2023-2024学年上海市某校高三（上）摸底数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市某校高三（上）摸底数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 函数的严格减区间是( )
A. B. C. D.
2. 如图，一组数据，，，，，，的平均数为，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( )
A. B. C. D.
4. 如果方程所对应的曲线与函数对的图像完全重合，那么对于函数有如下两个结论：
函数的值域为；
函数有且只有一个零点．
对这两个结论，以下判断正确的是( )
A. 正确，错误 B. 错误，正确 C. 都正确 D. 都错误
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 已知集合，，则 ______ ．
6. 不等式的解集为______．
7. 已知点，，则在方向上的数量投影为______ ．
8. 已知，若实数、满足，则 ______ ．
9. 如图中，，在三角形内挖去一个半圆圆心在边上，半圆与、分别相切于点，，交于点，则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为______ ．
10. 设、均为正数，且，则的最小值为______ ．
11. 一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中单位：厘米是小球相对于平衡点的位移，单位：秒为运动时间，则小球在时的瞬时速度为______ ．
12. 将、、、、、六个字母排成一排，若、、均互不相邻，则不同的排法有______ 种用数字作答
13. 已知某种生物由出生算起活到岁的概率是，活到岁的概率是，则一头岁的该种动物活到岁的概率是______ ．
14. 已知、均为实数，方程表示椭圆，且该椭圆的焦距为，则的取值范围是______ ．
15. 已知平面向量，，且，向量满足，则的最小值为 ．
16. 函数是最小正周期为的偶函数，且在时，，若存在，，，满足，且，则最小值为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知．
无穷等比数列的首项，公比求的值．
无穷等差数列的首项，公差求的通项公式和它的前项和．
18. 本小题分
已知三角形中，三个内角、、的对应边分别为，，，且，．
若，求；
设点是边的中点，若，求三角形的面积
19. 本小题分
如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为的等边三角形，，分别是，的中点，．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求三棱锥的体积．
20. 本小题分
如图，椭圆、双曲线中都是坐标原点，焦点都在轴上，且具有相同的顶点、，的焦点为、，的焦点为、，点、、、、恰为线段的六等分点，我们把与合成为曲线，已知的长轴长为．
求曲线与的方程；
若是上的一动点，为定点，求的最小值；
若直线过点，与交于、两点，与交于、两点，点、位于同一象限，且直线，求直线的斜率．
21. 本小题分
记，分别为函数，的导函数若存在实数，满足且，则称为函数与的一个“点”．
证明：函数与不存在“点”；
若存在实数，使得函数与存在“点”，求实数的取值范围；
已知函数，对任意常数，判断是否存在常数，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，解得或．
函数的定义域为．
令，则函数在上为减函数，
而为增函数，
函数的严格减区间是．
故选：．
求出函数的定义域，然后求出内函数的减区间，再由复合函数的单调性得答案．
本题考查复合函数的单调性，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意可得：，则，
故，
，是波幅最大的两个点的值，则去除，这两个数据后，整体波动性减小，
故．
故选：．
根据题中数据结合平均数的定义运算求解，并根据方差的意义理解判断．
本题主要考查了平均数和方差的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查互斥事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，属于基础题．
利用互斥事件的概率加法公式即可得出．
【解答】
解：甲获胜与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．
根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：当时，，则，
当时，，则，
因此，
当时，，
当或时，，
因此函数的值域为，错误；
由得，当时，，解得，
当或时，，此方程无解，
因此函数有且只有一个零点，正确．
故选：．
根据给定条件，求出函数的解析式，再分段求解函数的值域、零点判断作答．
本题主要考查曲线与方程，命题真假的判断，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故答案为：．
化简集合，根据集合交集的定义求解．
本题考查集合的运算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
，
作图如下，
，
由绝对值的几何意义得：当数轴上与对应的点位于，之间时，，
不等式的解集为．
故答案为：．
令，利用绝对值的几何意义即可求得答案．
本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，考查作图能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：点，，
则，，
，，
在方向上的数量投影为．
故答案为：．
根据已知条件，结合数量投影公式，即可求解．
本题主要考查数量投影公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
则，，
，
则，即，即，解得，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数相等的条件，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：连接，则，
设，因为，所以，
在中，，解得，
所以图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：
故答案为：
根据旋转体的轴截面求出球的半径，再利用球体、锥体的体积公式求出图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．
本题考查了几何体的体积计算问题，也考查了旋转体的结构特征应用问题，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
所以．
故答案为：．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
故小球在时的瞬时速度为．
故答案为：．
先对函数求导，然后把代入即可求解．
本题主要考查了函数的求导公式的应用及导数的实际意义，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：先排除、、外的三人，
再将、、排在形成的个空挡中，
则不同的排法共有种．
故答案为：．
利用插空法求解即可．
本题考查排列组合的运用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，某种生物由出生算起活到岁的概率是，活到岁的概率是，
由条件概率的定义，则该种动物活到岁的概率是．
故答案为：．
根据题意，由条件概率的计算公式，分析可得答案．
本题考查条件概率的计算，注意条件概率的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
所以，
若椭圆的焦点在轴上时，
即，
则，
所以，
代入，，，
得；
若椭圆的焦点在轴上时，
即，
则，
所以，
代入，，，
得，
综合可得：的取值范围是．
故答案为：．
结合椭圆的性质，讨论椭圆的焦点分别在轴与轴求解即可．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题意设，
，所以，
，
设，，
由得，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，点在直线上，
所以的最小值是圆心到直线的距离减去圆的半径，
即．
故答案为：．
由题意设，由数量积求得，设，已知条件可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到直线上的点的距离，由圆心到直线的距离减去半径可得最小值．
本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：函数是最小正周期为的偶函数，且在时，，
函数的值域为，
若存在，，，满足，
且，
要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，
且，，，
的最小值为，相应的最小值为，
则的最小值为．
故答案为：．
由函数是最小正周期为的偶函数可知函数的值域为，若存在，，，满足，且，要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，然后可得的最小值．
本题考查函数的图象和性质，考查函数的有界性的应用，考查了分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，属于难题．
17.【答案】解：由，得通项公式，
，
，
．
等差数列的公差，
首项，
等差数列的通项公式．
等差数列的前项和．
【解析】由，利用展开式可得通项公式可得，，即可得出，，利用求和公式即可得出结论．
利用展开式可得通项公式可得，，得出结等差数列首项与公差，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出结论．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：中，，，，
由余弦定理得，，
即，
整理得，
解得或不合题意，舍去，
所以；
如图所示，
点是边的中点，，
，
所以，
即，
解得，
所以，
的面积．
故答案为：．
【解析】利用余弦定理列方程，即可求得的值；
用向量表示中线，求出，再求，即可求得的面积．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了平面向量的数量积运算问题，是中档题．
19.【答案】解：因为，分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
因为是等边三角形，是的中点，
所以，
因为，
又，，平面，
所以平面，
因为底面和侧面都是边长为的等边三角形，
所以，，
所以．
【解析】根据线面平行的判定定理即可证明结论；
证明平面，求得的长，根据三棱锥的体积公式即可求得答案．
本题考查线面平行的证明，考查空间几何体的体积的计算，属基础题．
20.【答案】解：不妨设：，：，
因为的长轴长为，
所以，
解得，
因为椭圆和双曲线具有相同的顶点、，
所以，
又的焦点为、，的焦点为、，点、、、、恰为线段的六等分点，
所以，，
此时，，
则曲线：，：；
若是上的动点，
易知当为椭圆的上顶点时，最短，
此时，
若是上的动点，以为圆心为半径作圆，
当圆与相切时，
切点为，此时最小，且，
而圆：，
联立，消去并整理得，
当时，圆与曲线相切，
而
解得，
则，
因为，
所以为上一动点，为定点，
故的最小值为；
不妨设直线：，，，
由对称性可得，，，
联立，
解得，
所以，
联立，
解得，
所以，
当时，
，
由得，，
所以，
即，
将，坐标代入，
此时，
整理得，
解得，
则，
故直线的斜率为或．
【解析】由题意，设出椭圆和双曲线的方程，结合已知信息求得待定系数，得到所求方程；
分在和上两种情况讨论，进而可得的最小值；
设直线：，，，将直线与曲线联立，求出相应点的坐标，利用，列出等式即可求出直线的斜率．
本题考查椭圆与和双曲线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
21.【答案】解：证明：，，
由，得方程组无解，
故与不存在“点”；
，，，
由得：，解得：，
故，得，
即的取值范围是．
，，
由，设，得，得，
由，得，得，
令，
令，
则，，得，
又在上连续，则在上有零点，
则在上有零点，
则存在，使与在区间内存在“”点．
【解析】求出函数的导数，得到关于的方程组，结合定义判断即可；
求出函数的导数，根据，得到关于的方程，解出，代入函数的解析式求出的范围即可；
求出函数的导数，得到的值，令，设，根据函数的单调性判断即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及新定义问题，考查转化思想，是中档题．
第1页，共1页