【核心素养目标】人教A版高中数学 选择性必修一 《3.1.2椭圆的简单几何性质（2）》 教案（含教学反思）

人教A版高中数学选择性必修一
《3.1.2椭圆的简单几何性质（2）》教学设计
【教材分析】
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质，教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质.作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力.因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位.
【学情分析】
椭圆是高中数学课程内容中较难的一章节，需要学生具备良好的解析几何思维以及综合计算能力，通过学习椭圆，理解其几何意义，掌握其标准方程和几何性质，并会综合应用解决问题，在本节课程学习中，要注重学生对概念的理解，从简单的题目入手，直接应用性质解题，循序渐进，逐步掌握综合应用题目的解题思路和方法.
【教学目标与核心素养】
教学目标：
A.根据几何条件求出椭圆的方程．
B. 进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用;
C.会判断直线与椭圆的位置关系．
核心素养：
1.数学抽象：椭圆的几何性质
2.逻辑推理：利用椭圆的方程研究椭圆的几何性
3.数学运算：直线与椭圆位置关系的判断
4.数学建模：利用椭圆的知识解决应用问题
【教学重点】
椭圆的方程及其性质的应用
【教学难点】
直线与椭圆的位置关系
【教学方法】
启发教学法，讲授法
【教学过程】
情境导入：
椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准 方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a
顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
轴长 长轴长为2a,短轴长为2b
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 2c
对称性 对称轴:x轴、y轴,对称中心:坐标原点
离心率
典例精析：
例1. 已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．
【答案】　∪
【解析】　依题意得，＋>1，解得k<－或k>.
课堂练习：
跟踪训练1.已知点(1,2)在椭圆＋＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________．
【答案】　9
【解析】　依题意得，＋＝1，而m＋n＝(m＋n)＝1＋＋＋4＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当n＝2m时等号成立，故m＋n的最小值为9.
典例精析：
例2. 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[思路探究]　→
→→得出结论
[解]　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，
得9x2＋8mx＋2m2－4＝0　①.
方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
归纳总结：
代数法判断直线与椭圆的位置关系
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0 直线与椭圆相交；
Δ＝0 直线与椭圆相切；
Δ<0 直线与椭圆相离．
提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．
课堂练习：
跟踪训练2．若直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，求实数m的取值范围．
[解]　因为y＝kx＋1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在椭圆＋＝1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，所以≤1，即m≥1.
当m＝5时，＋＝1不是椭圆，它是以原点为圆心，半径为的圆．
因此，m的取值范围为[1,5)∪(5，＋∞)．
典例精析：
例3. 已知椭圆及直线：
（1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
（2）当时，求直线被椭圆截得的弦长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由消去，
并整理得……①
∵直线与椭圆有公共点
∴，可解得：
故所求实数的取值范围为.
（2）设直线与椭圆的交点为，
由①得： ，
当时，直线被椭圆截得的弦长为.
课堂练习：
跟踪训练3．斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为_____.
【答案】
【解析】
斜率是1的直线L:y=x+b代入,化简得，
设,则，
且，解得.
，
∴b=0时,|AB|的最大值为，故答案为:.
典例精析：
例4.（1）直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为__________．
已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________.
（3）直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_________.
【答案】（1）.（2）（3）
【解析】（1）设圆心，直线的斜率为，弦AB的中点为，的斜率为，则，所以
由点斜式得．
（2）已知，设，，则①，②，
已知AB的中点坐标为，，
①－②得，
∴，
∵，∴，即，
又，
∴，，即E的方程为.
（3）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，x0＝－，代入y＝x＋1得y0＝.
所以m x12＋n y12＝1，（1）m x22＋n y22＝1，（2）
由（1）-（2）得：，
，∴，
∴e2，∴e＝.故答案为：.
课堂练习：
跟踪训练4．如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________.
【答案】 y=-0.5x+4
【解析】设弦为，且，代入椭圆方程得
，两式作差并化简得，即弦的斜率为，由点斜式得，化简得.
达标检测：
1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝1有相同的长轴，
椭圆＋＝1(a＞b＞0)的短轴长与＋＝1的短轴长相等，则(　　)
A．a2＝15，b2＝16 B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25 D．a2＝25，b2＝9
【答案】D　
[由题意得，椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且a2＝25，b2＝9.]
2．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为(　　)
A． B．∪
C． D．
B　[由题意知＋>1，即a2>，解得a>或a<－.]
3．（2018·全国高考）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，可知，因为，所以，
即，所以椭圆的离心率为，故选C.
4．（2019·全国高考）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，
由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，
两式消去，得，解得
所求椭圆方程为，故选B．
5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
　[由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|＝＝＝.]
6．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点的坐标．
[解]　(1)将(0,4)代入C的方程，得＝1，∴b＝4.
由e＝＝，得＝，即1－＝，∴a＝5，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程y＝(x－3)代入C的方程，
得＋＝1，即x2－3x－8＝0，
则x1＋x2＝3，∴＝，＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点的坐标为.
【课后小结】
【板书设计】
【教学反思】
通过对椭圆几何性质的应用，培养学生数学建模能力，并向学生介绍椭圆的定义二定义，体会圆锥曲线的统一性.在直线与椭圆学习过程中，注意类比直线与圆的位置关系的判断方法.