2023-2024学年海南省海口市嘉勋高级中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年海南省海口市嘉勋高级中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列说法：
零向量是没有方向的向量；
零向量的方向是任意的；
零向量与任意一个向量共线．
其中，正确说法的个数是( )
A. B. C. D.
2. 已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3. 若复数，则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
4. 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在的汽车大约有( )
A. 辆 B. 辆 C. 辆 D. 辆
5. 从编号为、、、的球中，任取个球则这个球的编号之和为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
6. 甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，，那么三人中恰有两人合格的概率是( )
A. B. C. D.
7. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，则
8. 如图所示，已知，分别为的边，上的中线，，，则( )
A.
B.
C.
D.
9. 若，，且，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题（本大题共3小题，共9.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10. 棱台具备的特点有( )
A. 两底面相似 B. 侧面都是梯形
C. 侧棱都相等 D. 侧棱延长后都交于一点
11. 如图，在四面体中，，，，，分别是棱，，的中点，则下列结论中成立的是( )
A. 平面
B. 平面
C. 平面平面
D. 平面平面
12. 为了了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽取了名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有( )
A. 名运动员是总体 B. 所抽取的名运动员是一个样本
C. 样本容量为 D. 每个运动员被抽到的机会相等
三、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. ______ ．
14. 已知、是两个不共线的向量，和是两个共线向量，则实数 ______ ．
15. 某钢木家具厂为某游泳比赛场馆生产观众座椅质检人员对该厂生产的套座椅进行抽检，共抽检了套，发现有套次品，则该厂生产的套座椅中大约有______ 套次品．
16. 在中，为的平分线，，，，则等于______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，已知点是平行四边形所在平面外的一点，、分别是、上的点且、分别是、的中点求证：平面．
18. 本小题分
设，，，为平面内四点，且，，．
若，求点坐标；
设向量，若与平行，求实数的值．
19. 本小题分
某数学兴趣小组共有名学生，其中有名男生、、，名女生、，现从中随机抽取名学生参加比赛．
问共有多少个基本事件列举说明？
抽取的学生恰有一男生一女生的概率是多少？
20. 本小题分
已知三棱锥中，底面，，、分别为、的中点，于．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面平面．
21. 本小题分
在中，已知角、、的对边分别为、、，且．
求角的大小；
求的最大值．
22. 本小题分
某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，乙班为实验班，甲班为对比班，甲、乙两班均有人，一年后对两班进行测试，成绩分别如表和表所示．
表
成绩
频数
表
成绩
频数
现从甲班成绩位于内的试卷中抽取份进行试卷分析，用什么抽样方法更合理？并写出最后的抽样结果．
根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是，请你估计乙班的平均分，并计算两班平均分相差几分．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故错误，正确．
故选：．
根据零向量的定义、性质判断各项的正误即可．
本题考查零向量的定义及性质，属基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的坐标运算，是基础题．
直接利用向量的坐标运算解答即可．
【解答】
解：向量，，
．
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
【解答】
解：，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由图得：时速在的频率为．
所以时速在的汽车大约有：辆．
故选：．
先求出时速在的频率值，再乘以中数；即可得到时速在的汽车大约有多少辆．
本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为
5.【答案】
【解析】解：所有的取法共有种，而和球的编号为偶数的情况有种，故这个球的编号之和为偶数的概率是，
故选：．
所有的取法共有种，而和球的编号为偶数的情况有种，故这个球的编号之和为偶数的概率．
本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题．
根据题意，三个人中恰有个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的，进而求解即可．
【解答】
解：由题意，三个人中恰有个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的，
三人中恰有两人合格的概率为：，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：若，，则或，故A错误；
若，，，则或与相交，故B错误；
若，则与无公共点，又，则与无公共点，即，故D正确；
若，，，则或与异面，故C错误．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一判断四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据图形得，所以．
故选：．
，以此可求得．
本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，，且，
则，，，
故选：．
利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据棱台的定义知：
棱台的两底面相似，故A正确；
棱台的侧面都是梯形，故B正确；
棱台的侧棱长不一定相等，故C错误；
棱台的侧棱延长后都交于一点，故D正确．
故选：．
根据棱台的定义、结构特征直接求解．
本题考查棱台的特点，考查棱台的定义、结构特征等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：是等边三角形所在平面外一点，且，
，，分别是，，的中点，
，平面，平面，平面，故A正确；
选项B：正四面体，和均为等边三角形，
又为的中点，，，
，、平面，平面，即选项B正确；
对于：平面，且平面，平面平面，故C正确；
选项D：过点作平面，垂足为，则为的中心，
在上，且，
设与的交点为，连接，则，
，不重合，
平面与平面不垂直，即选项D错误．
故选：．
由，能证明平面，可判断；由已知推导出，，从而平面，进而平面，可判断；由平面，推导出平面平面，可判断；由已知得平面平面，从而平面与平面不垂直，可判断．
本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
12.【答案】
【解析】解：由题意知，名运动员的年龄是总体，所以A错误；
所抽取的名运动员的年龄是一个样本，所以A错误；
样本容量是，所以C正确；
每个运动员被抽到的机会相等，所以D正确．
故选：．
根据抽样方法、总体、样本和样本容量的定义，判断即可．
本题考查了抽样方法、总体、样本和样本容量的定义与应用问题，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算化简，是基础题．
14.【答案】或
【解析】解：由题意可得：，
整理可得，
因为，是两个不共线的向量，
所以，且，
解得或
故答案为：或
由向量共线可得，进而可得，故，且，联立消掉可解值．
本题考查平行向量和共线向量，涉及方程组的解法，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，该厂生产的套座椅中大约有套次品，
故答案为：．
根据次独立重复实验中恰好发生次的概率定义可解．
本题考查次独立重复实验中恰好发生次的概率，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：中，为的平分线，，，，
设，则，
由余弦定理可得，
，，
故答案为：．
利用余弦定理求得的值，可得的值．
本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．
17.【答案】证明：点是平行四边形所在平面外的一点，
E、分别是、上的点且、分别是、的中点，
，，
平面，平面，
平面．
【解析】由三角形中位线定理得，由此能证明平面．
本题考查线面平行的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
18.【答案】解：设，
，
化为，
，解得，
．
，．
，．
与平行，
，解得．
．
【解析】利用向量相等即可得出结论；
利用向量共线定理即可求解．
本题考查了向量相等、向量共线定理，属于基础题．
19.【答案】解：、、、、、、、、、共个；
记事件“抽取的学生恰有一男生一女生”为，则包含基本事件、、、、、，共个，因此．
【解析】由题意知本题是一个古典概型，按照一定的规则，从开始，依次取、、、，与之组合，而后从开始，依次取，、，与之组合，依此类推，列出基本事件；
由中基本事件，找出事件的基本事件，查其个数，与基本事件的总数作比，得出概率．
在使用古典概型的概率公式时，应该注意：要判断该概率模型是不是古典概型；要找出随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
20.【答案】解：Ⅰ底面，底面，
；
又，为的中点，
，，
平面，平面，
，又，，
平面；
Ⅱ由平面知，；又、分别为、的中点，
是的中位线，，，即，
由平面可知，，，为平面与平面的二面角，又，
平面平面．
【解析】Ⅰ利用线面垂直的判定定理易证平面，于是有，再利用线面垂直的判定定理即可证得平面；
Ⅱ依题意知，，而，于是可得，即平面与平面的二面角为直角，从而可证平面平面．
本题考查线面垂直的判定定理与性质定理的应用，考查面面垂直的定义的应用，考查推理与证明的能力，属于中档题．
21.【答案】解：由，
化简得，，
则，
由于，则；
由，则，
可令，，
则
，
由，则，
当，即，取得最大值．
【解析】本题考查余弦定理及运用，考查三角函数的化简，注意运用两角和差的余弦公式，考查余弦函数的性质，属于中档题．
先化简已知等式，得到，再由余弦定理，即可得到；
由，则，可令，，再由两角和差的余弦公式化简整理，根据余弦函数的性质，即可得到最大值．
22.【答案】解：因为内共有段数据，且段成绩有明显的差异，所以用分层抽样方法更合理；
在，，，共有人，
从中抽取人，抽样比为，
在中应抽取人，
在中应抽取人，
在中应抽取人；
估计乙班的平均分数为分，
所以两班的平均分相差约为分．
【解析】由内共有段数据，且段成绩有明显的差异可知用分层抽样方法更合理，再结合分层抽样的定义求解即可；
利用平均数的定义求解．
本题主要考查了分层抽样的定义，考查了数据分析与运算求解能力，属于基础题．
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