2023-2024学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三（上）返校数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三（上）返校数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，则( )
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点在第一象限，为虚数单位，则复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知向量，在直线方向向量上的投影向量相等，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
4. 若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5. 过圆：上一点作圆：的两条切线，，切点为，当最大时，直线的斜率为( )
A. B. C. D.
6. 若函数为奇函数，则( )
A. B.
C. D.
7. 已知，且，则( )
A. B. C. D.
8. 中国风扇车出现于西汉，天工开物亦有记载又称风谷车、扬谷机风车、风柜、扇车、飚车、扬车、扬扇、扬谷器，是一种用来去除水稻等农作物子实中杂质、瘪粒、秸杆屑等的木制传统农具它顶部有个入料仓，下面有一个漏斗出大米，侧面有一个小漏斗出细米、瘪粒，尾部出谷壳顶部的入料仓高为的多面体，其上下底面平行，上底面是长为，宽为长方形，下底面是边长为的正方形，侧面均为梯形，此入料仓的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数，则( )
A. 函数在上单调递增 B. 存在使得
C. 函数图象存在两条相互垂直的切线 D. 存在使得
10. 某校高三选科为政史地组合的班级为高三班人、高三班人现对某次数学测试的成绩进行统计，高三班平均分为分，优秀率为，方差为；高三班平均分为，优秀率为，方差为则政史地班级的( )
A. 平均分为 B. 优秀率为
C. 方差为 D. 两个班分数极差相同
11. 已知在上单调，为的零点，为函数图象的对称轴，则的值不可能是( )
A. B. C. D.
12. 已知为坐标原点，点，点，为单位圆上的动点，绕原点逆时针旋转到，再将绕原点逆时针旋转到，则( )
A. 存在个使得 B. 存在个使得
C. 存在个使得 D. 存在个使得
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知是等差数列的前项和，，则 ______ ．
14. 已知多项式，若，则 ______ ．
15. 用半径为的钢球切割出一个圆柱体，则圆柱体的体积的最大值为______ ．
16. 已知抛物线的焦点为，过抛物线上点作切线，过作，交抛物线于，记直线，的斜率分别为，则的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若在边上，且，，求的值．
18. 本小题分
甲、乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢局谁就赢得比赛，且比赛结束，若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
求甲赢得比赛的概率；
记比赛结束时的总局数为，写出的分布列，并求出的期望值．
19. 本小题分
已知函数，
讨论函数的单调性；
若，求证：．
20. 本小题分
如图，直四棱柱，底面为等腰梯形，，且，，分别为，的中点．
求证：平面：
若四面体的体积为，求．
21. 本小题分
已知数列和满足．
求与；
设数列的前项和为，是否存在实数，，使得，，成等差数列？若存在求出，的值；若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，抛物线的焦点为，抛物线的弦和椭圆的弦交于点，且，为的中点．
求的值；
记的面积为，的面积为，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于集合，取，，，可得，这三个角在内，
因此，项符合题意．
故选：．
根据题意，在集合中取恰当的值，使元素在区间内，由此算出答案．
本题主要考查了集合的表示法、集合的交集运算及其性质等知识，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设复数对应的点在第一象限，
可设，其中，，
，
，，
复数对应的点位于第二象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题已知考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设的方向向量为，则，即，
整理可得：，所以斜率为．
故选：．
设直线的方向向量，求出两个向量在直线上的投影，由题意可得，的故选，进而求出直线的斜率．
本题考查向量在直线的投影的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：已知双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，
则，
即，
则该双曲线的离心率为．
故选：．
由双曲线的性质，结合双曲线离心率的求法求解即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：易知要使最大，则最小，
此时，
又，，
则，
所以直线的斜率为．
故选：．
分析可知最大时，最小，，由此容易得解．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数为奇函数，
，
，
．
故选：．
依题意，可得，整理可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以．
故选：．
利用两角和的正弦公式对进行展开，并结合二倍角公式化简运算，即可得解．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角和的正弦公式，二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：入料仓高为的多面体，其上下底面平行，上底面是长为，
宽为长方形，下底面是边长为的正方形，侧面均为梯形，
截图展开如下：，，，是，，，中点，是中心，
，
，，
，
，
．
故选：．
作出截图展开图，，，，是，，，中点，是中心，，由此能求出结果．
本题考查四棱台的结构特征、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：恒成立，
所以在上单调递增，故A正确；
对于：由上可得在上单调递增，
时，；时，，
所以不存在，使得，故B错误；
对于：因为恒成立，
所以切线的斜率均大于零，切线斜率乘积不会等于，故C错误；
对于：由上可得在上单调递增，
又，
所以存在使得，故D正确．
故选：．
对于：求导分析的单调性，即可判断是否正确；
对于：由上可得单调性，时，；时，，即可判断是否正确；
对于：由恒成立，得切线的斜率均大于零，切线斜率乘积不会等于，即可判断是否正确；
对于：由上可得在上单调递增，又，即可判断是否正确．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：高三班平均分为分，优秀率为，方差为；高三班平均分为，优秀率为，方差为，
，正确；
，正确；
，正确；
选项：没有具体数据，错误；
故选：．
根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解．
本题主要考查统计的知识，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，
故，，
则，
，不可能；
，即，
所以，即为的奇数倍，不可能；
当时，，可能；
当时，，不可能．
故答案为：．
由已知结合函数的单调性区间及周期性可先求出的范围，然后结合正弦函数的对称性及函数零点取得的条件进行检验即可．
本题主要考查了正弦函数的单调性及对称性的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，，
选项：若，则，即，解得或，
因为，
则正确；
选项：由题意得，或，
则或或共个解，正确；
选项：由题意得，，
解得或共四个解，正确；
选项：或，
则共两个解，错误．
故选：．
由已知结合三角函数的定义及二倍角公式进行变形，检验各选项即可判断．
本题主要考查了三角公式的综合应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，等差数列中，若，
则有，
故．
故答案为：．
根据题意，分析可得，结合等差数列的前项和公式计算可得答案．
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列前项和的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：依题意，，
又，
则，
解得或，
又，
则．
故答案为：．
由二项式定理求得，，再根据即可得解．
本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设圆柱体的底面半径为，高为．
则，即，
，可得，
当且仅当，即时等号成立．
故．
故答案为：．
由题意画出图形，设圆柱体的底面半径为，高为，可得与满足的关系式，再由基本不等式结合圆柱的体积公式求解．
本题考查球内接旋转体，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：直线，斜率记为，设直线的斜率，的斜率为，
因为，直线方程为，
联立直线与抛物线方程得，则，，
，
当且仅当，即时取等号．
故答案为：．
设直线的斜率，直线方程为，与抛物线方程联立方程组，进而可得，进而可求最小值．
本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，属中档题．
17.【答案】解：中，，
由正弦定理得，
所以，
所以，即．
设，因为，所以，
由正弦定理得，解得，
又因为，所以，
所以．
【解析】由题意，利用正弦定理和特殊角的三角函数值即可求出的值．
根据正弦定理求解即可．
本题考查了解三角形的应用问题，是基础题．
18.【答案】解：比赛采用局胜制，甲赢得比赛有以下种情况：
甲连赢局，；
前局胜负，第局甲赢，；
前局甲胜负，第局甲赢，，
所以甲赢得比赛的概率为．
可以取，，；
，
，
，
由此可得的分布列：
所以．
【解析】根据题意，求出甲生局，局，局的概率，再利用互斥事件的概率公式求解；
的可能取值为，，，，分别求出每种情况的概率，按照步骤求分布列即可．
本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：函数，，．
，
当时，在上单调递增；
当时，令，解得，
函数在单调递减，在单调递增．
证明：，
需证，
即证，
法一：即证，
令，则，
在上单调递减，在上单调递增；
即，
，
法二：令，
则，
，舍去，
在上单调递增，在上单调递减；
，
．
【解析】函数，，，对分类讨论，即可函数的单调性．
由，需证，即证，
法一：即证，令，利用导数研究其单调性即可证明结论；
法二：令，利用导数研究其单调性即可证明结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：证明：直四棱柱，底面为等腰梯形，
，且，，分别为，的中点，
取中点，则，
，，，
，
面，，
面，
，，，
面．
以为坐标原点，所在直线为轴，为轴，建立如图直角坐标系，设，
则，
，
设面法向量，
则，得，
，
，，，解得，
．
【解析】取中点，则，推导出，，从而面，推导出，由此能证明面．
以为坐标原点，所在直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出．
本题考查线面垂直的判定与性质、四面体的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：由已知可得，
，
，
是首项为，公比为的等比数列，
，，
，
则，
；
假设存在实数，，使得，，成等差数列．
由，
，
两式相减可得，
可得，
又，，
代入，
可得恒成立，
可得，．
故存在实数，，且，，使得，，成等差数列．
【解析】由已知数列的递推式，结合等比数列的定义、通项公式，可得；再由数列的恒等式，结合等比数列的求和公式，可得所求；
由数列的错位相减法求和，计算，再由等差数列的中项性质，解方程可判断存在性．
本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：已知椭圆的左，右焦点分别为，，
所以，，，
此时，
又是抛物线的焦点，
所以，
解得；
易知直线的斜率存在，
不妨设直线为，
因为且，为的中点，
所以直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
此时，
不妨令，，
则，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
此时，
所以当，即时，取得最小值，最小值为．
【解析】由题意，先得到椭圆的右焦点坐标，结合是抛物线的焦点，列出等式即可求出的值；
设出直线和的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，结合弦长公式得到的表达式，利用换元法，令，，此时，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求解．
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题以及利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
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