2023-2024学年广西南宁市东盟中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西南宁市东盟中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2. 如图，在正六边形中，设，则( )
A.
B.
C.
D.
3. 一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，其中，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的方差是( )
A. B. C. D.
4. 若向量，，则向量与的夹角等于( )
A. B. C. D.
5. 一艘海盗船从处以的速度沿着南偏东的方向前进，在点北偏东距离为的处有一海警船，沿着南偏东的方向快速拦截，若要拦截成功，则海警船速度至少为( )
A. B. C. D.
6. 如图，，分别为边长是的正方形的边，的中点，沿图中虚线折起，使，，三点重合，则围成的几何体的体积是( )
A.
B.
C.
D.
7. 是内的一点，，则的面积与的面积之比为( )
A. B. C. D.
8. 如图所示，已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 给定一组数，，，，，，，，，，则( )
A. 平均数为 B. 标准差为
C. 众数为和 D. 第百分位数为
10. 已知复数，为的共轭复数，则下列结论正确的是( )
A. 的虚部为 B.
C. 为纯虚数 D. 在复平面上对应的点在第四象限
11. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
12. 如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线与是平行直线
B. 直线与是异面直线
C. 直线与所成的角为
D. 平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 一圆锥高为，底面半径为，则它的侧面积为______ ．
14. 已知、为单位向量，且，则，的夹角为______ ．
15. 某校组织了一次关于“生活小常识”的知识竞赛在参加的所有学生中随机抽取位学生的回答情况进行统计，具体如下：答对题的有人；答对题的有人；答对题的有人；答对题的有人；答对题的有人；答对题的有人则在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数大约为______ ．
16. 在平行四边形中，，分别为，边上的点，，，设，，，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知向量，的夹角为，且，，．
求；
当时，求的值．
18. 本小题分
如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点，为和的交点．
证明：平面；
证明：平面平面．
19. 本小题分
某企业招聘，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，按照，，，分组，得到如图频率分布直方图：
Ⅰ求图中的值；
Ⅱ求全体应聘者笔试成绩的平均数；每组数据以区间中点值为代表
Ⅲ该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取人，估计应该把录取的分数线定为多少．
20. 本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．
求角的大小；
若的面积为，外接圆的面积为，求，．
21. 本小题分
计算机能力考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
假设甲、乙、丙三人同时进行计算机理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
这三人进行计算机理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．
22. 本小题分
如图，在三棱锥中，侧棱底面，且，，过棱的中点，作交于点，连接，．
证明：平面；
若，三棱锥的体积是，求直线与平面所成角的大小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【解答】
解：复数，
则的虚部为，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：在正六边形中，，，
则，
故选：．
根据题意有，，则由可得答案．
本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一组数据的方差的求法，考查中位数、众数、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
该组数据的中位数是众数的倍，求出，从而该组数据的平均数为，由此能求出该组数据的方差．
【解答】
解：一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，其中，
该组数据的中位数是众数的倍，
，解得，
该组数据的平均数为，
该组数据的方差是．
故本题选C．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，设向量与的夹角为，
向量，，
则向量，，
则，，，
故，
又由，则．
故选：．
根据题意，设向量与的夹角为，求出与的坐标，进而求出的值，分析可得答案．
本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：如图，
设在点处两船相遇，则，，
，即为等腰三角形，
，，
海盗船的速度为，
海盗船到处需要的时间，
海警船的速度至少为．
故选：．
根据题意，画出方位图，设在点处两船相遇，由位移速度时间，先算出海盗船到处需要的时间，再计算海警船的速度．
本题考查解三角形的实际应用，理解航海追击模型中的方位角，位移、速度、时间三者之间的关系是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：以，，为折痕，折叠这个正方形，使点，，重合于一点，得到一个四面体，如图所示．
在折叠过程中，
始终有，，
即，，
所以平面．
四面体的底面积为：，高为
四面体的体积：．
故选：．
根据题意，在折叠过程中，始终有，，即，，由线面垂直的判定定理，易得平面，然后求出四棱锥的体积即可．．
查几何体的体积的求法．关键是利用线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，得到折叠后三棱锥的高．属于中档题．
7.【答案】
【解析】【分析】
考查向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，以及向量数乘的几何意义，三角形的面积公式．
可取的中点为，并连接，从而可得出，这样便可画出图形，进而得出，这样便可根据三角形的面积公式求出，即得出的面积与的面积之比．
【解答】
解：取中点，连接，则；
，如图所示：
；
；
的面积与的面积之比为．
故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】
平移直线，判断平移后的直线：在平面上则平面，与平面交于一点则不平行，即可得解．
本题主要考查了线面平行的判定，考查了数形结合思想和推理论证能力，属于中档题．
【解答】
解：中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行；
中，由于，而平面，平面，故A平面；
中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行；
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查标准差、众数、平均数、百分位数的求法，是基础题，解题时要注意计算公式的合理运用．
运用标准差、众数、平均数、百分位数的公式求解即可．
【解答】
解：平均数：
众数为：出现次数最多的和
标准差：，
将数据按从小到大顺序排列，则，，，，，，，，，，
一共个数，，
不是整数，则第项是第百分位数，
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的运算问题，也考查了命题真假的判断问题，属于基础题．
根据复数的代数形式运算法则，求出复数，再对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】
解：因为，
所以的虚部为，选项A错误；
由，所以选项B正确；
由为纯虚数，所以选项C正确；
由对应的点在第四象限，所以选项D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选项A正确；
若，，则或，故选项B错误；
若，，则与可能平行也可能异面，故选项C错误；
若，，将与平移至相交，又，则此两个平面的二面角是直二面角，故，故选项D正确．
故选：．
直接利用平面中线、面之间的位置关系对选项进行逐一分析判断，即可得到答案．
本题考查了命题真假的判断，涉及了空间中点、线、面位置关系的判断，解题的关键是熟练掌握空间中线、面之间平行垂直的性质和判定．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间两直线的位置关系的判断，以及异面直线所成角的求法，空间几何体的截面面积问题，属于中档题．
由异面直线的定义可判断；由异面直线所成角的定义可判断；连接，，易知，则平面截正方体所得的截面为等腰梯形，即可求出面积．
【解答】
解：对于，由异面直线定义可得直线与是异面直线，故A错误；
对于，由异面直线定义可得直线与是异面直线，故B正确；
对于，连接，，可得，为直线与所成的角，
而，可得直线与所成的角为故C正确．
对于，连接，，易知，则平面截正方体所得的截面为等腰梯形，
棱长为，
，，，
等腰梯形的高为，
，故D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：因为圆锥的高为，底面半径为，且圆锥的侧面展开图为扇形，
所以扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长：，
扇形半径为：，
所以圆锥的侧面积为．
故答案为：．
圆锥的侧面展开图为扇形，由此能求出其侧面积．
本题考查圆锥的结构特征、侧面展开图、扇形面积公式、圆锥侧面积，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由两边平方得，
又，
所以，
所以，
又，所以．
故答案为：．
根据两个向量夹角的余弦公式求得结果．
本题考查的知识要点：向量的模，向量的夹角，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：答对题的有人；答对题的有人；答对题的有人；
答对题的有人；答对题的有人；答对题的有人．
在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数大约为：
．
故答案为：．
由题意，利用平均数公式求出在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对题数的平均值即可．
本题考查平均数的求法，考查加权平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
，
由解得：，，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
由平面向量的线性运算将用表示出来，从而求得，，再由平面向量的线性运算可得，由平面向量基本定理即可求得，．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题．
17.【答案】解：．
因为，所以，
所以，
解得．
【解析】对模长平方，进而求解即可；
根据求解即可．
本题主要考查向量的模长公式和数量积公式，属于基础题．
18.【答案】解：证明：连接，
四边形是菱形，
是的中点，又是的中点，
，又平面，平面，
平面；
平面，平面，
，
四边形是菱形，
，
又平面，平面，，
平面，
又平面，
平面平面．
【解析】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．
连接，利用中位线定理得出，故而平面；
由平面得，结合可得平面，故而平面平面．
19.【答案】解：Ⅰ由题意，
解得．
Ⅱ这些应聘者笔试成绩的平均数为：
．
Ⅲ根据题意，录取的比例为，
设分数线定为，根据频率分布直方图可知，
且，
解得．
故估计应该把录取的分数线定为分．
【解析】Ⅰ由频率分布直方图列方程能求出．
Ⅱ由频率分布直方图能求出这些应聘者笔试成绩的平均数．
Ⅲ根据题意，录取的比例为，设分数线定为，根据频率分布直方图可知，列出方程能估计录取的分数线．
本题考查与频率分布直方图有关的计算，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：因为，
所以由正弦定理可得，整理可得，
所以，
因为，
所以；
因为，的面积为，
所以，
设外接圆的半径为，
所以外接圆的面积，
解得，
由正弦定理，
解得，
所以由可得，解得，
由，解得或．
【解析】由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可求，结合，即可求解的值；
利用三角形的面积公式可求，设外接圆的半径为，利用圆的面积公式，正弦定理可求的值，进而由余弦定理即可求解，的值．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21.【答案】解：记“甲获得合格证书”为事件，“乙获得合格证书”为事件，
“丙获得合格证书”为事件，
则
从而，
所以丙获得“合格证书”的可能性大分
记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得合格证书”为事件，
则甲、乙、丙三人恰有两人获得“合格证书”的概率为：
．
【解析】记“甲获得合格证书”为事件，“乙获得合格证书”为事件，“丙获得合格证书”为事件，利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲、乙、丙三人获得合格证书的概率，由此得到丙获得“合格证书”的可能性大．
记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得合格证书”为事件，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙、丙三人恰有两人获得“合格证书”的概率．
本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
22.【答案】解：因为平面，平面，所以，
又因为，而，，平面，
所以平面，又平面，所以．
又因为，点是的中点，所以．
而，，平面，
所以平面，平面，所以，
又，，，平面，
所以平面．
设，由得，，
可知，
由∽，得，故，
在中，，
所以，
化简得，解得，故EF．
由知平面，故即为所求角，
在中，，
又，故．
【解析】利用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案；
设，由∽得，再利用求出，由知平面，即为所求角，再由可得答案；
本题考查线面垂直以及线面角相关知识，属于中档题．
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