2023-2024学年福建省厦门重点中学高二（上）开学数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年福建省厦门重点中学高二（上）开学
数学试卷（9月份）
一、选择题
1. 直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2. 已知椭圆：的一个焦点为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3. 已知双曲线的渐近线方程为，则( )
A. B. C. D.
4. 若直线与圆相切，则等于( )
A. B. C. D.
5. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
6. 抛物线上横坐标为的点到此抛物线焦点的距离为，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
7. 椭圆的焦点为，，为椭圆上一点，若，则的面积是( )
A. B. C. D.
8. 已知，，是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若，且，则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
二、填空题
9. 已知圆的圆心在直线上，且过点、，则圆的一般方程为 ．
10. 已知点，，若直线：与线段含端点相交，则的取值范围为______ ．
三、解答题
11. 已知是等差数列的前项和，，．
求数列的通项公式；
若，求的最小值．
12. 圆的圆心为，且过点
求圆的标准方程；
直线：与圆交，两点，且，求．
13. 已知顶点、、．
求直线的方程及其在轴上的截距；
求边的垂直平分线的方程
求的面积．
14. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆由焦点作两条互相垂直的弦与当直线斜率为时，弦长．
求椭圆的方程；
若求直线的方程．
15. 已知，，且与平行，则等于( )
A. B. C. D.
16. 已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
17. 已知直四棱柱的棱长均为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为( )
A. B. C. D.
18. 已知为的外心，，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
19. 用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面若正四棱台的体积为，上、下底面边长分别为，，则该棱台的对角面面积为______ ．
20. 在三棱锥中，，平面，，，则与所成的角为______ ．
21. 在矩形中，，，是的中点，是边上的三等分点靠近点，与交于点．
设，，请用，表示和；
求与夹角的余弦值．
22. 如图，在正三棱柱中，，为的中点，，在上，．
试在直线上确定点，使得对于上任一点，恒有平面；用文字描述点位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程
已知在直线上，满足对于上任一点，恒有平面，为中确定的点，试求当的面积最大时，二面角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角、直线的斜率，考查计算能力，是基础题．
设出直线的倾斜角，求出斜率，根据斜率与倾斜角正切值的关系，求出倾斜角．
【解答】
解：设直线的倾斜角为，
由题意直线的斜率为，即，
所以，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由已知可得，，
则，
所以，
则离心率．
故选：．
根据椭圆方程可知值，根据焦点坐标得到值，即可求出代入离心率公式求解．
本题考查了椭圆离心率的计算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
利用双曲线方程以及渐近线方程求解即可．
【解答】
解：双曲线的渐近线方程：，
因为双曲线的渐近线方程为，
所以 ，解得．
故选A．
4.【答案】
【解析】解：因为直线与圆相切，
又圆可化为，
由题意得，
解得．
故选：．
由已知结合直线与圆相切的性质即可求解．
本题主要考查了直线与圆相切的性质的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设正数的等比数列的公比为，
则，解得负值舍去，
．
故选：．
根据等比数列的性质，设出基本量和，列出方程，可求解．
本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点为，准线为，
即有抛物线的焦半径为，
由题意可得，解得，
则该抛物线的焦点到准线的距离为．
故选：．
求得抛物线的焦点和准线方程，可得抛物线的焦半径公式，由题意解得，即可得到所求值．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查抛物线的焦半径公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质，涉及焦点三角形问题，往往是考查椭圆定义与余弦定理的应用，是中档题．
由椭圆方程求得，，的值，然后利用椭圆定义及余弦定理求得，代入三角形面积公式求解．
【解答】
解：由椭圆，得，，，
在中，，
由余弦定理可得：，
则，即，
．
的面积是．
故选A．
8.【答案】
【解析】解：设左焦点为，，连接，，
则，，，，
，且经过原点，
四边形为矩形，
在中，，即，解得，
在中，，即，化简可得，，
故．
故选：．
设左焦点为，，连接，，由，且经过原点，可推得四边形为矩形，再结合双曲线的定义表示出各个边长，再由直角三角形的勾股定理，即可求得，的关系．
本题主要考查了双曲线的性质，以及数形结合的能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为点、，
所以的中点坐标为，直线的斜率为，
由垂径定理知，直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
联立，解得，，即，
所以圆的半径为，
所以圆的标准方程为，化成一般方程为．
故答案为：．
先求出线段的中垂线所在直线的方程，再将其与已知直线联立求得圆心的坐标，及圆的半径，然后写出圆的标准方程，并化成一般方程，即可．
本题考查圆的一般方程的求法，熟练掌握两条直线的垂直关系，圆的标准方程是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由可得，可知直线为过定点，斜率为的直线，
可得，
若直线：与线段含端点相交，则或，
所以的取值范围为．
故答案为：．
由题意利用直线的倾斜角和斜率，数形结合求得实数的取值范围．
本题主要考查了直线的斜率公式的应用，属于基础题．
11.【答案】解：设数列的公差为，
，
，解得．
；
，
则．
令，即，解得舍去，
，
的最小值是．
【解析】设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；
由求出，令，求出，结合，得到的最小值．
本题主要考查等差数列的前项和，属于基础题．
12.【答案】解：因为圆的圆心为，且过点，
所以圆的半径为，
所以圆的标准方程为．
设圆心到直线的距离为，则
由得：，
所以由圆心到直线的距离公式可得，
解得或．
【解析】根据两点间的距离公式求得圆的半径，再求出其标准方程即可；
由题意可知圆心到直线的距离为，再结合点到直线的距离公式求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
13.【答案】解：由于，
则由点斜式可得，直线的方程为，即，
其在轴上的截距为；
易知直线的斜率为，
又线段的中点坐标为，
则由斜截式可得，直线的方程为；
点到直线的距离为，，
则．
【解析】求出直线的斜率，再由点斜式即可得解，进一步可得纵截距；
求出直线的斜率，再由中点坐标公式求得中点坐标，进而得到直线的方程；
求出点到直线的距离，再由两点间的距离公式求得，由此可得的面积．
本题考查直线方程的求法以及三角形的面积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】解：由题意知，，又，解得：，所以椭圆方程为：--------分
当两条弦中一条斜率为时，另一条弦的斜率不存在，由题意知，不满足条件；
当两弦斜率均存在且不为时，设直线的方程为，
则直线的方程为．
将直线方程代入椭圆方程中并整理得，
则，所以．
同理，．
所以
解得，所以直线方程为或-------分
【解析】，，又，解得：，即可求出椭圆的方程；
分类讨论，将直线，方程代入椭圆方程中，求出，，利用，求出，即可求直线的方程．
本题考查椭圆非常，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：，．
与平行，
，解得．
故选：．
利用向量共线定理即可得出．
本题考查了向量共线定理，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为向量，，
所以，，
所以在上的投影向量为．
故选：．
先求出向量，再利用投影向量的定义求解．
本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
17.【答案】
【解析】解：如图所示：由已知，连接、，则，
因为直四棱柱的棱长均为，，
所以为等边三角形．且平面，取的中点，连接，则，
又平面，所以，
又，所以平面，
故平面截球面的截面圆的圆心是点，取、的中点、，
连接，E、，则，
故E、在球面上，，，
所以为直角三角形，球面与侧面的交线是侧面上以为圆心，为半径的圆弧．
故选：．
画出图形，连接、，推出平面，取的中点，连接，说明平面截球面的截面圆的圆心是点，取、的中点、，连接，E、，然后转化求解即可．
本题考查空间几何体以及外接球的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
18.【答案】
【解析】解：取中点，因为是的外心，则，
由于，
所以，
又，
则
，
解得，所以，
则．
故选：．
根据是三角形的外心，借助数量积建立等量关系，求出的余弦值，进而求出正弦，得到面积．
本题考查三角形外心的性质，平面向量数量积运算，属基础题．
19.【答案】
【解析】解：如图，
设该正四棱台的的高为，则根据题意可得：
，解得，
又由已知可得上下底面的对角线长分别为与，且高，
该棱台的对角面面积为．
故答案为：．
由已知结合正四棱台的体积公式，梯形的面积公式，即可求解．
本题考查棱台的结构特征，考查梯形面积的求法，是基础题．
20.【答案】
【解析】解：如图，以，为邻边将补成矩形，连接，
则或其补角为与所成的角．
由平面，平面，得，
又，，所以平面，
因为平面，所以，
又，则，
所以，即与所成的角为．
故答案为：．
通过补形简化问题求解思路，运用平行线平移法作出异面直线所成的角，运用直线与平面垂直的性质和判定定理得到直线与直线垂直，解三角形进行求解．
本题考查异面直线所成的角、直线与平面垂直等基础知识．
21.【答案】解：如图：
，
；
建立如图所示坐标系，以为原点，
则有，，，，
直线：，直线：，为两直线交点，
，，所以，
，，设其夹角为，
则．
【解析】根据平行四边形法则和三角形法则，即可用，表示和；
建立适当坐标系，运用数量积，即可求出与夹角的余弦值．
本题考查平面向量及其应用，属于中档题、
22.【答案】解：延长至点，使，点即所求的点，
图形如下：
分别延长，，所得交点即点，
连接，则二面角即二面角，
因为，，
所以，
所以∽．
所以，
所以当最大时，最大，
又，
当且仅当时等号成立，
此时，且为等腰直角三角形．
取的中点，则，
在平面内过点作，垂足为，连接．
因为平面，平面，
所以，
又，平面，平面，
所以平面．
因为平面，
所以，
又，平面，平面，
所以平面．
因为平面，
所以．
所以为二面角的平面角，
因为，
所以，．
又，
所以，
所以．
即二面角的余弦值为．
【解析】根据题意只需平面平面，再根据已知数据即可得出答案；
先确定的位置，分析可知，且为等腰直角三角形时，的面积最大，取的中点，在平面内过点作，易知为二面角的平面角，再求出其余弦值即可．
本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、几何作图、二面角等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力、应用意识和创新意识，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性．
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