线，则第四点不论在线上，还是在线外，四点一定共面；
反之，若空间四点共面，不一定有三点共线，
故在空间四点中，三点共线是四点共面的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
由平面的基本性质结合充分必要条件的判定得答案．
本题考查平面的基本性质及推理，考查充分必要条件的判定，是基础题．
7.【答案】，
【解析】解：由题意得，故，．
故答案为：，．
由真数大于得到，解不等式得到定义域．
本题主要考查了对数函数的定义域，以及正弦函数的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
开设，由可得，
所以，解得，
所以，故．
故答案为：．
根据可设出向量的坐标，再依据向量垂直求出的坐标，进而求解的值．
本题主要考查了向量的平行与垂直，向量的坐标表示，向量的模，考查了学生对基础知识的掌握情况，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：为第二象限角，，解得：或；
，即，
，解得：舍或，
，，．
故答案为：．
根据三角函数值在各象限内的符号可求得范围，由同角三角函数平方关系可构造方程求得的值，由此可得，，根据同角三角函数商数关系可求得结果．
本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：设图象对应的函数为，
根据函数的图象可得，，，
所以，
所以，
将点代入得：，解得：，，
故图象对应的函数为，
故将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数，再进行周期变换可以得到如图所示的图象．
故答案为：．
结合图象运用五点法求得函数解析式，再运用图象平移变换即可求得结果．
本题考查的知识要点：函数的图象，正弦型函数的图象和性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：设，，，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得，
由根与系数的关系可得，，
整理得，，
设、、在复平面上对应的点分别为、、，
则，
可知，关于轴对称，
若复平面上、、对应点构成直角三角形，则，
即，解得，
所以．
故答案为：．
设，则，结合韦达定理可得，，根据题意可知，结合向量的坐标运算求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：无穷等比数列，，则，
，又，得，
则，又，
则，得．
故答案为：．
利用无穷等比数列求和公式即可得．
本题考查无穷等比数列求和问题，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：如图所示：
中，，，，
所以，由正弦定理得，解得，
中，，，
，
所以，所以，
中，由余弦定理得
，
所以，即、两点间的距离为
故答案为：．
根据题意画出图形，中利用正弦定理求出，中利用等角对等边求出，在中由余弦定理求出．
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了推理与运算求解能力，是中档题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
当时，，
所以作差得，
即，
整理得，
又，所以，则，即，
当时，，则，解得或舍，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，但，故不能取等号，
所以当时，，
当时，，
又，所以的最小值为．
故答案为：．
根据与的关系，利用作差法求得与的递推关系式，从而可得与，结合基本不等式求解的最小值即可．
本题考查由数列的递推式求通项公式，与的关系，等差数列的定义及前项和公式，基本不等式等，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：如图，分别取，的中点为，，连接，，，，
因为，的中点分别为，，所以，且，
即四边形为平行四边形，故E，由线面平行的判定可知对于任意一个位置总有平面，故正确；
因为，所以与不垂直，由可知，与不垂直，故错误；
由题意，若，则由线面垂直的判定可得平面，则，
因为，所以与全等，则，此时点与点重合，不能形成四棱锥，故错误；
如图，取的中点为，连接，，
当平面时，四棱锥的体积最大，最大值为，故正确；
故答案为：．
证明，结合线面平行判定判断；由结合与不垂直，判断；由线面垂直的判定得出点与点重合，从而判断；取的中点为，连接，当平面时，四棱锥的体积最大，从而判断．
本题主要考查线线、线面位置关系的判断，棱锥体积的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的综合运用，考查转化思想及数形结合思想，属于难题．
的最大值就是在上的投影之和最大值，依题意可得相邻两向量夹角为，以相邻两向量的模为边长的第三边长度为，结合图象即可得解．
【解答】
解：由于，于是的最大值就是在上的投影之和最大值，
由，知，相邻两向量夹角为，以相邻两向量的模为边长的第三边长度为，
取，作出图象如图所示，
则，由图可知，当时，所有向量在上的投影之和最大，
．
故答案为：．
17.【答案】解：，，
则，
为实数，
，解得；
、在复平面上所对应的点为、，为原点，
则，，
，
，解得，
．
【解析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数、实数的定义，即可求解；
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题．
18.【答案】解：证明：连接，，为的中点，
，，且，
又，为的中点，
，且，
在中，，
，即，
又，，平面，
平面．
取的中点，连接、、，
由为的中点，知，，
直线与所成的角就是异面直线与所成角或其补角，
在中，，，
由平面，平面，所以，
是直角三角形斜边上的中线，，
在中，由余弦定理可得：，
由于异面直线所成角的范围为
所以异面直线与所成角的大小为．
【解析】连接，证明，，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；
取的中点，连接、、，找到异面直线与所成角，求出相关线段长，解三角形，即可求得答案．
本题考查线面垂直以及线面角的求法，属于中档题．
19.【答案】解：因为，所以，
因此建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，
设保安甲从出发小时后到达点，所以有，，
设，，，，
即，当时，，由，
得，
，，
设保安乙从出发小时后达点，所以点的坐标为，
于是有，
因为对讲机在公园内的最大通话距离不超过千米，
所以有，所以，，
或，而，所以有，
因为．
【解析】建立平面直角坐标系，利用平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可；
根据平面向量模的公式结合题意进行求解即可．
本题考查解三角形的实际问题的解法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：；
，当时，即，易知的值域为．
设，则，则题中不等式转化为对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
解得恒成立且恒成立，
因为，所以的最大值为，的最小值为，
所以且，
即；
先将向左平移个单位，得，
再将各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，得到函数，
将方程在上有且只有一个实数解，转化为与有且仅有个交点，
画出在上的图像如下：
由图可知或．
【解析】用倍角公式和辅助角公式即可化简；
可先求出在上的值域，设，通过换元即可简化该不等式，从而求解；
先平移得到，再画出的图像，求与有且仅有一个交点时的范围即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，解不等式时换元会变得更直观，属于基础题．
21.【答案】解：由题意数列具有性质，为等比数列，设公比为，由，，得，
，，，又，；
数列具有性质；
证明：因为，所以，
则，即为等比数列，所以数列具有性质．
因为，
，，
故，，适合该式，故，
所以由，，，，，，则，，，．
因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则，故，，，
当为偶数时，；
当为奇数时，；
故．
【解析】设公比为，结合已知条件求解，然后求解；
数列具有性质；通过，说明，即为等比数列，推出结果．
推出，数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则，推出，通过当为偶数时，当为奇数时，推出
本题考查等比数列的应用，数列求和的方法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
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